第１問
a、bを正の整数とする。このとき、関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\left|x^2-ax+\frac{a^2}{2}-5\right|\end{align*}}$
のグラフと直線y＝bの共有点を考える。
(１) 共有点が3個になるような(a，b)の組をすべて求めよ。
(２) 共有点が1個になるような(a，b)の組のうち、bが最小に
なるものを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left|\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}-5\right|\end{align*}}$
と変形できるので、グラフは次のようになる。
(１)
共有点が3個になるのは、(ⅰ)の場合において
直線y＝bが点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a}{2}\ ,\ -\frac{a^2}{4}+5\right)\end{align*}}$ を通るときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-\frac{a^2}{4}+5\end{align*}}$ ････①
a、bは自然数なので、a2は4の倍数、
すなわちaは偶数である。
また、b＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{4}+5>0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a<2\sqrt5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\ ,\ 4\end{align*}}$ ．
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (a\ ,\ b)=(2\ ,\ 4)\ ,\ (4\ ,\ 1)\ }\end{align*}}$
となる。
(２)
共有点が1個になるのは、(ⅱ)の場合において
直線y＝bが点 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a}{2}\ ,\ \frac{a^2}{4}-5\right)\end{align*}}$ を通るときなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{a^2}{4}-5\end{align*}}$ ････②
(１)と同様、aは偶数であり、b＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{4}-5>0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt5\lt a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=6\ ,\ 8\ ,\ 10\ ,\ \ldots\end{align*}}$
となる。このうちでbが最小になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (a\ ,\ b)=(6\ ,\ 4)\ }\end{align*}}$
のときである。
グラフの概形さえ分かれば問題ないと思います。
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- 2018/11/09(金) 02:04:00|
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第２問
a、bを100以下の正の整数とする。2つの分数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}\ ,\ \frac{31}{b}\end{align*}}$ がどちらも
既約分数であり、かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}+\frac{31}{b}\end{align*}}$ が整数であるとする。このような
(a，b)の組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}+\frac{31}{b}\end{align*}}$ の値をn（自然数）とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}+\frac{31}{b}=n\ \ \Leftrightarrow\ \ ab+27\cdot 31=27bn\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab=27(bn-31)\end{align*}}$ ････①
題意よりaと27は互いに素なので、bは27の倍数となる。
0＜b≦100より、b＝27，54，81となり、
いずれも31と互いに素なので題意を満たす。
(ⅰ) b＝27のとき
nは自然数なので、①より
27a＝27(27n－31)
⇔ a＝27n－31＝－4，23，50，77，104，････
となり、0＜a≦100より
(a，b)＝(23，27)、(50，27)、(77，27)
(ⅱ) b＝54のとき
①より
54a＝27(54n－31)
⇔ 2a＝54n－31
⇔ 31＝2(27n－a)
となるが、左辺は奇数、右辺は偶数となるので不適。
(ⅲ) b＝81のとき
①より
81a＝27(81n－31)
⇔ 3a＝81n－31
⇔ 31＝3(27n－a)
となるが、右辺のみが３の倍数となるので不適。
以上より、条件を満たす(a，b)の組は、
(a，b)＝(23，27)、(50，27)、(77，27)
である。
文系にすれば少し難しいかもしれませんね。
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- 2018/11/09(金) 02:05:00|
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第３問
1辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、辺BCを1：2に内分する
点をDとする。また、辺OC上に点Eをとり、CE＝tとする。
(１) ADの長さを求めよ。
(２) cos∠DAEをtを用いて表せ。
(３) △ADEの面積が最小になるときのtの値とそのときの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ABDで余弦定理を用いると、
AD2＝BA2＋BD2－2BA･BD･cos∠ABD
＝32＋12－2･3･1･cos60°
＝7
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ AD=\sqrt7\ }\end{align*}}$ ．
(２)
△CDEおよび△CAEで余弦定理を用いると、
DE2＝CD2＋CE2－2CD･CE･cos∠DCE
＝22＋t2－2･2･t･cos60°
＝t2－2t＋4
AE2＝CA2＋CE2－2CA･CE･cos∠ACE
＝32＋t2－2･3･t･cos60°
＝t2－3t＋9
さらに、△ADEで余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle DAE=\frac{AD^2+AE^2-DE^2}{2AD\cdot AE}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7+(t^2-3t+9)-(t^2-2t+4)}{2\sqrt7\ \sqrt{t^2-3t+9}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{-t+12}{2\sqrt{7(t^2-3t+9)}}\ }\end{align*}}$
(３)
△ADEにおいて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\angle DAE=\sqrt{1-\cos^2\angle DAE}\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1-\left(\frac{-t+12}{2\sqrt{7(t^2-3t+9)}}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{28(t^2-3t+9)-(-t+12)^2}{7(t^2-3t+9)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{27t^2-60t+108}{7(t^2-3t+9)}}\end{align*}}$
