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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013東京工業大 数学1



第1問

 (1) 2次方程式x2-3x+5=0の2つの解$\small\sf{\alpha,\beta}$ に対し、$\small\sf{\sf \alpha^n+\beta^n-3^n}$ は
    すべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。

 (2) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を
    既約分数で表せ。




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  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2013
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2013東京工業大 数学2



第2問

  2次の正方行列A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、Δ(A)=ad-bc、t(A)=a+d
  と定める。

 (1) 2次の正方行列A、Bに対して、Δ(AB)=Δ(A)Δ(B)が成り立つ
    ことを示せ。

 (2) Aの成分がすべて実数で、A5=Eが成り立つとき、x=Δ(A)と
    y=t(A)の値を求めよ。ただし、Eは2次の単位行列とする。


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2013東京工業大 数学3



第3問

  kを定数とするとき、方程式ex-xe=kの異なる正の解の個数を求めよ。




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2013東京工業大 数学4



第4問

  正の整数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x \leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲において$\small\sf{\sf \sin 4nx\geqq \sin x}$ を
  満たすxの区間の長さの総和をSnとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。




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2013東京工業大 数学5



第5問

  a、bを正の実数とし、円C1:(x-a)2+y2=a2
  楕円C2:$\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$ を考える。

 (1) C1がC2に内接するためのa、bの条件を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ とし、C1がC2に内接しているとする。このとき、
    第1象限におけるC1とC2の接点の座標(p,q)を求めよ。

 (3) (2)の条件のもとで、x≧pの範囲において、C1とC2
    囲まれた部分の面積を求めよ。


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