第１問
3人でジャンケンをする。各人はグー、チョキ、パーをそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
の確率で出すものとする。負けた人は脱落し、残った人で次回の
ジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない）、勝ち残りが
1人になるまでジャンケンを続ける。このとき各回の試行は独立
とする。3人でジャンケンを始め、ジャンケンがn回目まで続いて
n回目終了時に2人が残っている確率をpn、3人が残っている確率
をqnとおく。
(１) p1、q1を求めよ。
(２) pn、qnが満たす漸化式を導き、pn、qnの一般項を求めよ。
(３) ちょうどn回目で1人の勝ち残りが決まる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
3人でジャンケンを行うとき、
(ア)勝者が1人になる確率
手の出し方の総数は33通り。
勝者の選び方が3通り、決まり手の選び方が3通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\cdot 3}{3^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
(イ)勝者が2人になる確率
敗者が1人であると考えると、(ア)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\cdot 3}{3^3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
(ウ)アイコになる確率
(ア)、(イ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{3}\ ,\ q_1=\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
2人でジャンケンを行うとき、
(エ)勝者が1人になる確率
手の出し方の総数は32通り。
勝者の選び方が2通り、決まり手の選び方が3通りあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\cdot 3}{3^2}=\frac{2}{3}\end{align*}}$
(オ)アイコになる確率
(エ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
n回目終了時に残っている人数をAnとおく。
An+1＝3となるのは、An＝3の状態から、n＋1回目のジャンケンで
アイコになればよいので、(ウ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{3}\ p_n\end{align*}}$
となる。数列{pn}は等比数列となるので、その一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}p_1=\underline{\ \left(\frac{1}{3}\right)^n\ }\end{align*}}$
一方、An+1＝2となるのは、
・An＝3の状態から、n＋1回目のジャンケンで2人勝ち (イ)
・An＝2の状態から、n＋1回目のジャンケンでアイコ (オ)
の2つの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{3}p_n+\frac{1}{3}q_n=\frac{1}{3}q_n+\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\end{align*}}$ ．
両辺に3n+1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^{n+1}q_{n+1}=3^nq_n+1\end{align*}}$
となり、数列{3nqn}は、公差1の等差数列になる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^nq_n=3^1q_1+(n-1)=n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ q_n=\frac{n}{3^n}\ }\end{align*}}$
(３)
求める確率をrnとおく。
n＝1のとき、(ア)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_1=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ．
n≧2のとき
An＝1となるのは、
・An-1＝3の状態から、n回目のジャンケンで1人勝ち (ア)
・An-1＝2の状態から、n回目のジャンケンで1人勝ち (エ)
の2つの場合があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}q_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}+\frac{2}{3}\cdot\frac{n-1}{3^{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2n-1}{3^n}\end{align*}}$
となる。
これは、n＝1のときも満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ r_n=\frac{2n-1}{3^n}\ }\end{align*}}$
である。
これはよくある問題ですが、文系には少し難しいですかね？
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第２問
平面上に同じ点Oを中心とする半径1の円C1と半径2の円C2があり、
C1の周上に定点Aがある。点P、QはそれぞれC1、C2の周上を反時
計回りに動き、ともに時間tの間に弧長tだけ進む。時刻t＝0において、
PはAの位置にあってO、P、Qはこの順に同一直線上に並んでいる。
0≦t≦4$\small\sf{\pi}$ のとき△APQの面積の2乗の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ｘｙ平面上にO(0，0)、A(1，0)、B(2，0)をとる。
円C1において、弧AP＝tのとき、∠AOP＝t．
円C2において、弧BQ＝tのとき、∠BOQ＝t/2．
よって、時刻t （0≦t≦4$\scriptsize\sf{\pi}$ ）におけるP、Qの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\cos t\ ,\ \sin t \right)\ \ ,\ \ Q\left(2\cos\frac{t}{2}\ ,\ 2\sin\frac{t}{2}\right)\end{align*}}$
と表せる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{t}{2}\ \ \ \left(0\leqq T\leqq 2\pi\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\left(\cos t-1\ ,\ \sin t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\cos 2T-1\ ,\ \sin 2T \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-2\sin^2T\ ,\ 2\sin T\cos T \right)\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=\left(2\cos\frac{t}{2}-1\ ,\ 2\sin\frac{t}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2\cos T-1\ ,\ 2\sin T \right)\end{align*}}$
△APQの面積の2乗をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\left\{\frac{1}{2}\left|-2\sin^2 T\cdot 2\sin T-2\sin T\cos T\left(2\cos T-1\right)\right|\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-2\sin^3T-2\sin T\cos^2T+\sin T\cos T\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-2\sin T+\sin T\cos T\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin^2 T\ \left(2-\cos T\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-\cos^2 T\right) \left(2-\cos T\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos^4 T+4\cos^3T-3\cos^2T-4\cos T+4\end{align*}}$ ．