なので、面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\ AD\cdot AE\cdot \sin\angle DAE\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot \sqrt7 \cdot \sqrt{t^2-3t+9}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{27t^2-60t+108}{7(t^2-3t+9)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\sqrt{27t^2-60t+108}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\sqrt{27\left(t-\frac{10}{9}\right)^2+\frac{224}{3}}\end{align*}}$ ．
0≦t≦3より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{10}{9}\ }\end{align*}}$
のときSは最小となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{224}{3}}=\underline{\ \sqrt{\frac{14}{3}}\ }\end{align*}}$
である。
余弦定理４連発です！
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第４問
1から9までの番号のついた9枚のカードがある。これらを無作為に
1列に並べる試行を行う。
(１) 下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ。
(２) 下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ。
(３) 条件(A)、(B)が同時に成り立つ確率を求めよ。
ただし、条件(A)、(B)は次のとおりである。
(A) 番号1のカードと番号2のカードは隣り合わない
(B) 番号8のカードと番号9のカードの間には、ちょうど1枚の
カードがある。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
並べ方の総数は 9! 通りある。
(１)
1と2が隣り合う場合を考える。
1と2を1組にまとめると、この1組と残りの7つの数の並べ方は
8!通りあり、1と2の並び方は2!通りあるので、1と2が隣り合う
並び方は全部で8!･2! 通りある。
よって、1と2が隣り合わない確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{8!\cdot 2!}{9!}=\underline{\ \frac{7}{9}\ }\end{align*}}$
である。
(２)
8と9の間にくる数をAとおくと、Aの選び方は7通りある。
8、A、9の3数を1組にまとめると、この1組と残りの6つの数の
並べ方は7!通りあり、8と9の並び方は2!通りあるので、
条件(B)を満たす並べ方は、7･7!･2! 通りある。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7\cdot 7!\cdot 2!}{9!}=\underline{\ \frac{7}{36}\ }\end{align*}}$
である。
(３)
条件(B)のみを満たす場合、すなわち、1と2は隣り合い、
8と9の間に1つの数が入る場合を考える。
8と9の間にくる数をAとおくと、Aの選び方は1、2、8、9以外の
5通りある。
1と2の2数および8、A、9の3数をそれぞれ組にまとめると、
これら2組と残りの4つの数の並べ方は6!通りあり、
1と2および8と9の並び方はそれぞれ2!通りずつあるので、
条件(B)のみを満たす並べ方は、5･6!･2!･2!通りある。
これと(２)より、条件(A)、(B)をともに満たす並べ方は、
7･7!･2! －5･6!･2!･2! 通りあるので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7\cdot 7!\cdot 2!-5\cdot 6!\cdot 2!\cdot 2!}{9!}=\underline{\ \frac{13}{84}\ }\end{align*}}$
となる。
文字ばかりだと見にくいですね・・・・・
(３)の(A∩B)は、Bから(A∩B)を除いて考えています。
右のベン図を参考にしてください。
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- 2018/11/09(金) 02:07:00|
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第５問
a、bを実数とし、a＞0とする。放物線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{4}\end{align*}}$ 上に2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(a\ ,\ \frac{a^2}{4}\right)\ ,\ B\left(b\ ,\ \frac{b^2}{4}\right)\end{align*}}$
をとる。点Aにおける放物線の接線と法線をそれぞれLAとnA、
点Bにおける放物線の接線と法線をそれぞれLB、nBとおいたとき、
LAとLBは直交しているものとする。2つの接線LA、LBの交点をP
とし、2つの法線nA、nBの交点をQとする。
(１) bをaを用いて表せ。
(２) P、Qの座標をaを用いて表せ。
(３) 長方形AQBPの面積が最小となるようなaの値と、そのときの
面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{x^2}{4}\right)'=\frac{x}{2}\end{align*}}$
なので、Aにおける接線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_A:\ y-\frac{a^2}{4}=\frac{a}{2}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{a}{2}x-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$ ．
同様に、Bにおける接線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_B:\ y=\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
となり、これらが直交するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=-\frac{4}{a}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
LAとLBの２式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}x-\frac{a^2}{4}=\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(a-b)x=a^2-b^2\end{align*}}$ ．
a≠bより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a^2-b^2}{2(a-b)}=\frac{a+b}{2}=\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{a}{2}\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)-\frac{a^2}{4}=-1\end{align*}}$
となるので、LAとLBの交点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\ ,\ -1\right)\ }\end{align*}}$
である。
一方、LA⊥nAかつLA⊥LBより、nAとLBは平行になるので、
