青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2013

2013京都大　理系数学１

第１問

　　平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを1：1に内分する点をE、
　　辺BCを2：1に内分する点をF、辺CDを3：1に内分する点を
　　Gとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長
　　した直線と辺BCとの交点をQとするとき、比AP：PQを求めよ。

解答はこちら↓

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2013/05/18(土) 23:57:00|

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2013京都大　理系数学２

第２問

　　Nを2以上の自然数とし、a_n（n＝1，2，･･･）を次の性質(ⅰ)、(ⅱ)を
　　満たす数列とする。
　　　　　(ⅰ) $\rm a_1=2^N-3$
　　　　　(ⅱ) n＝1，2，･･･に対して、
　　　　　　　　　a_nが偶数のとき
　　　　　　　　　　　 $\rm a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$
　　　　　　　　　a_nが奇数のとき
　　　　　　　　　　　 $\rm a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$
　　このとき、どのような自然数Mに対しても
　　　　　　　　　　　 $\rm \sum_{n=1}^Ma_{k}\leq 2^{N+1}-N-5$
　　が成り立つことを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　(ⅰ) N＝2のとき　
　　　　　条件(ⅱ)を用いて順次計算していくと
　　　　　　　　 $\rm a_1=2^2-3=1$
　　　　　　　　 $\rm a_2=\frac{1-1}{2}=0$
　　　　　　　　 $\rm a_{3}=\frac{0}{2}=0$
　　　　　　　　　　 $\rm \vdots$
　　　　　となるので、任意のnに対してa_n≧0．
　　　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \sum_{n=1}^Ma_{k}\leq \sum_{n=1}^{\infty}a_{k}$
　　　　　　　　　　　 $\rm =a_1+a_2+a_3+\ldots$
　　　　　　　　　　　 $\rm =1+0+0+\ldots$
　　　　　　　　　　　 $\rm =1$ ．
　　　　　また、
　　　　　　　　 $\rm 2^{2+1}-2-5=1$
　　　　　なので、任意の自然数Mに対して、
　　　　　　　　 $\rm \sum_{n=1}^Ma_{k}\leq 2^{2+1}-2-5$
　　　　　が成り立つ。

　　(ⅱ) N≧3のとき
　　　　　条件(ⅱ)を用いて順次計算していくと
　　　　　　　　 $\rm a_1=2^N-3$
　　　　　　　　 $\rm a_2=\frac{(2^N-3)-1}{2}=2^{N-1}-2$
　　　　　　　　 $\rm a_3=\frac{2^{N-1}-2}{2}=2^{N-2}-1$
　　　　　　　　 $\rm a_4=\frac{(2^{N-2}-1)-1}{2}=2^{N-3}-1$
　　　　　　　　　　 $\rm \vdots$
　　　　　　　　 $\rm a_{N-1}=\frac{(2^{3}-1)-1}{2}=2^{2}-1$
　　　　　　　　 $\rm a_N=\frac{(2^{2}-1)-1}{2}=2^{1}-1=1$
　　　　　　　　 $\rm a_{N+1}=\frac{1-1}{2}=0$
　　　　　　　　 $\rm a_{N+2}=\frac{0}{2}=0$
　　　　　　　　　　 $\rm \vdots$
　　　　　となるので、任意のnに対してa_n≧0．
　　　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \sum_{n=1}^Ma_{k}\leq \sum_{n=1}^{\infty}a_{k}$
　　　　　　　　　　　 $\rm =a_1+a_2+\ldots +a_N+\ldots$
　　　　　　　　　　　 $\rm \leq a_1+a_2+\ldots +a_N$
　　　　　　　　　　　 $\rm =(2^N-3)+(2^{N-1}-2)+(2^{N-2}-1)+(2^{N-3}-1)+\ldots$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \ldots +(2^{2}-1)+(2^{1}-1)$
　　　　　　　　　　　 $\rm =(2^1+2^2+\ldots +2^N)-3-2-(1+1+\ldots +1)$
　　　　　　　　　　　 $\rm =\left(\sum_{k=1}^N2^k\right)-5-(N-2)$
　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2(2^N-1)}{2-1}-3-N$
　　　　　　　　　　　 $\rm =2^{N+1}-N-5$
　　　　　となり、題意は示された。

　　「････」で誤魔化している感はありますが(笑)　　

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2013/05/19(日) 23:57:00|

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2013京都大　理系数学３

第３問

　　nとkを自然数とし、整式xⁿを整式x²－2x－1で割った余りを
　　ax＋bとする。このときaとbは整数であり、さらにそれらをともに
　　割り切る素数は存在しないことを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　xⁿをx²－2x－1で割った商をQ_n、余りをa_nx＋b_nとおくと、
　　　　　　　xⁿ＝(x²－2x－1)Q_n＋a_nx＋b_n

