第1問
実数a、bに対し平面上の点Pn(xn，yn)を
(x0，y0)=(1，0)
(xn+1，yn+1)=(axn－byn，bxn+ayn)
(n=0，1，2，･･･)によって定める。次の条件(ⅰ)、(ⅱ)が
ともに成り立つような(a，b)をすべて求めよ。
(ⅰ) P0=P6
(ⅱ) P0、P1、P2、P3、P4、P5は相異なる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(a，b)=(0，0)のときは、
P1=P2=(0，0)
となり、条件(ⅱ)に反するので、(a，b)≠(0，0)である。
与えられた漸化式は、行列を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x_{n+1}\ ,y_{n+1})=(ax_n-by_n\ ,\ bx_n+ay_n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=\underline{\begin{pmatrix} \sf a&\sf -b \\ \sf b & \sf a \end{pmatrix}}\binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$ ････①
と表すことができる。
下線部の行列をAとおくと、(a，b)≠(0，0)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\sqrt{a^2+b^2}\begin{pmatrix} \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&\sf -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sf \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できる。ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{a^2+b^2}\ \ (>0)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{a}{r}\ \ ,\ \ \sin\theta=\frac{b}{r}\end{align*}}$ ････②
となるような$\scriptsize\sf{\theta}$ （－$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ ）が存在するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=r\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
と表すことができる。
行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$ は、原点中心として$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転する
移動を表すので、nを自然数とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=r^n\begin{pmatrix} \sf \cos n\theta&\sf -\sin n\theta \\ \sf \sin n\theta & \sf \cos n\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$ ････③
となる。
よって、点Pnの座標は①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=A\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A^2\binom{x_{n-2}}{y_{n-2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A^3\binom{x_{n-3}}{y_{n-3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A^n\binom{x_0}{y_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^n\begin{pmatrix} \sf \cos n\theta&\sf -\sin n\theta \\ \sf \sin n\theta & \sf \cos n\theta \end{pmatrix}\binom{1}{0}\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{r^n\cos n\theta}{r^n\sin n\theta}\end{align*}}$
となり、条件(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_6=P_0\ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{r^6\cos 6\theta}{r^6\sin 6\theta}=\binom{1}{0}\end{align*}}$ ．
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^6=1\ \ \Leftrightarrow\ \ r=1\ \ (>0)\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6\theta=2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{k\pi}{3}\end{align*}}$ （kは整数）
となり、－$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=0\ ,\ \pm\frac{\pi}{3}\ ,\ \pm\frac{2\pi}{3}\ ,\ \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \theta=0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{\cos 0}{\sin 0}=\binom{1}{0}\ \ \Leftrightarrow\ \ P_1=P_0\end{align*}}$
となるので条件(ⅱ)に反する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \theta=\pi\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_2}{y_2}=\binom{\cos 2\pi}{\sin 2\pi}=\binom{1}{0}\ \ \Leftrightarrow\ \ P_2=P_0\end{align*}}$
となるので条件(ⅱ)に反する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \theta=\pm\frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_3}{y_3}=\binom{\cos(\pm 2\pi)}{\sin(\pm 2\pi)}=\binom{1}{0}\ \ \Leftrightarrow\ \ P_3=P_0\end{align*}}$
となるので条件(ⅱ)に反する。（複号は同順）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iv)\ \theta=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_2}{y_2}=\binom{\cos\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{1}{2}\binom{-1}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_3}{y_3}=\binom{\cos\pi}{\sin\pi}=\binom{-1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_4}{y_4}=\binom{\cos\frac{4\pi}{3}}{\sin\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_5}{y_5}=\binom{\cos\frac{5\pi}{3}}{\sin\frac{5\pi}{3}}=\frac{1}{2}\binom{1}{-\sqrt3}\end{align*}}$
となり、点P0～P5はすべて異なるので、題意を満たす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (v)\ \theta=-\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
(ⅳ)と同様に計算すると、点P0～P5は順に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{1}{0}\ ,\ \frac{1}{2}\binom{1}{-\sqrt3}\ ,\ -\frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\ ,\ \binom{-1}{0}\ ,\ \frac{1}{2}\binom{-1}{\sqrt3}\ ,\ \frac{1}{2}\binom{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
となり、これらはすべて異なるので、題意を満たす。
以上より、求める(a，b)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a\ ,\ b)=\left(\cos\frac{\pm\pi}{3}\ ,\ \sin\frac{\pm\pi}{3}\right)=\underline{\ \left(\frac{1}{2}\ ,\ \pm\frac{\sqrt3}{2}\right)\ }\end{align*}}$ （複号は同順）
回転移動に気づくかが勝負です！
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第2問
aを実数とし、x＞0で定義された関数f(x)、g(x)を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos x}{x}\ \ ,\ \ g(x)=\sin x+ax\end{align*}}$
