青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2013

2013大阪大　理系数学１

第１問

　　三角関数の極限に関する公式
　　　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\sin x}{x}=1$
　　を示すことにより、sinxの導関数がcosxであることを証明せよ。　　

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2013/05/24(金) 23:57:00|

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2013大阪大　理系数学２

第２問

　　不等式
　　　　　　　1≦||x|－2|＋||y|－2|≦3
　　の表す領域をxy平面上に図示せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(ⅰ) x≧0、y≧0のとき
　　　　与式は、
　　　　　　　1≦|x－2|＋|y－2|≦3　････(※)
　　　　と表される。

　　　(ア) 0≦x＜2、 0≦y＜2のとき
　　　　　　(※)は
　　　　　　　　　　1≦－x＋2－y＋2≦3
　　　　　　　　⇔　－x＋1≦y≦－x＋3
　　　　　　となり、
　　　　　　これを満たす領域は右図のアの部分

　　　(イ) 2≦x、 0≦y＜2のとき
　　　　　　(※)は
　　　　　　　　　　1≦x－2－y＋2≦3
　　　　　　　　⇔　x－3≦y≦x－1
　　　　　　となり、
　　　　　　これを満たす領域は右図のイの部分

　　　(ウ) 0≦x＜2、 2≦yのとき
　　　　　　(※)は
　　　　　　　　　　1≦－x＋2＋y－2≦3
　　　　　　　　⇔　x＋1≦y≦x＋3
　　　　　　となり、
　　　　　　これを満たす領域は右図のウの部分

　　　(エ) 2≦x、 2≦yのとき
　　　　　　(※)は
　　　　　　　　　　1≦x－2＋y－2≦3
　　　　　　　　⇔　－x＋5≦y≦－x＋7
　　　　　　となり、
　　　　　　これを満たす領域は右図のエの部分

　(ⅱ) x＜0、y≧0のとき
　　　　与式は、
　　　　　　　1≦|－x－2|＋|y－2|≦3　
　　　　と表され、
　　　　これは(※)の領域をy軸について対称に移動したものである。

　(ⅲ) x≧0、y＜0のとき
　　　　与式は、
　　　　　　　1≦|x－2|＋|－y－2|≦3　
　　　　と表され、
　　　　これは(※)の領域をx軸について対称に移動したものである。

　(ⅳ) x＜0、y＜0のとき
　　　　与式は、
　　　　　　　1≦|－x－2|＋|－y－2|≦3　
　　　　と表され、
　　　　これは(※)の領域を原点について対称に移動したものである。

　以上より、与式の表す領域は下図のようになる。
　（境界線上の点も含む。）

　　　　　　　

　　図形の対称性に気づけば、場合分けもそれほど大変ではないでしょう。　　

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2013/05/25(土) 23:57:00|

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2013大阪大　理系数学３

第３問

　　4個の整数
　　　　　　n＋1、 n³＋3、 n⁵＋5、 n⁷＋7
　　がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。
　　これを証明せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　以下、mod3の合同式を考える。

　(ⅰ) n≡0 のとき　　
　　　　　　　　n³＋3≡0³＋3＝3≡0
　　　　　となるので、n³＋3は3の倍数であり、
　　　　　n≧1より、n³＋3≠3である。

　(ⅱ) n≡1 のとき　　
　　　　　　　　　n⁵＋5≡1⁵＋5≡6≡0
　　　　　となるので、n⁵＋5は3の倍数であり、
　　　　　n≧1より、n⁵＋5≠3である。

　(ⅲ) n≡2 のとき　　
　　　　　　　　　n⁷＋7≡2⁷＋7≡135≡0
　　　　　となるので、n⁷＋7は3の倍数であり、
　　　　　n≧1より、n⁷＋7≠3である。

　　以上より、任意の自然数nに対して3個の整数
　　　　　　n³＋3、 n⁵＋5、 n⁷＋7
　　のいずれかは3と異なる3の倍数となるので、　4個の整数
　　　　　　n＋1、 n³＋3、 n⁵＋5、 n⁷＋7
　　がすべて素数となるような自然数nは存在しない。

　　二項展開が面倒なので合同式で誤魔化しますｗｗ　　

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2013/05/26(日) 23:57:00|

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2013大阪大　理系数学４

第４問

　　xyz空間内の3点O(0，0，0)、A(1，0，0)、B(1，1，0)を頂点とする
　　三角形OABをx軸の1回転させてできる円すいをVとする。円すいVを
　　y軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　図の対称性より、y≧0の範囲で考える。
　　　zx平面と平行な平面 α：y＝t （0≦t≦1)でVを切ったときの
　　　断面をSとすると、Sをy軸の周りに1回転してできる図形は、
　　　Vを平面αで切ったときの断面と一致する。

　　　Vの底面は、中心A、半径1の円であり、これをCとすると、
　　　　　　　　 $\rm C:\ y^2+z^2=1\ \ ,\ \ x=1$
　　　と表せる。円Cと平面αの交点は、
　　　　　　　　 $\rm t^2+z^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ z=\pm\sqrt{1-t^2}$
　　　より、
　　　　　　　　 $\rm \left(1\ ,\ t\ ,\ \pm\sqrt{1-t^2}\right)$
　　　となる。これらの交点をP、Qとする。

　　　一方、Vの母線OB: y＝x、 z＝0 は、
　　　平面α と点R(0，t，t)で交わるので、
　　　図形Sは、この点を頂点とする双曲線と
　　　線分PQで囲まれる図形となる。
　　　（ただし、t＝0のときは二等辺三角形）

