第１問
3p3－p2q－pq2＋3q3＝2013を満たす正の整数p、qの
組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
左辺は、
3p3－p2q－pq2＋3q3
＝3(p3＋q3)－pq(p＋q)
＝3{(p＋q)3－3pq(p＋q)}－pq(p＋q)
＝(p＋q){3(p＋q)2－10pq}
と変形でき、2013は
2013＝3･11･61
と素因数分解できるので、
(p＋q){3(p＋q)2－10pq}＝3･11･61 ････①
これより、p＋qは2013の約数となる。
p、q≧1より、相加･相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p+q}{2}\geqq\sqrt{pq}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(p+q\right)^2\geqq 4pq\end{align*}}$
なので、
3(p＋q)2－10pq－(p＋q)
≧3･4pq－10pq－(p＋q)
＝2pq－(p＋q)
＝(p－1)(q－1)＋pq－1
≧0 （∵p、q≧1)
⇔ 3(p＋q)2－10pq ≧ p＋q
よって、p＋qの値として
p＋q＝3、11、33
の3つの場合が考えられる。
(ⅰ) p＋q＝3のとき
①より、
3(p＋q)2－10pq＝671
⇔ 10pq＝3･32－671
となる。
左辺は10の倍数となるが、右辺の1の位は0とならず、
これを満たす自然数p、qは存在しない。
(ⅱ) p＋q＝11のとき
①より、
3(p＋q)2－10pq＝183
⇔ 10pq＝3･112－183
⇔ pq＝18
となり、p、qは二次方程式
x2－11x＋18＝0 ⇔ x＝2，9
の2解となるので、
(p，q)＝(2，9)、(9，2)
(ⅲ) p＋q＝33のとき
①より、
3(p＋q)2－10pq＝61
⇔ 10pq＝3･332－61
となり、(ⅱ)と同様に不適。
以上より、題意を満たすp、qの組は、
(p，q)＝(2，9)、(9，2)
である。
3(p＋q)2－10pq ≧ p＋qの導き方が分からなかったとしても、
まぁ最悪の場合、
p＋q＝1，3，11，33，61，183，671，2013
のすべての場合を調べればいいのですが････
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第２問
平面上の4点O、A、B、Cが
OA＝4、 OB＝3、 OC＝2、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ ＝3
を満たすとき、△ABCの面積の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
内積の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle BOC=\frac{\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}}{|\overrightarrow{\sf OB}|\ |\overrightarrow{\sf OC}|}=\frac{3}{3\cdot 2}=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \angle BOC=60^{\circ}\end{align*}}$
となるので、Oを原点とする座標平面上に点B、Cを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C(2\ ,\ 0)\ \ ,\ \ B(3\cos60^{\circ}\ ,\ 3\sin60^{\circ})=\left(\frac{3}{2}\ ,\ \frac{3\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BC=\sqrt{\left(\frac{3}{2}-2\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt7\end{align*}}$ ．
また、△OBCにおいて、
Oから辺BCに下ろした垂線の足をH、
Bから辺OCに下ろした垂線の足をH’とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OBC=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot OC\cdot BH'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\cdot \sqrt7\cdot OH=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ OH=\frac{3\sqrt3}{\sqrt7}\end{align*}}$
一方、AはOを中心とする半径4の円周上にあり、
△ABCの面積が最大になるのは、BCを底辺と
したときの高さが最大になるとき、すなわち、
A、O、Hがこの順で一直線上にあるときである。
このときの高さは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AH=4+\frac{3\sqrt3}{\sqrt7}\end{align*}}$
なので、△ABCの面積の最大値Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot \sqrt7\cdot\left(4+\frac{3\sqrt3}{\sqrt7}\right)=\underline{\ 2\sqrt7+\frac{3\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
である。
ベクトルだけで処理しようとすると泥沼にはまってしまいます・・・・・
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第３問
原点をOとするxy平面上に、放物線C：y＝1－x2がある。
C上に2点P(p，1－p2)、Q(q，1－q2)をp＜qとなるように
とる。
(１) 2つの線分OP、OQと放物線Cで囲まれた部分の面積Sを、
pとqの式で表せ。
(２) q＝p＋1であるときSの最小値を求めよ。
(３) pq＝－1であるときSの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ y-(1-q^2)=\frac{(1-q^2)-(1-p^2)}{q-p}(x-q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-(p+q)x+pq+1\end{align*}}$ ････①
となるので、放物線Cと直線PQで囲まれる部分の面積をTと
おくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_p^q\bigg((1-x^2)-\left\{-(p+q)x+pq+1\right\}\bigg)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_p^q\left\{x^2-(p+q)x+pq\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_p^q(x-p)(x-q)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(q-p)^3\end{align*}}$ ．
一方、△OPQの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPQ=\frac{1}{2}\left|p(1-q^2)-q(1-p^2)\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg|p-q-pq(q-p)\bigg|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}(q-p)\bigg|pq+1\bigg|\ \ \ \ (\because q>p)\end{align*}}$
(ⅰ) pq＋1≧0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPQ=\frac{1}{2}(q-p)(pq+1)\end{align*}}$