Aにおける法線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n_A:\ y-\frac{a^2}{4}=\frac{b}{2}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{b}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
となる。
同様に、Bにおける法線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n_B:\ y=\frac{a}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
なので、これらの2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{a^2}{4}=\frac{a}{2}x-\frac{ab}{2}+\frac{b^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(a-b)x=a^2-b^2\end{align*}}$ ．
Pと同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{b}{2}\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)-\frac{ab}{2}+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{a}\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)-\frac{a}{2}\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)+\frac{a^2}{4}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{4}+1+\frac{4}{a^2}\end{align*}}$
となるので、nAとnBの交点Qの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\ ,\ \frac{a^2}{4}+1+\frac{4}{a^2}\right)\ }\end{align*}}$
である。
(３)
(２)より、PとQのx座標は等しいので、PQはy軸と平行になる。
よって、△APQにおいて、PQを底辺としたときの高さhは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h=a-\left(\frac{a}{2}-\frac{2}{a}\right)=\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\left(\frac{a^2}{4}+1+\frac{4}{a^2}\right)-(-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{4}+2+\frac{4}{a^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)^2\end{align*}}$
となるので、長方形AQBPの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\triangle APQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =PQ\cdot h\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)^3\end{align*}}$ ．
ここでa＞0なので、相加･相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}+\frac{2}{a}\geqq 2\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{2}{a}}=2\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\geqq 2^3=8\end{align*}}$ ．
等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{2}=\frac{2}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2\ \ (>0)\end{align*}}$
のときである。
以上より、a＝2のとき、Sは最小値8をとる。
(３)で用いた
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{4}+2+\frac{4}{a^2}=\left(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}\right)^2\end{align*}}$
の変形に気づきますかね？？
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- 2018/11/09(金) 02:08:00|
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第６問
整数p、q （p≧q≧0）に対して2項係数を
$\small\sf{\begin{align*} \sf _pC_q=\frac{p!}{q!(p-q)!}\end{align*}}$
と定める。なお0!＝1とする。
(１) n、kが0以上の整数のとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf _{n+k+1}C_{k+1}\times\left(\frac{1}{_{n+k}C_k}-\frac{1}{_{n+k+1}C_k}\right)\end{align*}}$
を計算し、nによらない値になることを示せ。
(２) mが3以上の整数のとき、和
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_3C_3}+\frac{1}{_4C_3}+\frac{1}{_5C_3}+\ldots +\frac{1}{_mC_3}\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
二乗定数の定義より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{n+k+1}C_{k+1}\times\left(\frac{1}{_{n+k}C_k}-\frac{1}{_{n+k+1}C_k}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n+k+1)!}{(k+1)!\ n!}\times\left\{\frac{k!\ n!}{(n+k)!}-\frac{k!\ (n+1)!}{(n+k+1)!}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n+k+1}{k+1}-\frac{n+1}{k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k}{k+1}\end{align*}}$
となる。
この結果はnによらない値になるので、題意は示された。
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{n+k+1}C_{k+1}}=\frac{k+1}{k}\left(\frac{1}{_{n+k}C_k}-\frac{1}{_{n+k+1}C_k}\right)\end{align*}}$
となり、k＝2を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{n+3}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{n+2}C_2}-\frac{1}{_{n+3}C_2}\right)\end{align*}}$ ．
