青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪大 理系数学1

また1週間が始まりますが、今日からは今年の阪大・理系の問題です。
かなり難しいですよ。




第1問

  aを自然数とする。Oを原点とする座標平面上で行列 の表す
  1次変換をfとする。

 (1) r>0および0≦θ<2πを用いて、 と表すとき、
    r、cosθ、sinθをaで表せ。

 (2) 点Q(1,0)に対し、点Qn(n=1,2,3,・・・)を
      Q1=Q、 Qn+1=f(Qn)
    で定める。△OQnn+1の面積S(n)をaとnを用いて表せ。

 (3) fによって点(2,7)に移されるもとの点Pのx座標の小数第一位を四捨五入
    して得られる近似値が2であるという。自然数aの値を求めよ。またこのとき
    S(n)>1010となる最小のnの値を求めよ。
    ただし、0.3<log102<0.31を用いてよい。


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  1. 2011/09/26(月) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学2

言っている間に9月も終わりですね。
センターまで、10、11、12月と1月ちょっとで、100日ぐらいですかね。
受験生がんばれ!!!



第2問

  実数θが動くとき、xy平面上の動点P(0,sinθ)およびQ(8cosθ,0)を考える。
  θが0≦θπ/2 の範囲を動くとき、平面内で線分PQが通過する部分をDとする。
  Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。


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  1. 2011/09/27(火) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学3

今日は、中1・2生対象の模擬テストでした。
どれぐらいの点数を取ってくれるか、楽しみ半分ドキドキ半分です。




第3問

  実数の組(p,q)に対し、f(x)=(x-p)2+qとおく。

 (1) 放物線y=x(x)が点(0,1)を通り、しかも直線y=xのx>0の部分と接する
    ような実数の組(p,q)と接点の座標を求めよ。

 (2) 実数の組(p1,q1)、(p2,q2)に対して、f1(x)=(x-p1)2+q1および
    f2(x)=(x-p2)2+q2とおく。実数αβ(ただしα<β)に対して
      f1(α)<f2(α) かつ f1(β)<f2(β)
    であるならば、区間α≦x≦βにおいて不等式f1(x)<f2(x)がつねに成り
    立つことを示せ。

 (3) 長方形R:0≦x≦1、0≦y≦2を考える。また、4点 P0(0,1)、P1(0,0)、
    P2(1,1)、P3(1,0)をこの順に線分で結んで得られる折れ線をLとする。
    実数の組(p,q)を、放物線y=f(x)と折れ線Lに共有点がないようなすべての
    組にわたって動かすとき、Rの点のうちで放物線y=f(x)が通過する点全体の
    集合をTとする。RからTを除いた領域Sを座標平面上に図示し、その面積を求
    めよ。



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  1. 2011/09/28(水) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学4

ここのところ、暑いのか寒いのかよく分からない日が続いています。
そのせいか、塾生でも体調をくずす生徒がけっこういます。
くれぐれも体には気をつけてください。




第4問

  a、b、cを正の定数とし、xの関数f(x)=x+ax2+bx+cを考える。
  以下、定数はすべて実数とする。

 (1) 定数p、qに対し、次を満たす定数rが存在することを示せ。
     x≧1ならば、| px+q |≦rx

 (2) 恒等式(αβ)(α2αββ2)=α3β3 を用いて、次を満たす
    定数k、L が存在することを示せ。
     x≧1ならば、

 (3) すべての自然数nに対して、 が自然数であるとする。このとき
    関数f(x)は、自然数mを用いてf(x)=(x+m)と表されることを示せ。


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  1. 2011/09/29(木) 23:57:00|
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2011大阪大 理系数学5(1)(2)

どうでもいいことですが、今日は私の誕生日です。
まぁ今年も頑張ります。




第5問

  正数rに対して、a1=0、a2=rとおき、数列{an}を次の漸化式で定める。

      an+1=an+rn(an-an-1)  (n=2,3,4,・・・・)

  ただし、anとan-1から漸化式を用いてan+1を求める際には硬貨を投げ、表が
  出たとき 、裏が出たとき とする。ここで表が出る確率と裏が出る
  確率は等しいとする。anの期待値をpnとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) p3およびp4を、rを用いて表せ。

 (2) n≧3のときにpnを、rを用いて表せ。

 (3) 数列{pn}が収束するような正数rの範囲を求めよ。

 (4) rが(3)で求めた範囲を動くとき、極限値 の最小値を求めよ。





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  1. 2011/09/30(金) 23:54:00|
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2011大阪大 理系数学5(3)(4)

先ほどの続きでです。




第5問

  正数rに対して、a1=0、a2=rとおき、数列{an}を次の漸化式で定める。

      an+1=an+rn(an-an-1)  (n=2,3,4,・・・・)

  ただし、anとan-1から漸化式を用いてan+1を求める際には硬貨を投げ、表が
  出たとき 、裏が出たとき とする。ここで表が出る確率と裏が出る
  確率は等しいとする。anの期待値をpnとするとき、以下の問いに答えよ。

 (1) p3およびp4を、rを用いて表せ。

 (2) n≧3のときにpnを、rを用いて表せ。

 (3) 数列{pn}が収束するような正数rの範囲を求めよ。

 (4) rが(3)で求めた範囲を動くとき、極限値 の最小値を求めよ。





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  1. 2011/09/30(金) 23:57:00|
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