であり、直線PQのy切片≧0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=T+\triangle OPQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(q-p)^3+\frac{1}{2}(q-p)(pq+1)\end{align*}}$
(ⅱ) pq＋1＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPQ=-\frac{1}{2}(q-p)(pq+1)\end{align*}}$
であり、直線PQのy切片＜0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=T-\triangle OPQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(q-p)^3-\left\{-\frac{1}{2}(q-p)(pq+1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(q-p)^3+\frac{1}{2}(q-p)(pq+1)\end{align*}}$
以上より、いずれの場合も
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S=\frac{1}{6}(q-p)^3+\frac{1}{2}(q-p)(pq+1)\ }\end{align*}}$
となる。
(２)
(１)にq＝p＋1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\left\{p(p+1)+1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}p^2+\frac{1}{2}p+\frac{2}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(p+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{13}{24}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ q=\frac{1}{2}\end{align*}}$
のときSは最小となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{min}=\frac{13}{24}\ }\end{align*}}$
である。
(３)
(１)にpq＝－1を代入してpを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{6}\left\{q-\left(-\frac{1}{q}\right)\right\}^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(q+\frac{1}{q}\right)^3\end{align*}}$
となり、pq＜0かつq＞pよりq＞0なので、
相加･相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\geqq\frac{1}{6}\left(2\sqrt{q\cdot\frac{1}{q}}\right)^3=\frac{1}{6}\cdot2^3=\frac{4}{3}\end{align*}}$ ．
等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{1}{q}\ \ \Leftrightarrow\ \ q=1\ (>0)\ \ ,\ \ p=-1\end{align*}}$
のときであり、このときSは最小値をとる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{min}=\frac{4}{3}\ }\end{align*}}$
である。
(１)の場合分けがすべてです。
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第４問
tを正の定数とする。原点をOとする空間内に、2点A(2t，2t，0)、
B(0，0，t)がある。また動点Pは
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf BP}=3\end{align*}}$
を満たすように動く。OPの最大値が3となるようなtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点Pの座標を(x，y，z)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=(x-2t\ ,\ y-2t\ ,\ z)\ ,\ \overrightarrow{\sf BP}=(x\ ,\ y\ ,\ z-t)\end{align*}}$
なので与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{x(x-2t)+y(y-2t)+z^2\}+\{x^2+y^2+z(z-t)\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\{x(x-2t)+y(y-2t)+z(z-t)\}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3x^2+3y^2+3z^2-4tx-4ty-2tz=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+y^2+z^2-\frac{4}{3}\ tx-\frac{4}{3}\ ty-\frac{2}{3}\ tz=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-\frac{2}{3}\ t\right)^2+\left(y-\frac{2}{3}\ t\right)^2+\left(z-\frac{1}{3}\ t\right)^2=1+t^2\end{align*}}$
と変形できる。
よって、点Cを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C\left(\frac{2}{3}\ t\ ,\ \frac{2}{3}\ t\ ,\ \frac{1}{3}\ t\right)\end{align*}}$
とおくと、
点Pは点Cを中心とする半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1+t^2}\end{align*}}$ の球面上を動く。
OPが最大になるのは、3点O、C、Pがこの順で一直線上に
並ぶときであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{max}=OC+CP\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{2}{3}\ t\right)^2+\left(\frac{2}{3}\ t\right)^2+\left(\frac{1}{3}\ t\right)^2}+\sqrt{1+t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t+\sqrt{1+t^2}\ \ \ \ (\because t>0)\end{align*}}$ ．
この値が3に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{1+t^2}=3-t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+t^2=9-6t+t^2\ \ \ \ ( t\leqq 3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{4}{3}\ }\end{align*}}$ ．
(２)と同じような問題ですね。こっちは空間バージョンですが。
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第５問
サイコロをn回投げ、k回目に出た目をakとする。また、snを
$\small\sf{\begin{align*} \sf s_n=\sum_{k=1}^n10^{n-k}\ a_k\end{align*}}$