このときy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフがx＞0において共有点を
ちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
y=f(x)とy=g(x)の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\cos x}{x}=\sin x+ax\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\cos x-x\sin x}{x^2}=a\end{align*}}$
となり、xの関数h(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{\cos x-x\sin x}{x^2}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
とおくと、題意を満たすためには、y=h(x)のグラフと
直線y=aの共有点がちょうど3個になればよい。
h(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '(x)=\frac{(-\sin x-\sin x-x\cos x)x^2-(\cos x-x\sin x)\cdot 2x}{x^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{(x^2+2)\ \cos x}{x^3}\end{align*}}$
となるので、増減は次のようになる。
よって、h(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2n-1}{2}\pi\ \ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
で極値をとり、その絶対値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|h\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)\right|=\left|-\frac{2}{(2n-1)\pi}\sin\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)\right|=\frac{2}{(2n-1)\pi}\end{align*}}$
となるので、単調に減少する。
よって、下図より、題意を満たすようなaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-\frac{2}{5\pi}\ \ ,\ \ \frac{2}{7\pi}\lt a<\frac{2}{3\pi}\ }\end{align*}}$
である。
これは比較的取っつきやすいと思いますよ。まぁ確実に！
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第3問
A、Bの2人がいる。投げたとき表裏が出る確率がそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の
操作を繰り返す。
(ⅰ)Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
Aに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、
両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(ⅱ)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出れば、
Bに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、
両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そして、A、Bいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した
方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、
この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1) A、Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利と
なる確率p(n)を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ p(n)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Aが勝利するまでのn回のうち、A、Bがコインを投げた回数を
それぞれa、bとすると、
a+b=n ････①
である。
(ⅰ)Bが0点ままAが勝利する場合
Aの方がBより2回多く投げたことになるので、
a－b=2 ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+2}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-2}{2}\end{align*}}$ ････②
となり、a、bともに整数なので、nは偶数である。
Aが投げたa回のうち、a回目は表であり、
1～a－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
一方、Bは投げたb回すべてが裏なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
である。よって、求める確率p(n)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\right)^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+2}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$ ←①より
(ⅱ)Bが1点取ってAが勝利する場合
Aの方がBより1回多く投げたことになるので、
a－b=1 ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{n+1}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{n-1}{2}\end{align*}}$ ････③
となり、a、bともに整数なので、nは奇数である。
Aについては(ⅰ)と同様。
一方、Bが投げたb回のうち、b回目は裏であり、
1～b－1回目に表が1回だけ出ればよいので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
である。よって、求める確率p(n)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=(a-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a-1}\cdot\frac{1}{2}\times (b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{b-1}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a-1)(b-1)\left(\frac{1}{2}\right)^{a+b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{n+1}{2}-1\right)\left(\frac{n-1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$ ←①、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\end{align*}}$
以上より、
nが偶数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{n}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
nが奇数のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\underline{\ \frac{(n-1)(n-3)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^n\ }\end{align*}}$
となる。
(2)
mを自然数とすると、(1)より、
n=2mのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(2m)=\frac{2m}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2m}=m\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$
n=2m－1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(2m-1)=\frac{(2m-2)(2m-4)}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{2m-1}=2(m-1)(m-2)\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$ ．
部分和Snを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^np(k)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{2m}=\sum_{k=1}^{m}\left\{p(2k-1)+p(2k)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m}\left\{2(k-1)(k-2)\left(\frac{1}{4}\right)^k+k\left(\frac{1}{4}\right)^k\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k-5\sum_{k=1}^{m}k\left(\frac{1}{4}\right)^k+2\sum_{k=1}^{m}k^2\left(\frac{1}{4}\right)^k\end{align*}}$ ．
