第３問
nとkを自然数とし、整式xnを整式(x－k)(x－k－1)で割った
余りをax＋bとする。
(１) aとbは整数であることを示せ。
(２) aとbをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
商をQとおくと、
xn＝(x－k)(x－k－1)Q＋ax＋b
と表すことができる。
x＝kを代入
kn＝ak＋b ････①
x＝k＋1を代入
(k＋1)n＝a(k＋1)＋b ････②
①、②を連立させて解くと、
a＝(k＋1)n－kn
b＝(k＋1)kn－k(k＋1)n
(２)
a、bが共通の素因数pを持つと仮定すると、
a＝pA 、b＝pB
と表すことができる（A、Bは自然数）。
これらを①に代入すると、より
kn＝kpA＋pB＝p(kA＋B)
この右辺はpの倍数なので、knはpの倍数であり、
pは素数なので、kもpの倍数である。
同様に、②に代入すると、
(k＋1)n＝pA(k＋1)＋pB＝p{A(k＋1)＋B}
となるので、k＋1もpの倍数となる。
これらは、連続する2整数k、k＋1が互いに素であることに
矛盾するので、aとbは互いに素である。
互いに素であることの証明は背理法で！
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- 2013/05/15(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 文系 2013
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第５問
投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。
数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で
原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標1
の点に関して対称な点に石を移動する。
(２) 石が座標xの点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標x
の点にある確率を求めよ。
(２) 石が原点にあるとする。nを自然数とし、2n回硬貨を投げたとき、
石が座標2nの点にある確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2回投げたときの表裏の出方で場合分けすると、
(ⅰ) 表→表と出た場合
x→－x→x と変化し、値が変わらない。
(ⅱ) 表→裏と出た場合
x→－x→x＋2 と変化し、値が2増える。
(ⅲ) 裏→表と出た場合
x→2－x→x－2 と変化し、値が2減る。
(ⅳ) 裏→裏と出た場合
x→2－x→x と変化し、値が変わらない。
よって、題意を満たすのは(ⅰ)、(ⅳ)の場合なので、
その確率は、
^2\cdot 2=\underline{\ \frac{1}{2}\ })
．
(２)
2n回投げて石が2nの点に来るためには、
(１)の(ⅱ)がn回続けばよいので、その確率は
^n\ })
である。
気づけば瞬殺の問題です！
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- 2013/05/17(金) 23:57:00|
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