これは任意のn（=0，1，2，･･･）に対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{3}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{2}C_2}-\frac{1}{_{3}C_2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{4}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{3}C_2}-\frac{1}{_{4}C_2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{5}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{4}C_2}-\frac{1}{_{5}C_2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_{m}C_{3}}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{m-1}C_2}-\frac{1}{_{m}C_2}\right)\end{align*}}$ ．
これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_3C_3}+\frac{1}{_4C_3}+\frac{1}{_5C_3}+\ldots +\frac{1}{_mC_3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{2}C_2}-\frac{1}{_{3}C_2}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{3}C_2}-\frac{1}{_{4}C_2}\right)+\ldots +\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{m-1}C_2}-\frac{1}{_{m}C_2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left(\frac{1}{_{2}C_2}-\frac{1}{_{m}C_2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left\{\frac{2!\ 0!}{2!}-\frac{2!\ (m-2)!}{m!}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left\{1-\frac{2}{m(m-1)}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\cdot\frac{m(m-1)-2}{m(m-1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3(m+1)(m-2)}{2m(m-1)}\ }\end{align*}}$ ．
(１)の結果をうまく使いましょう。
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- 2018/11/10(土) 01:01:00|
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第７問
aは0でない実数とする。直線y＝axと曲線y＝xlog(x＋1)で
囲まれる図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
２式を連立させると、
ax＝xlog(x＋1)
⇔ x＝0 または log(x＋1)＝a
⇔ x＝0，ea－1
(ⅰ) ea－1＞0 すなわち a＞0のとき
0≦x≦ea－1 の範囲において、
0≦log(x＋1)≦logea＝a
⇔ 0≦xlog(x＋1)≦ax
となるので、求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{e^a-1}\left\{ax-x\log(x+1)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{a}{2}\ x^2\right]_0^{e^a-1}-\left[\frac{1}{2}x^2\log(x+1)\right]_0^{e^a-1}+\frac{1}{2}\int_0^{e^a-1}x^2\cdot\frac{dx}{x+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{2}(e^a-1)^2-\frac{a}{2}(e^a-1)^2+\frac{1}{2}\int_0^{e^a-1}\frac{(x^2-1)+1}{x+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{e^a-1}\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2-x+\log(x+1)\right]_0^{e^a-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}(e^a-1)^2-\frac{1}{2}(e^a-1)+\frac{1}{2}\log e^a-\frac{1}{2}\log 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}e^{2a}-\frac{1}{2}e^a+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}e^a+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}e^{2a}-e^a+\frac{1}{2}a+\frac{3}{4}a\ }\end{align*}}$
(ⅱ) ea－1＜0 すなわち a＜0のとき
ea－1≦x≦0 の範囲において、
0≧log(x＋1)≧logea＝a
⇔ 0≦xlog(x＋1)≦ax （∵x≦0）
となるので、(ⅰ)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{e^a-1}^0\left\{ax-x\log(x+1)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{4}e^{2a}+e^a-\frac{1}{2}a-\frac{3}{4}a\ }\end{align*}}$
図を描くと次のようになります。
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- 大学入試(数学) .関東の大学 .千葉大 2013
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第８問
rを1より大きい実数とする。半径1の円Cの周上に点Qをとる。
最初に円Cの中心Pは座標平面の(0，1)、点Qは(0，2)にある
ものとし、円Cがx軸に接しながらx軸の正の方向にすべること
なく転がっていく。角$\small\sf{\theta}$ ラジアンだけ回転したとき、半直線PQ上
にPR＝rとなる点Rをとる。$\small\sf{\theta}$ を0から2$\small\sf{\pi}$ まで動かしたときのRの
軌跡を考える。
(１) $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は0≦$\small\sf{\alpha}$ ＜$\small\sf{\beta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ をみたし、$\small\sf{\theta}$ ＝$\small\sf{\alpha}$ のときのRの座標と
$\small\sf{\theta}$ ＝$\small\sf{\beta}$ のときのRの座標とが一致するものとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\beta-\alpha}{2}\end{align*}}$
とおくとき、rをtを用いて表せ。
(２) (１)において、$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ から$\small\sf{\beta}$ まで動かしたときのRの軌跡によって
囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{r\rightarrow\infty}\ \frac{S}{r^2}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
O(0，0)、P0(0，1)、Q0(0，2)、R0(0，r)とおく。
円Cが$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転したときの円をC$\scriptsize\sf{\theta}$ とし、C$\scriptsize\sf{\theta}$ において