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_m=\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k\ \ ,\ \ B_m=\sum_{k=1}^{m}k\left(\frac{1}{4}\right)^k\ \ ,\ \ C_m=\sum_{k=1}^{m}k^2\left(\frac{1}{4}\right)^k\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{2m}=4A_m-5B_m+2C_m\end{align*}}$ ････①
と表せる。
無限等比級数Amの公比は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{4}<1\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ････②
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_m=1\cdot\frac{1}{4}+2\left(\frac{1}{4}\right)^2+3\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +m\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$
の両辺に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}B_m=1\left(\frac{1}{4}\right)^2+2\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +(m-1)\left(\frac{1}{4}\right)^m+m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
となり、これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}B_m=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +\left(\frac{1}{4}\right)^m-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A_m-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ B_m=\frac{4}{3}\left\{A_m-m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\right\}\end{align*}}$ ････③
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{4}<1\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ m\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}=0\end{align*}}$
であり、これと②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ B_m=\frac{4}{3}\lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m=\frac{4}{9}\end{align*}}$ ････④
さらに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_m=1^2\cdot\frac{1}{4}+2^2\left(\frac{1}{4}\right)^2+3^2\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +m^2\left(\frac{1}{4}\right)^m\end{align*}}$
の両辺に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}C_m=1^2\left(\frac{1}{4}\right)^2+2^2\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +(m-1)^2\left(\frac{1}{4}\right)^m+m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
となり、これら2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}C_m=\frac{1}{4}+3\left(\frac{1}{4}\right)^2+5\left(\frac{1}{4}\right)^3+\ldots +(2m-1)\left(\frac{1}{4}\right)^m-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^m(2k-1)\left(\frac{1}{4}\right)^k-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sum_{k=1}^mk\left(\frac{1}{4}\right)^k-\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{4}\right)^k-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2B_m-A_m-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ C_m=\frac{4}{3}\left\{2B_m-A_m-m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}\right\}\end{align*}}$ ････⑤
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{4}<1\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ m^2\left(\frac{1}{4}\right)^{m+1}=0\end{align*}}$
であり、これと②、④、⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ C_m=\frac{8}{3}\lim_{m\rightarrow\infty}\ B_m-\frac{4}{3}\lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m=\frac{20}{27}\end{align*}}$ ････⑥
①、②、④、⑥より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ S_{2m}=4\lim_{m\rightarrow\infty}\ A_m-5\lim_{m\rightarrow\infty}\ B_m+2\lim_{m\rightarrow\infty}\ C_m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\cdot\frac{1}{3}-5\cdot\frac{4}{9}+2\cdot\frac{20}{27}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16}{27}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ S_{2m-1}=\lim_{m\rightarrow\infty}\ \left\{S_{2m}-p(2m)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{m\rightarrow\infty}\ \left\{S_{2m}-m\left(\frac{1}{4}\right)^m\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{m\rightarrow\infty}\ S_{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16}{27}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ p(n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\underline{\ \frac{16}{27}\ }\end{align*}}$
となる。
厳密には
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{m\rightarrow\infty}m\left(\frac{1}{4}\right)^m=0\ \ ,\ \ \lim_{m\rightarrow\infty}m^2\left(\frac{1}{4}\right)^m=0}\end{align*}}$
の証明も必要なんでしょうけどね・・・・・
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第4問
△ABCにおいて
$\small\sf{\begin{align*} \sf \angle BAC=90^{\circ}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|=1\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AC}|=\sqrt3\end{align*}}$
とする。△ABCの内部の点Pが
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\overrightarrow{\sf PA}}{|\overrightarrow{\sf PA}|}+\frac{\overrightarrow{\sf PB}}{|\overrightarrow{\sf PB}|}+\frac{\overrightarrow{\sf PC}}{|\overrightarrow{\sf PC}|}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
を満たすとする。
