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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013名古屋大 理系数学1



第1問

  3人でジャンケンをする。各人はグー、チョキ、パーをそれぞれ
  の確率で出すものとする。負けた人は脱落し、残った人で次回の
  ジャンケンを行い(アイコのときは誰も脱落しない)、勝ち残りが
  1人になるまでジャンケンを続ける。このとき各回の試行は独立
  とする。3人でジャンケンを始め、ジャンケンがn回目まで続いて
  n回目終了時に2人が残っている確率をpn、3人が残っている確率
  をqnとおく。

 (1) p1、q1を求めよ。

 (2) pn、qnが満たす漸化式を導き、pn、qnの一般項を求めよ。

 (3) ちょうどn回目で1人の勝ち残りが決まる確率を求めよ。


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  1. 2018/10/22(月) 01:07:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2013
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2013名古屋大 理系数学2



第2問

  x>0とし、f(x)=logx100とおく。

 (1) 次の不等式を証明せよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{100}{x+1}<\lt f (x+1)-f\ (x)<\frac{100}{x}\end{align*}}$

 (2) 実数aの整数部分(k≦a<k-1となる整数k)を[a]で表す。
    整数[f(1)]、[f(2)]、[f(3)]、・・・・、[f(1000)]のうちで異なる
    ものの個数を求めよ。必要ならばlog10=2.3026として計算せよ。




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2013名古屋大 理系数学3



第3問

  k、m、nは整数とし、n≧1とする。mCnを二項係数として、
  sk(n)、Tm(n)を以下のように定める。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf S_k(n)=1^k+2^k+3^k+\ldots +n^k\ ,\ \ \ \ \ \ S_k(1)=1\ \ (k\geqq 0)\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf T_m(n)=_m C_1S_1(n)+_m C_2S_2(n)+_m C_3S_3(n)+\ldots +_m C_{m-1}S_{m-1}(n)\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m-1}\ _m C_k\ S_k(n)\ \ \ \ (m\geqq 2)\end{align*}}$

 (1) Tm(1)とTm(2)を求めよ。

 (2) 一般のnに対してTm(n)を求めよ。

 (3) pが3以上の素数のとき、Sk(p-1) (k=1,2,3,・・・,p-2)は
    pの倍数であることを示せ。



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2013名古屋大 理系数学4



第4問

  半径1の円盤C1が半径2の円盤C2に貼り付けられており、2つの
  円盤の中心は一致する。C2の周上にある定点をAとする。図のように、
  時刻t=0においてC1はO(0,0)でx軸に接し、Aは座標(0,-1)の
  位置にある。2つの円盤は一体となり、C1はx軸上をすべることなく
  転がっていく。時刻tでC1の中心が(t,1)にあるように転がるとき、
  0≦t≦2$\small\sf{\pi}$ においてAが描く曲線をCとする。

 (1) 時刻tにおけるAの座標を(x(t),y(t))で表す。
    (x(t),y(t))を求めよ。
 
 (2) x(t)とy(t)のtに関する増減を調べ、x(t)あるいはy(t)が最大値
    または最小値をとるときのAの座標を全て求めよ。

 (3) Cとx軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

        図01


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