O、P、Q、Rに対応する点をそれぞれO$\scriptsize\sf{\theta}$ 、P$\scriptsize\sf{\theta}$ 、Q$\scriptsize\sf{\theta}$ 、R$\scriptsize\sf{\theta}$
とおく。また、円C$\scriptsize\sf{\theta}$ とx軸との接点をT$\scriptsize\sf{\theta}$ とおく。
滑らないように転がるため、
OT$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝弧O$\scriptsize\sf{\theta}$ T$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\theta}$ 
となるので、
T$\scriptsize\sf{\theta}$ ($\scriptsize\sf{\theta}$ ，0)、 P$\scriptsize\sf{\theta}$ ($\scriptsize\sf{\theta}$ ，1)
である。
また、ベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_{\theta}R_{\theta}}\end{align*}}$ はx軸正方向と左回りに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}-\theta\end{align*}}$ の角をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_{\theta}R_{\theta}}=\left(P_{\theta}R_{\theta}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\ ,\ P_{\theta}R_{\theta}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(r\sin\theta\ ,\ r\cos\theta\right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR_{\theta}}=\overrightarrow{\sf OP_{\theta}}+\overrightarrow{\sf P_{\theta}R_{\theta}}=\left(\theta+r\sin\theta\ ,\ 1+r\cos\theta\right)\end{align*}}$ ････(※)
となる。
いま、題意よりR$\scriptsize\sf{\alpha}$ とR$\scriptsize\sf{\beta}$ が一致するので、(※)より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋rsin$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝$\scriptsize\sf{\beta}$ ＋rsin$\scriptsize\sf{\beta}$ ････① かつ
1＋rcos$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝1＋rcos$\scriptsize\sf{\beta}$ ････②
0≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、②より
cos$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝cos$\scriptsize\sf{\beta}$ ⇔ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＋$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝2$\scriptsize\sf{\pi}$ ････②’
また題意より、
t＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\beta-\alpha}{2}\end{align*}}$ ⇔ $\scriptsize\sf{\beta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝t
となるので、②’と連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ －t ････③
$\scriptsize\sf{\beta}$ ＝$\scriptsize\sf{\pi}$ ＋t
を得る。これらを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\pi}$ －t＋rsin($\scriptsize\sf{\pi}$ －t)＝$\scriptsize\sf{\pi}$ ＋t＋rsin($\scriptsize\sf{\pi}$ ＋t)
⇔ －t＋rsint＝t－rsint
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ \frac{t}{\sin t}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
点Rの座標を
(x$\scriptsize\sf{\theta}$ ，y$\scriptsize\sf{\theta}$ )＝($\scriptsize\sf{\theta}$ ＋rsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ，1＋rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ) ････④
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx_{\theta}}{d\theta}=1+r\cos\theta\ \ ,\ \ \frac{dy_{\theta}}{d\theta}=-r\sin\theta\end{align*}}$ ････⑤
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx_{\theta}}{d\theta}=1+r\cos\theta=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=-\frac{1}{r}\ \ (>-1)\end{align*}}$
となるような$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\theta}$ 1、$\scriptsize\sf{\theta}$ 2が0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ 1＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ 2＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ に存在する。
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_{\theta_1}=y_{\theta_2}=1+r\cdot\left(-\frac{1}{r}\right)=0\end{align*}}$
となるので、x$\scriptsize\sf{\theta}$ 、y$\scriptsize\sf{\theta}$ の増減は次のようになる。
一方、
x$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝x$\scriptsize\sf{\beta}$ ＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋rsin$\scriptsize\sf{\alpha}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\pi -t\right)+\frac{t}{\sin t}\cdot \sin (\pi -t)\end{align*}}$ ←(１)および③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\pi -t\right)+\frac{t}{\sin t}\cdot \sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\end{align*}}$