　　　任意のnに対して「a_n、b_nが互いに素な自然数となる」････(※)
　　　ことを数学的帰納法で示す。

　　(ⅰ) n＝1のとき
　　　　　xをx²－2x－1で割った余りはxとなるので、
　　　　　　　　a₁＝1、b₁＝0
　　　　　これらをともに割り切る素数は存在しないのでOK
　　(ⅱ) n＝kが(※)を満たすと仮定する。
　　　　　　　x^k＝(x²－2x－1)Q_k＋a_kx＋b_k
　　　　　の両辺にxをかけると
　　　　　　x^k+1＝(x²－2x－1)Q_k＋a_kx²＋b_kx
　　　　　　　　　＝(x²－2x－1)xQ_k＋a_k{(x²－2x－1)＋2x＋1}＋b_kx
　　　　　　　　　＝(x²－2x－1)(xQ_k＋a_k)＋(2a_k＋b_k)x＋a_k
　　　　　となり、
　　　　　x^k+1をx²－2x－1で割った余りがa_k+1x＋b_k+1なので、
　　　　　　　　　　　　a_k+1＝2a_k＋b_k　････①
　　　　　　　　　　　　b_k+1＝a_k
　　　　　仮定よりa_k、b_kともに整数なので、a_k+1、b_k+1も整数となる。
　　　　　ここで、a_k+1、b_k+1が共通な素因数pを持つと仮定すると、
　　　　　　　　　a_k+1＝2a_k＋b_k＝pA　････①
　　　　　　　　　b_k+1＝a_k＝pB　････②
　　　　　となる自然数A、Bが存在する。
　　　　　②よりa_kはpの倍数であり、②を①に代入すると、
　　　　　　　　　　　　2pB＋b_k＝pA
　　　　　　　　　　⇔　b_k＝p(A－2B)
　　　　　となり、b_kもpの倍数となる。
　　　　　これは、a_kとb_kが互いに素であることに矛盾するので、
　　　　　a_k+1とb_k+1も互いに素である。

　　　　よって、n＝k＋1のときも(※)を満たすことになり、
　　　　任意の自然数に対して題意は示された。

　　帰納法が書きやすいでしょうね。互いに素であることは背理法で！　　

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2013/05/20(月) 23:57:00|

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2013京都大　理系数学４

第４問

　　 $\rm -\frac{\pi}{2}\leq x\leq \frac{\pi}{2}$ における $\rm \cos x+\frac{\sqrt3}{4}\ x^2$ の最大値を求めよ。ただし
　　π＞3.1 および $\rm \sqrt3$ ＞1.7が成り立つことは証明なしに用いてよい。
　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　 $\rm f\ (x)=\cos x+\frac{\sqrt3}{4}\ x^2$
　　　とおくと、
　　　f(－x)＝f(x)となるので、0≦x≦π/2の範囲で考えればよい。
　　　f(x)の第1次および第2次導関数は
　　　　　　　　 $\rm f\ '(x)=-\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\ x$
　　　　　　　　 $\rm f\ ''(x)=-\cos x+\frac{\sqrt3}{2}$
　　　となるので、f’(x)の増減は次のようになる。

　　　　

　　　ここで、
　　　　　　 $\rm f\left(\frac{\pi}{6}\right)<0$ 　かつ　 $\rm f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{-4+\sqrt3\ \pi}{4}>\frac{-4+1.7\times 3.1}{4}>0$
　　　なので、中間値の定理より、f’(x)＝0となるようなxが
　　　　　　　　 $\rm \frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2}$
　　　に1つ存在する。その値をpとおくと、f(x)の増減は次のようになる。

　　　　

　　　ここで、
　　　　　　　　 $\rm f\ \left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt3\ \pi^2}{16}>\frac{1.7\times 3.1^2}{16}>1$
　　　なので、f(x)の最大値は、
　　　　　　　　 $\rm f\ (x)_{max}=f\ \left(\pm\frac{\pi}{2}\right)=\underline{\ \frac{\sqrt3\ \pi^2}{16}\ }$
　　　である。

