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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013東京大 理系数学1



第1問

  実数a、bに対し平面上の点Pn(xn,yn)を
       (x0,y0)=(1,0)
       (xn+1,yn+1)=(axn-byn,bxn+ayn) 
  (n=0,1,2,・・・)によって定める。次の条件(ⅰ)、(ⅱ)が
  ともに成り立つような(a,b)をすべて求めよ。

  (ⅰ) P0=P6

  (ⅱ) P0、P1、P2、P3、P4、P5は相異なる。



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2013東京大 理系数学2



第2問

  aを実数とし、x>0で定義された関数f(x)、g(x)を次のように定める。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos x}{x}\ \ ,\ \ g(x)=\sin x+ax\end{align*}}$
  このときy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフがx>0において共有点を
  ちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。



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2013東京大 理系数学3



第3問

  A、Bの2人がいる。投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
  のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の
  操作を繰り返す。

   (ⅰ)Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
     Aに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、
     両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。

   (ⅱ)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
     Bに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、
     両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。

  そして、A、Bいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した
  方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、
  この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。

 (1) A、Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利と
    なる確率p(n)を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ p(n)\end{align*}}$ を求めよ。



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2013東京大 理系数学4



第4問

  △ABCにおいて
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \angle BAC=90^{\circ}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|=1\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AC}|=\sqrt3\end{align*}}$
  とする。△ABCの内部の点Pが
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\overrightarrow{\sf PA}}{|\overrightarrow{\sf PA}|}+\frac{\overrightarrow{\sf PB}}{|\overrightarrow{\sf PB}|}+\frac{\overrightarrow{\sf PC}}{|\overrightarrow{\sf PC}|}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
  を満たすとする。

 (1) ∠APB、∠APCを求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PA}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf PB}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf PC}|\end{align*}}$ を求めよ。



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2013東京大 理系数学5



第5問

  次の命題Pを証明したい。
  命題P 
    次の条件(a)、(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが
    存在する。
    (a) Aは連続する3つの自然数の積である。
    (b) Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上表れる
      ところがある。
  以下の問いに答えよ。

 (1) yを自然数とする。このとき不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
    が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。

 (2) 命題Pを証明せよ。



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2013東京大 理系数学6



第6問

  座標空間において、xy平面内に不等式|x|≦1、|y|≦1により定まる
  正方形Sの4つの頂点をA(-1,1,0)、B(1,1,0)、C(1,-1,0)、
  D(-1,-1,0)とする。正方形Sを、直線BDを軸として回転させて
  できる立体をV1、直線ACを軸として回転させてできる立体をV2とする。

 (1) 0≦t<1を満たす実数tに対し、平面x=tによるV1の切り口の面積
    をを求めよ。

 (2) V1とV2の共通部分の体積を求めよ。



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