第１問
(１) 2次方程式x2－3x＋5＝0の2つの解$\small\sf{\alpha,\beta}$ に対し、$\small\sf{\sf \alpha^n+\beta^n-3^n}$ は
すべての正の整数nについて5の整数倍になることを示せ。
(２) 6個のさいころを同時に投げるとき、ちょうど4種類の目が出る確率を
既約分数で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
まず、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =3、 $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =5 ････①
すべてのの正の整数nに対して
「$\scriptsize\sf{\alpha}$ n+$\scriptsize\sf{\beta}$ n－3nが5の整数倍になる」････(※)
ことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1、n=2のとき
①より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ －3=3－3
=0
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2－32=($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )2－2$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ －32
=32－2･5－32
=－10
となるので、ともに(※)を満たす。
(ⅱ)n=k、n=k+1で(※)が成り立つと仮定すると、
整数A、Bを用いて、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+$\scriptsize\sf{\beta}$ k－3k=5A
$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+1－3k+1=5B ････②
と表すことができる。
n=k+2のとき、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+2+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+2－3k+2
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+1)($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )－$\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1$\scriptsize\sf{\beta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ k+1－3k+2
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ k+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ k+1)($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )－$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ k+$\scriptsize\sf{\beta}$ k)－3k+2
=3(5A+3k+1)－5(5B+3k)－3k+2 ←①、②より
=15A+9･3k－25B－5･3k－9･3k
=5(3A－5B－3k)
となり、3A－5B－3kは整数なので(※)を満たす。
以上より、
任意のnに対して(※)は成り立つので、題意は示された。
(２)
目の出方の総数は 66通りある。
異なる記号は異なる数字を表すことにすると、
題意を満たすような目の出方は、
次のような2つのパターンが考えられる。
(ア) ○○○□△☆ のパターン
○の数字は6通り、
□、△、☆の数字は5C3通りの選び方があり、
これら6個の数字の並び方は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{3!}\end{align*}}$ 通りある。
(イ) ○○□□△☆ のパターン
○、□の数字は6C2通り、
△、☆の数字は4C2通りの選び方があり、
これら6個の数字の並び方は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{2!\ 2!}\end{align*}}$ 通りある。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6\cdot _5C_3\cdot\frac{6!}{3!}+_6C_2\cdot _4C_2\cdot\frac{6!}{2!\ 2!}}{6^6}=\underline{\ \frac{325}{648}\ }\end{align*}}$
となる。
ここは確実に！
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第２問
2次の正方行列A＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、Δ(A)＝ad－bc、t(A)＝a＋d
と定める。
(１) 2次の正方行列A、Bに対して、Δ(AB)＝Δ(A)Δ(B)が成り立つ
ことを示せ。
(２) Aの成分がすべて実数で、A5＝Eが成り立つとき、x＝Δ(A)と
y＝t(A)の値を求めよ。ただし、Eは2次の単位行列とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf ax+bz&\sf ay+bw \\ \sf cx+dz & \sf cy+dw \end{pmatrix}\end{align*}}$
より、
Δ(AB)
=(ax+bz)(cy+dw)－(ay+bw)(cx+dz)
=acxy+adxw+bcyz+bdzw－acxy－adyz－bcxw－bdzw
=adxw+bcyz－adyz－bcxw
=ad(xw－yz)－bc(xw－yz)
=(ad－bc)(xw－yz)
=Δ(A)Δ(B)
となるので、題意は示された。
(２)
A5=Eより、
Δ（A5)=Δ（E)=1
であり、(１)より
Δ(A5)=Δ(A4)Δ（A)
=Δ(A3)Δ（A)Δ（A)
=Δ（A2)Δ（A)Δ（A)Δ（A)
=Δ（A)Δ（A)Δ（A)Δ（A)Δ（A)
={Δ（A)}5
=x5
となるので、
x5=1 ⇔ x=1 （∵xは実数）
また、ハミルトン・ケーリーの定理より、
A2－(a+d)A+(ad－bc)E=O
⇔ A2=(a+d)A－(ad－bc)E=yA－E ････①
A5=Eより、
A5=A(A2)2
=A(yA－E)2 ←①より
=A(y2A2－2yA+E)
=A{y2(yA－E)－2yA+E} ←①より
=(y3－2y)A2+(－y2+1)A
=(y3－2y)(yA－E)+(－y2+1)A ←①より
=(y4－3y3+1)A+(－y3+2y)E
=E
⇔ (y4－3y3+1)A=(y3－2y+1)E ････②
(ⅰ) y4－3y3+1=0のとき
②は、
O=(y3－2y+1)E
となるので、
y3－2y+1=0 ．
これらを同時に満たすyを求めると、
y4－3y3+1=(y4－2y3+1)－y2
=(y2－1)2－y2
=(y2－y－1)(y2+y－1)=0
かつ、
y3－2y+1=(y－1)(y2+y－1)=0
なので、
y2+y－1=0 ⇔ y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1\pm\sqrt5}{2}\end{align*}}$
(ⅱ) y4－3y3+1≠0のとき
実数kを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{y^3-2y+1}{y^4-3y^2+1}\end{align*}}$
とおくと、②より、A=kE となるので、
A5=E ⇔ (kE)5=k5E=E
⇔ k=1 （∵kは実数）
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、
y=t(a)=1+1=2
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=1\ \ ,\ \ \\ y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\ ,\ 2\ }\end{align*}}$
