(1)
放物線$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ が点$\scriptsize\sf{\sf (0,\ 1)}$ を通るので、
$\scriptsize\sf{\sf f（0）=p^2+q=1\ \ \Leftrightarrow\ \ q=1-p^2}$
これより、
$\scriptsize\sf{\sf f(x)=(x-p)^2+1-p^2}$
$\scriptsize\sf{\sf =x^2-2px+1}$
放物線$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ と直線$\scriptsize\sf{\sf y=x}$ の交点を求める。
$\scriptsize\sf{\sf x^2-2px+1=x}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-(2p+1)x+1=0}$ ･････①
接するので、①の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\sf D=(2p+1)^2-4=0}$
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=-\frac{3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (p,q)=\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
このとき、接点の座標は$\scriptsize\sf{\sf (1,\ 1)}$
(2)
$\scriptsize\sf{\sf g(x)=f_1(x)-f_2(x)}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf g(x)=(x^2-2p_1x+p_1^2+q_1)-(x^2-2p_2x+p_2^2+q_2)}$
$\scriptsize\sf{\sf =(2p_1-2p_2)x+p_1^2-p_2^2+q_1-q_2}$
となるので、$\scriptsize\sf{\sf g(x)}$ は一次関数である。
ここで、$\scriptsize\sf{\sf f_1(\alpha)\lt f_2(\alpha)}$ かつ$\scriptsize\sf{\sf f_1(\beta)\lt f_2(\beta)}$ であれば、
$\scriptsize\sf{\sf g(\alpha)=f_1(\alpha)-ｆ_2(\alpha)\lt 0}$ かつ
$\scriptsize\sf{\sf g(\beta)=f_1(\beta)-f_2(\beta)\lt 0}$
となるので、単調関数$\scriptsize\sf{\sf g(x)}$ は区間$\scriptsize\sf{\sf \alpha\leqq x\leqq \beta}$ で常に$\scriptsize\sf{\sf g(x)\lt 0}$ となる。
（下図参照）
よって、区間$\scriptsize\sf{\sf \alpha\leqq x\leqq \beta}$ において不等式$\scriptsize\sf{\sf f_1(x)\lt f<_2(x)}$ がつねに成り立つ。
(3)
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf f(0)\lt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf f(1)\lt 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ は長方形Rと共有点をもたないので不適
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\sf 0\leqq f(0)\leqq 1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ は線分$\scriptsize\sf{\sf P_0P_1}$ と共有点をもつので不適
(ⅲ) $\scriptsize\sf{\sf 0\leqq f(1)\leqq 1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ は線分$\scriptsize\sf{\sf P_2P_3}$と共有点をもつので不適
(ⅳ) $\scriptsize\sf{\sf f(0)\lt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf 1\leqq f(1)}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ は線分$\scriptsize\sf{\sf P_1P_2}$ と共有点をもつので不適
(ⅴ) $\scriptsize\sf{\sf 1\leqq f(0)}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf f(1)\lt 0}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ は線分$\scriptsize\sf{\sf P_1P_2}$ と共有点をもつので不適
以上より、長方形Rと共有点をもつような$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ が、
Lと共有点をもたないためには、
$\scriptsize\sf{\sf f(0)\gt 1}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf f(1)\gt 1}$
であることが必要である。
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (p,q)=\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
のとき、$\scriptsize\sf{\sf y=f(x)}$ は点$\scriptsize\sf{\sf P_0}$ を通り、点$\scriptsize\sf{\sf P_2}$ で直線$\scriptsize\sf{\sf y=x}$ に接する。
このときの$\scriptsize\sf{\sf f(x)}$ を$\scriptsize\sf{\sf f_0(x)=x^2-x+1}$ とおくと、
区間$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 1}$ で常に$\scriptsize\sf{\sf x\leqq f_0(x)}$ が成り立つ。
(2)より、
$\scriptsize\sf{\sf 1=f_0(0)\lt f(0)}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf 1=f_0(1)\lt f(1)}$ を満たすような$\scriptsize\sf{\sf f(x)}$ は、
区間$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 1}$ で常に$\scriptsize\sf{\sf f_0(x)\lt f(x)}$ を満たす。
すなわち、$\scriptsize\sf{\sf f(x)}$ が$\scriptsize\sf{\sf 1\lt f(0)}$ かつ $\scriptsize\sf{\sf 1\lt f(1)}$ を満たせば、
区間$\scriptsize\sf{\sf 0\leqq x\leqq 1}$ で常に$\scriptsize\sf{\sf x\leqq f_0(x)\lt f(x)}$ となり、Lと共有点をもたない。
よって、領域Tは右図の水色の部分となり、
領域Sは右図の緑色の部分となる。
Sの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1 f_0(x)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1 (x^2-x+1)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x \right]_0^1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{6}\end{align*}}$