(1) ∠APB、∠APCを求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PA}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf PB}|\ ,\ |\overrightarrow{\sf PC}|\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\frac{\overrightarrow{\sf PA}}{|\overrightarrow{\sf PA}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\frac{\overrightarrow{\sf PB}}{|\overrightarrow{\sf PB}|}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\frac{\overrightarrow{\sf PC}}{|\overrightarrow{\sf PC}|}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$ ････① かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ ････②
②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}|^2=|-\overrightarrow{\sf c}|\ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf a}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|^2=|\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
となり、これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+1=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････③
∠APBは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ のなす角に等しいので、①、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle APB=\frac{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}{|\overrightarrow{\sf a}|\ |\overrightarrow{\sf b}|}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、0°＜∠APB＜180°なので、
∠APB=120°．
∠APCについても同様に計算すると、
∠APC=120°
となる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=|\overrightarrow{\sf PA}|\ \ ,\ \ y=|\overrightarrow{\sf PB}|\ \ ,\ \ z=|\overrightarrow{\sf PC}|\end{align*}}$
とおく。
△PABにおいて、余弦定理より、
PA2+PB2－2PA･PB=AB2
⇔ x2+y2+xy=1 ････④
△ABCにおいて、三平方の定理より BC=2なので、
△PBC、△PCAに対しても同様に余弦定理を適用すると、
y2+z2+yz=4 ････⑤
z2+x2+zx=3 ････⑥
④と⑤の差をとると、
z2－x2+yz－xy=3
⇔ (z－x)(z+x)+y(z+x)=3
⇔ (z－x)(x+y+z)=3 ････⑦
同様に⑤と⑥の差をとると、
(y－x)(x+y+z)=1 ････⑧
となり、⑦、⑧より
z－x=3(y－x) ⇔ z=3y－2x ････⑨
⑨を⑦に代入すると、
3(y－x){x+y+(3y－2x)}=3
⇔ x2+4y2－5xy=1
となり、これと④の差をとると、
3y2－6xy=3y(y－2x)=0
⇔ y=2x （∵y≠0）････⑩
④に代入して
x2+(2x)2+x･2x=1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{\sqrt7}\ \ (>0)\end{align*}}$
⑩、⑨より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2}{\sqrt7}\ \ ,\ \ z=3\cdot\frac{2}{\sqrt7}-2\cdot\frac{1}{\sqrt7}=\frac{4}{\sqrt7}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf PA}|=\frac{1}{\sqrt7}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf PB}|=\frac{2}{\sqrt7}\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf PC}|=\frac{4}{\sqrt7}\ }\end{align*}}$
途中式を丁寧に書きすぎたので、少しグチャグチャになってしまいましたね・・・
まぁ簡単に言えば、余弦定理④、⑤、⑥を連立させて解くだけです。
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- 2018/11/21(水) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2013
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第5問
次の命題Pを証明したい。
命題P
次の条件(a)、(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが
存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) Aを10進法で表したとき、1が連続して99回以上表れる
ところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) yを自然数とする。このとき不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3+3yx^2\lt x^3+3yx^2+3y^2x+y^3-x-y\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<(3y^2-1)x+y^3-y\lt x^2\end{align*}}$ ．
前の2項について、
y≧1より、3y2－1＞0 かつ y3－y＞0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<(3y^2-1)x+y^3-y\end{align*}}$
は、任意の正の実数xに対して成り立つ。
後ろの2項について、
y≧1より、(3y2－1)2+4(y3－y)＞0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-(3y^2-1)x-(y^3-y)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x<\frac{3y^2-1-\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\end{align*}}$ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\lt x\end{align*}}$
となる。
ここで、(3y2－1)2+4(y3－y)＞(3y2－1)2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3y^2-1-\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}<0\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\end{align*}}$
となるので、求める正数xの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{3y^2-1+\sqrt{(3y^2-1)^2+4(y^3-y)}}{2}\lt x\ }\end{align*}}$
である。
(2)
1が99個連続する99桁の数111･･･111 は3の倍数なので、
これを自然数yを用いて3yとおく。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3y=111\ldots 111\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =10^{98}+10^{97}+\ldots +10^2+10+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{10^{99}-1}{10-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{10^{99}-1}{27}\end{align*}}$ ････①
一方、nを自然数として、x=10nとおく。
十分に大きいnを考えると、①のyに対して(1)を満たすような
xが存在する。
これらのx、yに対して(x+y－1)(x+y)(x+y+1)は
連続する3つの自然数の積となるので、これをAとおくと、
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+3yx^2\lt A\lt x^3+(3y+1)x^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{3n}+\frac{10^{99}-1}{9}\times 10^{n}\lt A<10^{3n}+\left(\frac{10^{99}-1}{9}+1\right)\times 10^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 10^{3n}+(111\ldots 111)\times 10^{n}\lt A<10^{3n}+(111\ldots 112)\times 10^{n}\end{align*}}$
となり、Aの下からn+1桁目～n+100桁目に1が99個連続
するので、条件(b)も満たすことになる。
以上より、題意は示された。
yの取り方に気づけば大丈夫だと思います。
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