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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013名古屋大 文系数学1



第1問

  3人でジャンケンをする。各人はグー、チョキ、パーをそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
  の確率で出すものとする。負けた人は脱落し、残った人で次回の
  ジャンケンを行い(アイコのときは誰も脱落しない)、勝ち残りが
  1人になるまでジャンケンを続ける。このとき各回の試行は独立
  とする。3人でジャンケンを始め、ジャンケンがn回目まで続いて
  n回目終了時に2人が残っている確率をpn、3人が残っている確率
  をqnとおく。

 (1) p1、q1を求めよ。

 (2) pn、qnが満たす漸化式を導き、pn、qnの一般項を求めよ。

 (3) ちょうどn回目で1人の勝ち残りが決まる確率を求めよ。


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  1. 2018/10/22(月) 01:11:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2013
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2013名古屋大 文系数学2



第2問

  平面上に同じ点Oを中心とする半径1の円C1と半径2の円C2があり、
  C1の周上に定点Aがある。点P、QはそれぞれC1、C2の周上を反時
  計回りに動き、ともに時間tの間に弧長tだけ進む。時刻t=0において、
  PはAの位置にあってO、P、Qはこの順に同一直線上に並んでいる。
  0≦t≦4$\small\sf{\pi}$ のとき△APQの面積の2乗の最大値を求めよ。





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2013名古屋大 文系数学3



第3問

  k、m、nは整数とし、n≧1とする。mCnを二項係数として、
  sk(n)、Tm(n)を以下のように定める。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\ldots +n^k\ ,\ \ \ \ \ \ S_k(1)=1\ \ (k\geqq 0)\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf T_m(n)=_m C_1S_1(n)+_m C_2S_2(n)+_m C_3S_3(n)+\ldots +_m C_{m-1}S_{m-1}(n)\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _mC_kS_k(n)\ \ \ \ (m\geqq 2)\end{align*}}$

 (1) Tm(1)とTm(2)を求めよ。

 (2) 一般のnに対してTm(n)を求めよ。

 (3) pが7以上の素数のとき、S1(p-1)、S2(p-1)、S3(p-1)、
    S4(p-1)はpの倍数であることを示せ。



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