で定める。
(１) snが4で割り切れる確率を求めよ。
(２) snが6で割り切れる確率を求めよ。
(３) snが7で割り切れる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
sn＝10n-1a1＋10n-2a2＋････＋10an-1＋an ････(※)
(１)
・n＝1のとき
s1＝a1が4で割り切れるのは、a1＝4のときであり、
その確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ である。
・n＝2のとき
s2＝10a1＋a2が4で割り切れるのは、
10a1＋a2＝12，16，24，32，36，44，52，56，64
のときであり、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{6^2}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
である。
・n≧3のとき
sn＝100(10n-3a1＋････＋an-2)＋10an-1＋an
と変形できるので、10an-1＋anが4で割り切れればよい。
その確率は、上と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{6^2}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
である。
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}\ \ (n=1)\ \ \ ,\ \ \ \frac{1}{6}\ \ (n\geqq 2)\ }\end{align*}}$ ．
(２)
snを6で割った余りをrnとおくと、
(※)より
sn+1＝10na1＋10n-1a2＋････＋10an＋an+1
＝10(10n-1a1＋10n-2a2＋････＋an)＋an+1
＝10sn＋an+1
＝10(6m＋rn)＋an+1 （m：整数）
＝6(10m＋rn)＋4rn＋an+1
と変形できるので、、sn+1が6で割り切れる、
すなわちrn+1＝0 となるためには、
4rn＋an+1が6で割り切れればよい。
(ⅰ) rn＝0のとき
4rn＋an+1＝an+1
より、rn+1＝0 ⇔ an+1＝6
(ⅱ) rn＝1のとき
4rn＋an+1＝4＋an+1
より、rn+1＝0 ⇔ an+1＝2
(ⅲ) rn＝2のとき
4rn＋an+1＝8＋an+1
より、rn+1＝0 ⇔ an+1＝4
(ⅳ) rn＝3のとき
4rn＋an+1＝12＋an+1
より、rn+1＝0 ⇔ an+1＝6
(ⅴ) rn＝4のとき
4rn＋an+1＝16＋an+1
より、rn+1＝0 ⇔ an+1＝2
(ⅵ) rn＝5のとき
4rn＋an+1＝20＋an+1
より、rn+1＝0 ⇔ an+1＝4
rn＝k （k＝0，1，･･･，5）となる確率をpn,kとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n,0}+p_{n,1}+p_{n,2}+p_{n,3}+p_{n,4}+p_{n,5}=1\end{align*}}$
であり、(ⅰ)～(ⅵ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1,0}=\frac{1}{6}p_{n,0}+\frac{1}{6}p_{n,1}+\frac{1}{6}p_{n,2}+\frac{1}{6}p_{n,3}+\frac{1}{6}p_{n,4}+\frac{1}{6}p_{n,5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1,0}=\frac{1}{6}\end{align*}}$ ．
また、n＝1のときは、a1＝6であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{1,0}=\frac{1}{6}\end{align*}}$ ．
よって、任意のnに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n,0}=\underline{\ \frac{1}{6}\ }\end{align*}}$
である。
(３)
snを7で割った余りをRnとおくと、
(２)と同様に
sn+1＝10sn＋an+1
＝10(7M＋Rn)＋an+1 （M：整数）
＝7(10m＋Rn)＋3Rn＋an+1
と変形できるので、sn+1が7で割り切れる、
すなわちRn+1＝0 となるためには、
3Rn＋an+1が7で割り切れればよい。
(ア) Rn＝0のとき
3Rn＋an+1＝an+1
より、Rn+1＝0 となるようなan+1は存在しない。
(イ) Rn＝1のとき
3Rn＋an+1＝3＋an+1
より、Rn+1＝0 ⇔ an+1＝4
(ウ) Rn＝2のとき
3Rn＋an+1＝6＋an+1
より、Rn+1＝0 ⇔ an+1＝1
(エ) Rn＝3のとき
3Rn＋an+1＝9＋an+1
より、Rn+1＝0 ⇔ an+1＝5
(オ) Rn＝4のとき
3Rn＋an+1＝12＋an+1
より、Rn+1＝0 ⇔ an+1＝2
(カ) Rn＝5のとき
3Rn＋an+1＝15＋an+1
より、Rn+1＝0 ⇔ an+1＝6
(キ) Rn＝6のとき
3Rn＋an+1＝18＋an+1
より、Rn+1＝0 ⇔ an+1＝3
Rn＝k （k＝0，1，･･･，6）となる確率をPn,kとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n,0}+P_{n,1}+P_{n,2}+P_{n,3}+P_{n,4}+P_{n,5}+P_{n,6}=1\end{align*}}$
なので、(ア)～(キ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1,0}=\frac{1}{6}P_{n,1}+\frac{1}{6}P_{n,2}+\frac{1}{6}P_{n,3}+\frac{1}{6}P_{n,4}+\frac{1}{6}P_{n,5}+\frac{1}{6}P_{n,6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(P_{n,1}+P_{n,2}+P_{n,3}+P_{n,4}+P_{n,5}+P_{n,6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(1-P_{n,0}\right)\end{align*}}$ ．
この式は、tについての方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{6}(1-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{7}\end{align*}}$
を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n+1,0}-\frac{1}{7}=-\frac{1}{6}\left(P_{n,0}-\frac{1}{7}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_{n,0}-\frac{1}{7}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\left(P_{1,0}-\frac{1}{7}\right)\end{align*}}$
と変形できる。
n＝1のときは、s1が7で割り切れることはないので、P1,0＝0 ．
よって、任意のnに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n,0}-\frac{1}{7}=\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}\cdot\left(-\frac{1}{7}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ P_{n,0}=-\frac{1}{7}\left(-\frac{1}{6}\right)^{n-1}+\frac{1}{7}\ }\end{align*}}$
となる。
合同式を使えば書きやすいのですが・・・・（笑）
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