　　よくある問題ですね。
　　まさか区間の端で最大値をとるとは思いませんでしたが（笑）　　

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2013/05/21(火) 23:57:00|

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2013京都大　理系数学５

第５問

　　xy平面上で、y軸上の点Pを中心とする円Cが2つの曲線
　　　　　　　 $\rm C_1:\ y=\sqrt3\log(1+x)\ \ ,\ \ C_2:\ y=\sqrt3\log(1-x)$
　　とそれぞれ点A、点Bで接しているとする。さらに△PABは
　　AとBがy軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする。
　　このとき3つの曲線C、C₁、C₂で囲まれた部分の面積を求めよ。
　　ただし、2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、
　　さらにその点において共通の接線をもつことである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　△PABはy軸について対称なので、∠OPA＝30°．
　　　よって、APの傾きは $\rm -\sqrt3$ となるので、点Aにおける
　　　CとC₁の共通接線の傾きは $\rm \frac{1}{\sqrt3}$ である。
　　　C₁の導関数は
　　　　　　　　 $\rm y\ '=\frac{\sqrt3}{1+x}$
　　　なので、接点Aのx座標をaとすると
　　　　　　　　 $\rm \frac{\sqrt3}{1+a}=\frac{1}{\sqrt3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2$
　　　より、
　　　　　　　　 $\rm A\left(2\ , \ \sqrt3 \log3 \right)\ \ ,\ \ B\left(-2\ , \ \sqrt3 \log3 \right)$ ．
　　　よって、△PABは一辺が4の正三角形である。
　　　C、C₁、C₂で囲まれた部分（右図の水色部分）
　　　の面積をSとすると、
　　　　　　S＝赤色部分＋△PAB－扇形PAB
　　　として求めることができる。
　　　図の対称性より、赤色部分の面積は、
　　　　　　 $\rm 2\int_0^2\{\sqrt3\log 3-\sqrt3\log(1+x)\}dx+$
　　　　　 $\rm =2\sqrt3\bigg[(\log3)x-(1+ x)\log(1+x)-(1+c)\bigg]_0^2$
　　　　　 $\rm =2\sqrt3\left\{(2\log3-3\log3+3)-1\right\}$
　　　　　 $\rm =-2\sqrt3\log3+4\sqrt3$ 　．
　　　三角形PABの面積は
　　　　　　　　 $\rm \frac{1}{2}\cdot 4^2\cdot\sin 60^{\circ}=4\sqrt3$ ．
　　　扇形PABの面積は
　　　　　　　　 $\rm 4^2\pi\cdot\frac{1}{6}=\frac{8\pi}{3}$ ．
　　　
　　　以上より、
　　　　　　　　 $\rm S=\left(-2\sqrt3\log3+4\sqrt3\right)+4\sqrt3-\frac{8\pi}{3}$
　　　　　　　　　 $\rm =\underline{\ 8\sqrt3-\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3\log 3\ }$

　　　　

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2013/05/22(水) 23:57:00|

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2013京都大　理系数学６

第６問

　　投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。
　　数直線上に石を置き、この硬貨を投げて表が出れば数直線上で
　　原点に関して対称な点に石を移動し、裏が出れば数直線上で座標1
　　の点に関して対称な点に石を移動する。

　(２) 石が座標xの点にあるとする。2回硬貨を投げたとき、石が座標x
　　　の点にある確率を求めよ。

　(２) 石が原点にあるとする。nを自然数とし、2n回硬貨を投げたとき、
　　　石が座標2n－2の点にある確率を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　2回投げたときの表裏の出方で場合分けすると、
　　　　　(ⅰ) 表→表と出た場合
　　　　　　　　　x→－x→x と変化し、値が変わらない。　
　　　　　(ⅱ) 裏→裏と出た場合
　　　　　　　　　x→2－x→x と変化し、値が変わらない。　
　　　　　(ⅲ) 表→裏と出た場合
　　　　　　　　　x→－x→x＋2 と変化し、値が2増える。　
　　　　　(ⅳ) 裏→表と出た場合
　　　　　　　　　x→2－x→x－2 と変化し、値が2減る。　
　　　よって、題意を満たすのは(ⅰ)、(ⅱ)の場合なので、
　　　その確率は、
　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot 2=\underline{\ \frac{1}{2}\ }$ ．

　(２)
　　　2回投げることを1セットと考える。
　　　nセットすべてが(ⅲ)になれば、石は座標2nの位置に来る。
　　　よって、石が座標2n－2の来るためには、nセットのうち
　　　(ⅰ)または(ⅱ)が1セット、(ⅲ)がn－1セットであればよい。
　　　よって、その確率は、
　　　　　　　　 $\rm _nC_1\cdot \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=\underline{\ \frac{n}{2^{2n-1}}\ }$
　　　となる。

　　(２)はうまく(１)を使いましょう。　　

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2013/05/23(木) 23:57:00|

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