ここで、xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-x^4+4x^3-3x^2-4x+4\ \ \ \ \ \left(-1\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-4x^3+12x^2-6x-4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2(x-2)(2x^2-2x-1)\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
これより、f(x)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)_{max}=f\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)=\frac{9+4\sqrt3}{4}\end{align*}}$
となるので、Sの最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\frac{9+4\sqrt3}{4}\ }\end{align*}}$ ．
文系なのに4次関数です・・・・＾＾；；
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第３問
k、m、nは整数とし、n≧1とする。mCnを二項係数として、
sk(n)、Tm(n)を以下のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\ldots +n^k\ ,\ \ \ \ \ \ S_k(1)=1\ \ (k\geqq 0)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf T_m(n)=_m C_1S_1(n)+_m C_2S_2(n)+_m C_3S_3(n)+\ldots +_m C_{m-1}S_{m-1}(n)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(n)\ \ \ \ (m\geqq 2)\end{align*}}$
(１) Tm(1)とTm(2)を求めよ。
(２) 一般のnに対してTm(n)を求めよ。
(３) pが7以上の素数のとき、S1(p－1)、S2(p－1)、S3(p－1)、
S4(p－1)はpの倍数であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
整数m、n（n≧1）に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U_m(n)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kn^k\end{align*}}$
とおくと、二項定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+n)^m=_mC_0+_mC_1n+_mC_2n^2+\ldots +_mC_{m-1}n^{m-1}+_mC_mn^m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ _mC_1n+_mC_2n^2+\ldots +_mC_{m-1}n^{m-1}=(1+n)^m-_mC_0-_mC_mn^m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ U_m(n)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kn^k=(1+n)^m-n^m-1\end{align*}}$
(１)
与えられた定義より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m(1)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_k\cdot 1^k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =U_m(1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1+1)^m-1^m-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2^m-2\ }\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m(2)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_k\left(1^k+2^k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =U_m(1)+U_m(2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2^m-1^m-1)-(3^m-2^m-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3^m-3\ }\end{align*}}$ ．
(２)
(１)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m(n)=\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_k\left(1^k+2^k+\ldots +n^k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =U_m(1)+U_m(2)+\ldots +U_m(n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2^m-1^m-1)-(3^m-2^m-1)+\ldots \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\{n^m-(n-1)^m-1\}+\{(n+1)^m-n^m-1\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)^m-1^m-(1+1+\ldots +1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (n+1)^m-(n+1) }\end{align*}}$
(３)
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1(p-1)=1+2+\ldots +(p-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}(p-1)p\end{align*}}$
pは3以上の素数なので、p－1は偶数。
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}(p-1)\end{align*}}$ は整数となるので、
S1(p－1)はpの倍数である。
S1(p－1)＝pA （A：整数）とおく。････①
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_3(p-1)=_3 C_1S_1(p-1)+_3 C_2S_2(p-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^3-p=3pA+3S_2(p-1)\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3S_2(p-1)=p(p^2-1-3A)\end{align*}}$
右辺はpの倍数となり、3とpは互いに素なので、
S2(p－1)はpの倍数である。
S2(p－1)＝pB （B：整数）とおく。 ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_4(p-1)=_4 C_1S_1(p-1)+_4 C_2S_2(p-1)+_4 C_3S_3(p-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^4-p=4pA+6pB+4S_3(p-1)\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4S_3(p-1)=p(p^3-1-4A-6B)\end{align*}}$
右辺はpの倍数となり、4とpは互いに素なので、
S3(p－1)はpの倍数である。
S3(p－1)＝pC （C：整数）とおく。 ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_5(p-1)=_5 C_1S_1(p-1)+_5 C_2S_2(p-1)+_5 C_3S_3(p-1)+_5 C_4S_4(p-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^5-p=5pA+10pB+10pC+5S_4(p-1)\end{align*}}$ ←①、②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5S_4(p-1)=p(p^4-1-5A-10B-10C)\end{align*}}$
右辺はpの倍数となるり、5とpは互いに素なので、
S4(p－1)はpの倍数である。
(３)で(２)を使うことに気づきますかね？？
これは難しいと思いますよ。
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