　　　このSをy軸の周りに1回転してできる図形は、
　　　点H(0，t，0)を中心とする半径HP、HRの2円で
　　　囲まれた図形になるので、その面積をT(t)とおくと、
　　　　　 $\rm T\ (t)=HP^2\cdot \pi-HR^2\cdot \pi$
　　　　　　　　 $\rm =\bigg\{1^2+\left(\sqrt{1-t^2}\right)\bigg\}\ \pi-t^2\ \pi$
　　　　　　　　 $\rm =\left(2-2t^2\right)\ \pi$ ．

　　　よって、求める体積は、
　　　　　　　　 $\rm 2\int_0^1\ T\ (t)\ dt$
　　　　　　　 $\rm =2\pi\int_0^1\left(2-2t^2\right)\ dt$
　　　　　　　 $\rm =2\pi\bigg[2t-\frac{2}{3}t^3\bigg]_0^1$
　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ \frac{8}{3}\ \pi\ }$
　　　となる。

　　よくある問題ですね。　　

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2013/05/27(月) 23:57:00|

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2013大阪大　理系数学５

第５問

　　nを3以上の整数とする。n個の球K₁、K₂、･･･、K_nとn個の空の箱
　　H₁、H₂、･･･、H_nがある。以下のように、K₁、K₂、･･･、K_nの順番
　　に、球を箱に1つずつ入れていく。
　　　まず、球K₁を箱H₁、H₂、･･･、H_nのどれか1つに無作為に入れる。
　　次に、球K₂を、箱H₂が空ならば箱H₂に入れ、箱H₂が空でなければ
　　残りのn－1個の空の箱のどれか1つに入れる。
　　　一般に、i＝2，3，･･･，nについて、球K_iを、箱H_iが空ならば箱H_iに
　　入れ、箱H_iが空でなければ残りのn－i＋1個の空の箱のどれか1つに
　　無作為に入れる。

　(１) K_nが入る箱はH₁またはH_nである。これを証明せよ。

　(２) K_n-1がH_n-1に入る確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　球K_i （i＝2，3，･･･，n）の入れ方には、次の2通りの方法がある。
　　　(ア) 箱H_iが空ならば箱H_iに入れる。
　　　(イ) 箱H_iが空でなければ残りのn－i＋1個の空の箱のどれか1つに
　　　　　無作為に入れる。

　(１)
　　　球K_i （i＝2，3，･･･，n－1）を(ア)、(イ)いずれの方式で入れても、
　　　結果として箱H_iは空でなくなる。
　　　よって、K_nを入れる段階では、箱H_i （i＝2，3，･･･，n－1）は
　　　すべて既に空でなくなっているので、K_nを入れることのできる箱は
　　　H₁またはH_nしかないことになる。

　(２)
　　　求める確率をp_n（n＝3，4，5，････）とする。

　　　n＝3のとき、K₂がH₂に入るためには、
　　　　　　
　　　のように箱に球が入ればよい。
　　　以下、赤色の球は、(ア)の方式で入れた球を表す。
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm p_3=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

　　　n＝4のとき、K₃がH₃に入るためには、
　　　　　　
　　　のように箱に球が入ればよい。
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm p_4=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{3}$

　　　以上より、n≧3である任意の自然数nに対して
　　　　　　　　 $\rm p_n=\frac{2}{3}$
　　　であると類推できるので、これを数学的帰納法で示す。

　　　(ⅰ) n＝3のときはOK
　　　(ⅱ) n＝3，4，････，kに対して成り立つと仮定する。
　　　　　すなわち、
　　　　　　　　 $\rm p_3=p_4=\ldots =p_{k}=\frac{2}{3}$ 　･････①
　　　　　と仮定する。

　　　　　 n＝k＋1のとき、
　　　　　　　事象「球K_kが箱H_kに入る」･･･(※)
　　　　　が起こる確率p_k+1が $\rm \frac{2}{3}$ になることを示せばよい。

　　　　　　(a) K₁がH₁に入る場合
　　　　　　　　箱には
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　のように球が入るので、(※)を満たすことになり、
　　　　　　　　　その確率は、 $\rm \frac{1}{k+1}$ ．

　　　　　　(ｂ) K₁がH_m （m＝2，3，････，k－1）に入る場合
　　　　　　　　　K₂～K_m-1は方式(ア)によりそれぞれ同じ番号の
　　　　　　　　　箱に入る。
　　　　　　
　　　　　　　　　残ったn－m＋2個の球K_m～K_n+1を
　　　　　　　　　n－m＋2個の箱H₁、H_m+1～H_n+1に入れることは、
　　　　　　　　　球K₁～K_n－m＋2を箱H₁～H_n－m＋2に入れる場合と
　　　　　　　　　同じように考えることができるので、
　　　　　　　　　この状態で事象(※)が起こる確率は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \frac{1}{k+1}\cdot p_{n-m+2}=\frac{2}{3(k+1)}$ ．

　　　　　　(c) K₁がH_kに入る場合は、明らかに(※)は起こらない。

　　　　　　(d) K₁がH_k+1に入る場合
　　　　　　　　箱には
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　のように球が入るので、(※)を満たすことになり、
　　　　　　　　　その確率は、 $\rm \frac{1}{k+1}$ ．

　　　　　　(a)～(d)より、
　　　　　　　　 $\rm p_{k+1}=\frac{1}{k+1}+\frac{2}{3(k+1)}\cdot(k-2)+\frac{1}{k+1}$
　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2k+2}{3(k+1)}$
　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2}{3}$
　　　　　　となり、n＝k＋1のときも成り立つ。

　　　以上より、3≦nである任意の自然数nに対して
　　　　　　　　　　　　 $\rm p_n=\underline{\ \frac{2}{3}\ }$
　　　となる。

　　これは難しいですね････　　

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2013/05/28(火) 23:57:00|

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