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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪大 理系数学1




第1問

  aを自然数とする。Oを原点とする座標平面上で行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf -1\\ \sf 1 &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$ の表す
  1次変換をfとする。

 (1) $\small\sf{\sf r\gt 0}$ および$\small\sf{\sf 0\leqq \theta\lt 2\pi}$ を用いて、 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf r\cos\theta &\sf -r\sin\theta\\ \sf r\sin\theta &\sf r\cos\theta\end{pmatrix}\end{align*}}$ と表すとき、
   $\small\sf{\sf r\ ,\ \cos\theta\ ,\ \sin\theta}$ をaで表せ。

 (2) 点Q(1,0)に対し、点Qn(n=1,2,3,・・・)を
      Q1=Q、 Qn+1=f(Qn)
    で定める。△OQnQn+1の面積S(n)をaとnを用いて表せ。

 (3) fによって点(2,7)に移されるもとの点Pのx座標の小数第一位を四捨五入
    して得られる近似値が2であるという。自然数aの値を求めよ。またこのとき
   $\small\sf{\sf S(n)\gt 10^{10}}$ となる最小のnの値を求めよ。
    ただし、$\small\sf{\sf 0.3\lt \log_{10}2\lt 0.31}$ を用いてよい。


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  1. 2011/09/26(月) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学2




第2問

  実数$\small\sf{\theta}$ が動くとき、xy平面上の動点$\small\sf{\sf P(0, \ \sin\theta)}$ および$\small\sf{\sf Q(8\cos\theta,\ 0)}$ を考える。
  $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、平面内で線分PQが通過する部分をDとする。
  Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。


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  1. 2011/09/27(火) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学3



第3問

  実数の組$\small\sf{\sf (p,\ q)}$ に対し、$\small\sf{\sf f(x)=(x-p)^2+q}$ とおく。

 (1) 放物線$\small\sf{\sf y=x(x)}$ が点$\small\sf{\sf (0,\ 1)}$ を通り、しかも直線$\small\sf{\sf y=x}$ の$\small\sf{\sf x\gt 0}$ の部分と接する
    ような実数の組$\small\sf{\sf (p,\ q)}$ と接点の座標を求めよ。

 (2) 実数の組$\small\sf{\sf (p_1,\ q_1)\ ,\ (p_2,\ q_2)}$ に対して、$\small\sf{\sf f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1}$ および
    $\small\sf{\sf f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2}$ とおく。実数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ (ただし$\small\sf{\alpha\lt \beta}$ )に対して
      $\small\sf{\sf f_1(\alpha)\lt f_2(\alpha)}$ かつ $\small\sf{\sf f_1(\beta)\lt f_2(\beta)}$
    であるならば、区間$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ において不等式$\small\sf{\sf f_1(x)\lt f_2(x)}$ がつねに成り
    立つことを示せ。

 (3) 長方形$\small\sf{\sf R:\ 0\leqq x\leqq 1\ , \ 0\leqq y\leqq 2}$ を考える。また、4点
    $\small\sf{\sf P_0 (0,\ 1)\ ,\ P_1(0,\ 0)\ ,\ P_2(1,\ 1)\ ,\ P_3(1,\ 0)}$ をこの順に線分で結んで得られる折れ線を
    Lとする。
    実数の組$\small\sf{\sf (p,\ q)}$ を、放物線$\small\sf{\sf y=f(x)}$ と折れ線Lに共有点がないようなすべての
    組にわたって動かすとき、Rの点のうちで放物線$\small\sf{\sf y=f(x)}$ が通過する点全体の
    集合をTとする。RからTを除いた領域Sを座標平面上に図示し、その面積を求
    めよ。

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  1. 2011/09/28(水) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学4



第4問

  a、b、cを正の定数とし、xの関数$\small\sf{\sf f(x)=x^3+ax^2+bx+c}$ を考える。
  以下、定数はすべて実数とする。

 (1) 定数p、qに対し、次を満たす定数rが存在することを示せ。
     $\small\sf{\sf x\geqq 1}$ ならば、$\small\sf{\sf |\ px+q\ |\leqq rx}$

 (2) 恒等式$\small\sf{\sf (\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3}$ を用いて、次を満たす
    定数k、L が存在することを示せ。
     $\small\sf{\sf x\geqq 1}$ ならば、$\small\sf{\begin{align*} \sf \left| \ \sqrt[3]{\sf \ f\ (x)}-x-k\ \right|\leqq\frac{L}{x}\end{align*}}$

 (3) すべての自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]{\sf \ f\ (x)}\end{align*}}$ が自然数であるとする。このとき
    関数f(x)は、自然数mを用いて$\small\sf{\sf f(x)=(x+m)^3}$ と表されることを示せ。


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  1. 2011/09/29(木) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学5(1)(2)




第5問

  正数rに対して、a1=0、a2=rとおき、数列{an}を次の漸化式で定める。

      an+1=an+rn(an-an-1)  (n=2,3,4,・・・・)

  ただし、anとan-1から漸化式を用いてan+1を求める際には硬貨を投げ、表が
  出たとき $\small\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{r}{2}\end{align*}}$ 、裏が出たとき $\small\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{1}{2r}\end{align*}}$ とする。ここで表が出る確率と裏が出る
  確率は等しいとする。anの期待値をpnとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) p3およびp4を、rを用いて表せ。

 (2) n≧3のときにpnを、rを用いて表せ。

 (3) 数列{pn}が収束するような正数rの範囲を求めよ。

 (4) rが(3)で求めた範囲を動くとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n\end{align*}}$ の最小値を求めよ。





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  1. 2011/09/30(金) 23:54:00|
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2011大阪大 理系数学5(3)(4)




第5問

  正数rに対して、a1=0、a2=rとおき、数列{an}を次の漸化式で定める。

      an+1=an+rn(an-an-1)  (n=2,3,4,・・・・)

  ただし、anとan-1から漸化式を用いてan+1を求める際には硬貨を投げ、表が
  出たとき $\small\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{r}{2}\end{align*}}$ 、裏が出たとき $\small\sf{\begin{align*} \sf r_n=\frac{1}{2r}\end{align*}}$ とする。ここで表が出る確率と裏が出る
  確率は等しいとする。anの期待値をpnとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) p3およびp4を、rを用いて表せ。

 (2) n≧3のときにpnを、rを用いて表せ。

 (3) 数列{pn}が収束するような正数rの範囲を求めよ。

 (4) rが(3)で求めた範囲を動くとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n\end{align*}}$ の最小値を求めよ。





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  1. 2011/09/30(金) 23:57:00|
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