第1問
関数y=x(x－1)(x－3)のグラフをC、原点Oを通る傾きtの直線を
Lとし、CとLがO意外に共有点をもつとする。CとLの共有点をO、P、
Qとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$ の積をg(t)とおく。ただし、それら共有点の1つが
接点である場合は、O、P、Qのうちの2つが一致して、その接点であ
るとする。関数g(t)の増減を調べ、その極値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
CとL：y=txの2式を連立させると、
x(x－1)(x－3)=tx
⇔ x(x2－4x+3－t)=0
となり、方程式
x2－4x+3－t=0 ････①
が実数解を持つための条件は、判別式を考えると、
D/4=22－(3－t)≧0
⇔ t≧－1
である。
このとき、①の2解をp、qとおくと、共有点P、Qの座標は、
P(p，tp)、 Q(q，tq)
と表すことができる。
また、解と係数の関係より、
p+q=4、 pq=3－t ････②
となる。
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=|\overrightarrow{\sf OP}||\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{p^2+(tp)^2}\sqrt{q^2+(tq)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{p^2q^2(1+t^2)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|pq|(1+t^2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|3-t|(1+t^2)\end{align*}}$ ←②より
(ⅰ) t≧3のとき
g(t)=(－3+t)(1+t2)
=t3－3t2+t－3
g’(t)=3t2－6t+1
=3(t－1)2－2＞0 （∵t≧3)
(ⅱ) －1≦t＜3のとき
g(t)=－t3+3t2－t+3
g’(t)=－3t2+6t－1
となり、g’(t)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3\pm\sqrt6}{2}\end{align*}}$
のときであり、これらはともに－1≦t＜3を満たす。
これらより、－1≦tにおける g(t)の増減は次のようになる。
ここで、筆算を用いてg(t)をg’(t)で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=g\ '(t)\ \left(\frac{1}{3}t-\frac{1}{3}\right)+\frac{4}{3}t+\frac{8}{3}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\frac{3\pm\sqrt6}{2}\right)=\frac{4}{3}\cdot\frac{3\pm\sqrt6}{2}+\frac{8}{3}=4\pm\frac{4\sqrt6}{9}\end{align*}}$ （複号同順）
となる。
以上より、関数g(t)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3-\sqrt6}{2}\end{align*}}$ で極小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4-\frac{4\sqrt6}{9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3+\sqrt6}{2}\end{align*}}$ で極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4+\frac{4\sqrt6}{9}\end{align*}}$
t=3 で極小値 0
をとる。
場合分けに気づきさえすれば、特に問題ないですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/20(火) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2013
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
座標平面上の3点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(0\ ,\ -\sqrt2\right)\ ,\ Q\left(0\ ,\ \sqrt2\right)\ ,\ A\left(a\ ,\ \sqrt{a^2+1}\right)\ \ \ \left(0\leqq a\leqq 1\right)\end{align*}}$
を考える。
(1) 2つの線分の長さの差PA－AQはaによらない定数であることを示し、
その値を求めよ。
(2) Qを端点としAを通る半直線と放物線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sqrt2}{8}x^2\end{align*}}$ との交点をBとする。
点Bから直線y=2へ下ろした垂線と直線y=2との交点をCとする。
線分の長さの和
PA+AB+BC
はaによらない定数であることを示し、その値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた座標より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PA-AQ=\sqrt{a^2\left(\sqrt{a^2+1}+\sqrt2\right)^2}-\sqrt{a^2+\left(\sqrt{a^2+1}-\sqrt2\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{(2a^2+3)+2\sqrt{2a^2+2}}-\sqrt{(2a^2+3)-2\sqrt{2a^2+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt{2a^2+2}+1\right)-\left|\sqrt{2a^2+2}-1\right|\end{align*}}$ ．
ここで、0≦a≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq 2a^2+2\leqq 4\ \ \Leftrightarrow\ \ 1<\sqrt2\leqq \sqrt{2a^2+2}\leqq 2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PA-AQ=\left(\sqrt{2a^2+2}+1\right)-\left(\sqrt{2a^2+2}-1\right)=2\end{align*}}$ ．
以上より、差PA－AQはaの値によらず一定値2をとる。
(2)
a=0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A(0\ ,\ 1)\ ,\ B(0\ ,\ 0)\end{align*}}$
a=1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A(1\ ,\ \sqrt2)\ ,\ B(2\sqrt2\ ,\ \sqrt2)\end{align*}}$
となるので、点Bの座標を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(t\ ,\ \frac{\sqrt2}{8}t^2\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \frac{\sqrt2}{8}t^2\leqq \sqrt2<2\end{align*}}$ ････①
となる。
(1)より、
PA=AQ+2
なので、求める和をSとおくと、
S=PA+AB+BC
=(AQ+2)+AB+BC
=QB+BC+2
と変形できる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sqrt{t^2+\left(\frac{\sqrt2}{8}t^2-\sqrt2\right)^2}+\left|2-\frac{\sqrt2}{8}t^2\right|+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{1}{32}t^4+\frac{1}{2}t^2+2}+\left(2-\frac{\sqrt2}{8}t^2\right)+2\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{\sqrt2}{8}t^2+\sqrt2\right)^2}+4-\frac{\sqrt2}{8}t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{\sqrt2}{8}t^2+\sqrt2\right)+4-\frac{\sqrt2}{8}t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2+4\end{align*}}$ ．
以上より、和PA+AB+BCはaの値によらず一定値$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2+4\end{align*}}$ をとる。
絶対値の処理にさえ気をつければ、とくに問題ないと思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/20(火) 01:12:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2013
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
A、Bの2人がいる。投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の
操作を繰り返す。
(ⅰ)Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
Aに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、
両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(ⅱ)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
Bに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、
両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そして、A、Bいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した
方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、
この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。
A、Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利とな
る確率p(n)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
Aが勝利するまでのn回のうち、A、Bがコインを投げた回数を
それぞれa、bとすると、
a+b=n ････①
である。
(ⅰ)Bが0点ままAが勝利する場合
Aの方がBより2回多く投げたことになるので、
a－b=2 ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+2}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-2}{2}\end{align*}}$ ････②
となり、a、bともに整数なので、nは偶数である。
Aが投げたa回のうち、a回目は表であり、
1～a－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
一方、Bは投げたb回すべてが裏なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
である。よって、求める確率p(n)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+2}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$ ←①より
(ⅱ)Bが1点取ってAが勝利する場合
Aの方がBより1回多く投げたことになるので、
a－b=1 ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+1}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-1}{2}\end{align*}}$ ････③
となり、a、bともに整数なので、nは奇数である。
Aについては(ⅰ)と同様。
一方、Bが投げたb回のうち、b回目は裏であり、
1～b－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
である。よって、求める確率p(n)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a-1)(b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+1}{2}-1\right)\left(\frac{n-1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$ ←①、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$
以上より、
nが偶数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
nが奇数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
となる。
理系と共通問題です。これは難しいと思いますよ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/20(火) 01:14:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2013
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
