青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　文系　2013

2013大阪大　文系数学１

第１問

　　xy平面において、点(x₀，y₀)と直線ax＋by＋c＝0の距離は
　　　　　　　　　 $\rm \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
　　である。これを証明せよ。

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2013/05/29(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　文系　2013

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2013大阪大　文系数学２

第２問

　　1つのさいころを3回投げる試行において、1回目に出る目をa、
　　2回目に出る目をb、3回目に出る目をcとする。

　(１) $\rm \log_{\frac{1}{4}}(a+b)>\log_{\frac{1}{2}}c$ となる確率を求めよ。

　(２) 2^a＋2^b＋2^cが3の倍数となる確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　底の変換公式を用いると、与式は
　　　　　　　　 $\rm \frac{\log_2(a+b)}{\log_2\frac{1}{4}}>\frac{\log_2 c}{\log_2\frac{1}{2}}$ 　
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2(a+b)<2\log_2 c=\log_2C^2$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ a+b<C^2$ 　　←底2＞1より
　　　と変形できる。
　　　ここで、サイコロの目の和a＋bは右表の
　　　ようになるので、題意を満たすのは
　　　　　a＋b＝2 のとき c＝2、3、4、5、6　････ 1×5＝5通り
　　　　　a＋b＝3 のとき c＝2、3、4、5、6　････ 2×5＝10通り
　　　　　a＋b＝4 のとき c＝3、4、5、6　････ 3×4＝12通り
　　　　　a＋b＝5 のとき c＝3、4、5、6　････ 4×4＝16通り
　　　　　a＋b＝6 のとき c＝3、4、5、6　････ 5×4＝20通り
　　　　　a＋b＝7 のとき c＝3、4、5、6　････ 6×4＝24通り
　　　　　a＋b＝8 のとき c＝3、4、5、6　････ 5×4＝20通り
　　　　　a＋b＝9 のとき c＝4、5、6　････ 4×3＝12通り
　　　　　a＋b＝10 のとき c＝4、5、6　････ 3×3＝9通り
　　　　　a＋b＝11 のとき c＝4、5、6　････ 2×3＝6通り
　　　　　a＋b＝12 のとき c＝4、5、6　････ 1×3＝3通り
　　　以上より、求める確率は、
　　　　　　　　 $\rm \frac{5+10+12+16+20+24+20+12+9+6+3}{6^3}=\underline{\ \frac{137}{216}\ }$ ．

　　(２)
　　　　　　　　2¹＝2
　　　　　　　　2²＝4＝3･1＋1
　　　　　　　　2³＝8＝3･2＋2
　　　　　　　　2⁴＝16＝3･5＋1
　　　　　　　　2⁵＝32＝3･10＝2
　　　　　　　　2⁶＝64＝3･21＋1
　　　　なので、2ⁿ （n＝1，2，････，6）において、
　　　　nが奇数のときは、2ⁿを3で割ると2余り、
　　　　nが偶数のときは、2ⁿを3で割ると1余る。
　　　　よって、2^a＋2^b＋2^cが3の倍数となるのは、
　　　　　　(ⅰ) a、b、cすべてが奇数　　または
　　　　　　(ⅱ) a、b、cすべてが偶数
　　　　のときである。
　　　　よって、求める確率は、
　　　　　　　　 $\rm \frac{3^3\cdot 2}{6^3}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }$
　　　　である。

　　丁寧に数え上げれば問題ないと思います。　　

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2013/05/30(木) 23:57:00|

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2013大阪大　文系数学３

第３問

　　曲線 y＝x²＋x＋4－|3x| と直線 y＝mx＋4 で囲まれる部分の
　　面積が最小となるように定数mの値を定めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　曲線 C：y＝x²＋x＋4－|3x|、　直線 L：y＝mx＋4 とし、
　　　これらで囲まれる部分の面積をSとする。

　　　x≧0のとき、Cの方程式は
　　　　　　　　y＝x²－2x＋4＝(x－1)²＋3
　　　　となり、Lとの交点を求めると、
　　　　　　　　x²－2x＋4＝mx＋4　⇔　x＝0、m＋2

　　　x＜0のとき、Cの方程式は
　　　　　　　　y＝x²＋4x＋4＝(x－2)²
　　　　となり、Lとの交点を求めると、
　　　　　　　　x²＋4x＋4＝mx＋4　⇔　x＝0、m－4

　　(ⅰ) 4＜mのとき
　　　　　CとLの位置関係は右図1のようになるので、
　　　　　　　 $\rm S=\int_0^{m+2}\bigg\{\left(mx+4\right)-\left(x^2-2x+4\right)\bigg\}\ dx$
　　　　　　　　 $\rm =-\int_0^{m+2}x\left\{x-(m+2)\right\}\ dx$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{6}(m+2)^3$ ．
　　　　　Sは4＜mの範囲で単調に増加するので、
　　　　　この範囲において最小値なし。

　　(ⅱ) m＜－2のとき
　　　　　CとLの位置関係は右図2のようになるので、
　　　　　　　 $\rm S=\int_{m-4}^0\bigg\{\left(mx+4\right)-\left(x^2+4x+4\right)\bigg\}\ dx$
　　　　　　　　 $\rm =-\int_{m-4}^0x\left\{x-(m-4)\right\}\ dx$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{6}(4-m)^3$ ．
　　　　　Sはm＜－2の範囲で単調に減少するので、
　　　　　この範囲において最小値なし。

　　(ⅲ) －2≦m≦4のとき
　　　　　CとLの位置関係は右図3のようになるので、
　　　　　　 $\rm S=\int_{m-4}^0\bigg\{\left(mx+4\right)-\left(x^2+4x+4\right)\bigg\}\ dx$
　　　　　　　　　　　 $\rm +\int_0^{m+2}\bigg\{\left(mx+4\right)-\left(x^2-2x+4\right)\bigg\}\ dx$
　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{6}(4-m)^3+\frac{1}{6}(m+2)^3$
　　　　　　　 $\rm =3m^2-6m+12$
　　　　　　　 $\rm =3(m-1)^2+9$
　　　　　となるので、Sが最小となるのは、
　　　　　m＝1のときである。

　　きちんと場合分けしましょう。　　

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2013/05/31(金) 23:57:00|

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