となる。
これもよくある問題ですので確実に！
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第３問
kを定数とするとき、方程式ex－xe=kの異なる正の解の個数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
xの関数f(x)を
f(x)=ex－xe （x＞0）
とおくと、第1次～第4次導関数はそれぞれ
f’(x)=ex－exe-1=e(ex-1－xe-1)
f”(x)=ex－e(e－1)xe-2
f(3)(x)=ex－e(e－1)(e－2)xe-3
f(4)(x)=ex－e(e－1)(e－2)(e－3)xe-4
ここで、x＞0かつ、2＜e＜3より
e(e－1)(e－2)(e－3)xe-4＜0
なので、f(4)(x)＞0となり、f(3)(x)は単調に増加する。
さらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f^{(3)}(x)=e^0-e(e-1)(e-2)\lim_{x\rightarrow +0}\frac{1}{x^{3-e}}=-\infty\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f^{(3)}(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}e^x-e(e-1)(e-2)\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x^{3-e}}=+\infty\end{align*}}$
なので、中間値の定理より
f(3)($\scriptsize\sf{\alpha}$ )=0となるようなx=$\scriptsize\sf{\alpha}$ （＞0）がただ１つ存在する。
よって、
0＜x＜$\scriptsize\sf{\alpha}$ において、f(3)(x)＜0
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜xにおいて、f(3)(x)＜0
なので、f”(x)の増減は次のようになる。
ここで、
f”(1)=－e(e－2)＜0 （∵e＞2）
f”(e)=ee－e(e－1)ee-2=ee-1＞0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ ''(x)=e^0-e(e-1)\lim_{x\rightarrow +0}\ x^{e-2}=1\end{align*}}$
であり、中間値の定理より、
f”($\scriptsize\sf{\beta}$ )=f”($\scriptsize\sf{\gamma}$ )=0 （0＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜1＜$\scriptsize\sf{\gamma}$ ＜e）となるような
$\scriptsize\sf{\beta}$ 、γが存在するので、f’(x)の増減は次のようになる。
f’(x)はx=$\scriptsize\sf{\beta}$ 、γで極値をとり、
f’(1)=e－e=0
f’(e)=e(ee-1－ee-1)=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ '(x)=e^0-e\lim_{x\rightarrow +0}\ x^{e-1}=1\end{align*}}$
なので、f’(x)=0となるxは、x=1とx=eのみである。
f(1)=e－1
f(e)=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f(x)=+\infty\end{align*}}$
より、f(x)の増減は次のようになる。
方程式ex－xe=kの異なる正の解の個数は、
y=f(x)のグラフと直線yーkの交点の個数に等しいので、
k＜0のとき0個
k=0のとき1個
0＜k≦1のとき2個
1＜k＜e－1のとき3個
k=e－1のとき2個
e－1＜kのとき1個
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{x\rightarrow\infty}\ f(x)=+\infty}\end{align*}}$ の証明は省きましたが・・・・
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第４問
正の整数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x \leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲において$\small\sf{\sf \sin 4nx\geqq \sin x}$ を
満たすxの区間の長さの総和をSnとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ････① より、x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ －xなので、
sin4nx≧sinxを満たすxは、整数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+2k\pi\leqq 4nx\leqq \pi-x+2k\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2k\pi}{4n-1}\leqq x\leqq\frac{(2k+1)\pi}{2n+1}\end{align*}}$ ････②
となる。
ここで、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{2k\pi}{4n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\geqq 0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(2k+1)\pi}{2n+1}\leqq\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\leqq n-\frac{1}{4k}\end{align*}}$
となるので、整数kは、
k=0，1，2，･･･，n－1
の値をとることになる。
よって、②を満たすようなxの区間の長さの総和Snは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left\{\frac{(2k+1)\pi}{2n+1}-\frac{2k\pi}{4n-1}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{(4n-1)(4n+1)}\sum_{k=0}^{n-1}\left\{(2k+1)(4n-1)-2k(4n+1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{(4n-1)(4n+1)}\sum_{k=0}^{n-1}\left(-4k+4n+3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{(4n-1)(4n+1)}\left\{(4n+3)+\sum_{k=1}^{n-1}\left(-4k+4n+3\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{(4n-1)(4n+1)}\left\{(4n+3)-4\cdot \frac{1}{2}n(n-1)+(4n+3)(n-1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(2n^2+n)\pi}{(4n-1)(4n+1)}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(2+\frac{1}{n}\right)\pi}{\left(4-\frac{1}{n}\right)\left(4+\frac{1}{n}\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(2+0\right)\pi}{\left(4-0\right)\left(4+0\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{8}\ }\end{align*}}$ ．
細かい部分に気をつけましょう。
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