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【解答】
(1)
直線Lの方向ベクトルは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(-1\ ,\ -1\ ,\ 0)\end{align*}}$
なので、L上の点Pの位置ベクトルは、実数pを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OA}+p\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(0\ ,\ 1\ ,\ 0)+p(-1\ ,\ -1\ ,\ 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(-p\ ,\ 1-p\ ,\ 0)\end{align*}}$
と表せる。
また、z軸上の点Qの位置ベクトルは、実数qを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=(0\ ,\ 0\ ,\ q)\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=(p\ ,\ p-1\ ,\ 0)\end{align*}}$ ．
題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ はベクトル(3，1，－1)と平行なので、
実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=(p\ ,\ p-1\ ,\ q)=k(3\ ,\ 1\ ,\ -1)\end{align*}}$
となり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ p=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ q=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
これより、点P、Qの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(-\frac{3}{2}\ ,\ -\frac{1}{2}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ Q\left(0\ ,\ 0\ ,\ -\frac{1}{2}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に、R、Sの位置ベクトルは実数r、sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=(-r\ ,\ 1-r\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OS}=(0\ ,\ 0\ ,\ t)\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RS}=(r\ ,\ r-1\ ,\ s)\end{align*}}$ ．
題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RS}\end{align*}}$ は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ およびベクトル(0，0，1) （$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ とする）
の両方に垂直なので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RS}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-r-(r-1)+0=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RS}\cdot\overrightarrow{\sf e}=0+0+s=0\end{align*}}$ ．
これらを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ s=0\end{align*}}$
となるので、点R、Sの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(-\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ S\left(0\ ,\ 0\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
(3)
(1)と同様に、T、Uの位置ベクトルは実数t、uを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OT}=(-t\ ,\ 1-t\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OU}=(0\ ,\ 0\ ,\ u)\end{align*}}$
と表せるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf TU}=(t\ ,\ t-1\ ,\ u)\end{align*}}$ ．
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf RS}\end{align*}}$ は垂直ではないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\cdot\overrightarrow{\sf RS}=\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}b\ne 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a-b\ne 0\end{align*}}$ ････①
題意より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf TU}\end{align*}}$ は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ と平行なので、
実数k'を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf TU}=(t\ ,\ t-1\ ,\ u)=k'(a\ ,\ b\ ,\ c)\end{align*}}$
となり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k'=\frac{1}{a-b}\ \ ,\ \ t=\frac{a}{a-b}\ \ ,\ \ u=\frac{c}{a-b}\end{align*}}$ ←①より分母≠0
これより、点T、Uの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ T\left(-\frac{a}{a-b}\ ,\ -\frac{b}{a-b}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ U\left(0\ ,\ 0\ ,\ \frac{c}{a-b}\right)\ }\end{align*}}$
理系との共通問題です。
