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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013東京大 文系数学1



第1問

  関数y=x(x-1)(x-3)のグラフをC、原点Oを通る傾きtの直線を
  Lとし、CとLがO意外に共有点をもつとする。CとLの共有点をO、P、
  Qとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$ の積をg(t)とおく。ただし、それら共有点の1つが
  接点である場合は、O、P、Qのうちの2つが一致して、その接点であ
  るとする。関数g(t)の増減を調べ、その極値を求めよ。


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  1. 2018/11/20(火) 01:11:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2013
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2013東京大 文系数学2



第2問

  座標平面上の3点
        $\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(0\ ,\ -\sqrt2\right)\ ,\ Q\left(0\ ,\ \sqrt2\right)\ ,\ A\left(a\ ,\ \sqrt{a^2+1}\right)\ \ \ \left(0\leqq a\leqq 1\right)\end{align*}}$
  を考える。

 (1) 2つの線分の長さの差PA-AQはaによらない定数であることを示し、
    その値を求めよ。

 (2) Qを端点としAを通る半直線と放物線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sqrt2}{8}x^2\end{align*}}$ との交点をBとする。
    点Bから直線y=2へ下ろした垂線と直線y=2との交点をCとする。
    線分の長さの和
         PA+AB+BC
    はaによらない定数であることを示し、その値を求めよ。


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2013東京大 文系数学3



第3問

  a、bを実数の定数とする。実数x、yが
         x2+y2≦25
         2x+y≦5
  をともに満たすとき、z=x2+y2-2ax-2byの最小値を求めよ。




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2013東京大 文系数学4



第4問

  A、Bの2人がいる。投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
  のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の
  操作を繰り返す。

   (ⅰ)Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
     Aに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、
     両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。

   (ⅱ)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
     Bに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、
     両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。

  そして、A、Bいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した
  方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、
  この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。
  A、Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利とな
  る確率p(n)を求めよ。



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