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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013東京医科歯科大 数学1



第1問

  以下の各問いに答えよ。

 (1) 実数$\small\sf{\alpha,\beta}$ が$\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\ ,\ 0\lt \beta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\tan\alpha\ \tan\beta=1}$を
    満たすとき、$\small\sf{\alpha+\beta}$ の値を求めよ。

 (2) 実数$\small\sf{\sf\alpha,\beta,\gamma}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\ ,\ 0\lt\beta\lt \frac{\pi}{2}\ ,\ 0\lt\gamma\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たすとき、
         $\small\sf{\tan\alpha\ \tan\beta+\tan\beta\ \tan\gamma+\tan\gamma\ \tan\alpha}$
    の値を求めよ。

 (3) 実数$\small\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\ ,\ 0\lt\beta\lt\frac{\pi}{2}\ ,\ 0\lt \gamma\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たすとき、
         $\small\sf{\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma}$
    のとりうる値の範囲を求めよ。




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  1. 2018/11/16(金) 01:04:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京医科歯科大 2013
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2013東京医科歯科大 数学2(1)~(3)



第2問

  2次正方行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ のうち、次の3条件(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)を満たす
  もの全体の集合をMとする。
     (ⅰ)a、b、c、dは全て整数
     (ⅱ)b+c=0
     (ⅲ)a-b-d=0
  またEを2次単位行列とする。このとき以下の各問いに答えよ。

 (1) 行列A、BがともにMの要素であるとき、それらの積ABもMの要素
    であることを示せ。

 (2) 行列A= $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ とその逆行列A-1がともにMの要素であるとき、
    ad-bc=1が成立することを示せ。

 (3) 行列Aとその逆行列A-1がともにMの要素であるようなAをすべて
    求めよ。

 (4) 自然数nについて、Mの要素であってAn=Eを満たすような行列A
    の全体の集合をSnとする。Snの要素の個数がちょうど3となるnを
    すべて求めよ。


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  1. 2018/11/16(金) 01:05:00|
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2013東京医科歯科大 数学3(1)~(3)



第3問

  m、nを自然数として、関数f(x)=xm(1-x)nを考える。このとき
  以下の各問いに答えよ。

 (1) 0≦x≦1におけるf(x)の最大値をm、nを用いて表せ。

 (2) 定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1f\ (x)dx\end{align*}}$ をm、nを用いて表せ。

 (3) a、b、cを実数として、関数g(x)=ax2+bx+cの0≦x≦1に
    おける最大値をM(a,b,c)とする。2つの条件(ⅰ)、(ⅱ)が成立
    するとき、M(a,b,c)の最小値をm、nを用いて表せ。
     (ⅰ) g(0)=g(1)=0
     (ⅱ) 0<x<1のときf(x)≦g(x)

 (4) m、nが2以上の自然数でm>nであるとき
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{(m+n+1)!}{m!\ n!}>\frac{(m+n)^{m+n}}{m^mn^n}>2^{2n-1}\end{align*}}$
    が成立することを示せ。



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