なので、Rの軌跡は右図のようになる。
このうち、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ 1に対応する部分をy1、
$\scriptsize\sf{\theta}$ 1≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ に対する部分をｙ2とおくと、
囲まれる部分の面積Sは、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_{\pi}^{x_{\theta_1}}\left(y_1-y_2\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{x_{\alpha}}^{x_{\theta_1}}\ y_1\ dx-2\int_{x_{\pi}}^{x_{\theta_1}}\ y_2\ dx\end{align*}}$
で求めることができる。
ここで、④のように置換すると⑤より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_{\alpha}^{\theta_1}\left(1+r\cos \theta\right)\cdot \left(1+r\cos \theta\right)d\theta-2\int_{\pi}^{\theta_1}\left(1+r\cos \theta\right)\cdot \left(1+r\cos \theta\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{\alpha}^{\theta_1}\left(1+r\cos \theta\right)^2d\theta+2\int_{\theta_1}^{\pi}\left(1+r\cos \theta\right)^2d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{\alpha}^{\pi}\left(1+r\cos \theta\right)^2d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{\alpha}^{\pi}\left(1+2r\cos \theta+r^2\cos^2\theta\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{\alpha}^{\pi}\left\{1+2r\cos \theta+\frac{r^2}{2}\left(1+\cos 2\theta\right)\right\}d\theta\end{align*}}$ ←cosの半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\theta+2r\sin \theta+\frac{r^2}{2}\left(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right)\right]_{\alpha}^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(\pi-\alpha)+4r(\sin\pi-\sin \alpha)+r^2\left\{(\pi-\alpha)+\frac{1}{2}\left(\sin 2\pi-\sin2\alpha\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(\pi-\alpha)-4r\sin \alpha+r^2\left\{(\pi-\alpha)-\frac{1}{2}\sin2\alpha\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t-4r\sin(\pi-t)+r^2\left\{t-\frac{1}{2}\sin2(\pi-t)\right\}\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t-4r\sin t+r^2\left(t+\frac{1}{2}\sin2t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t-\frac{4t}{\sin t}\cdot\sin t+\frac{t^2}{\sin^2 t}\left(t+\frac{1}{2}\sin2t\right)\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -2t+\frac{t^2}{\sin^2 t}\left(t+\sin t\cos t\right)\ }\end{align*}}$ ←sinの倍角公式より
(３)
求める極限をLとすると、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{r\rightarrow\infty}\left\{-\frac{2t}{r^2}+\frac{t^2}{r^2\sin^2 t}\left(t+\sin t\cos t\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{r\rightarrow\infty}\left(-\frac{2\sin^2 t}{t}+t+\sin t\cos t\right)\end{align*}}$ ←(１)より
ここで、0≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\beta-\alpha}{2}=t\leqq \pi\end{align*}}$ ････⑥
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{t}{\sin t}\end{align*}}$
において、
r→∞となるためには、少なくともsint→0となる必要がある。
すなわち、⑥の範囲では、
(ア) t→＋0 または、(イ) t→$\scriptsize\sf{\pi}$ －0
の可能性が考えられる。
(ア)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow 0}\ r=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{\sin t}=1\end{align*}}$
となり不適。
(イ)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow \pi-0}\ r=\lim_{t\rightarrow\pi-0}\frac{t}{\sin t}=+\infty\end{align*}}$
となり題意を満たす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{t\rightarrow\pi-0}\left(-\frac{2\sin^2 t}{t}+t+\sin t\cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2\sin^2 \pi}{\pi}+\pi+\sin\pi\cos\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi\ }\end{align*}}$ ．
なかなかのボリュームですね。考え方は難しくありませんが、
細かい計算も多いので、最後までたどり着けた受験生は少数なのでは・・・？
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第９問
m4＋14m2が2m＋1の整数倍となるような整数mをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
筆算を用いて(m4＋14m2)÷(2m＋1) を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m^4+14m^2=\left(2m+1\right)\left(\frac{1}{2}m^3-\frac{1}{4}m^2+\frac{57}{8}m-\frac{57}{16}\right)+\frac{57}{16}\end{align*}}$
となり、両辺に16をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16(m^4+14m^2)=(2m+1)(8m^3-4m^2+114m-57)+57\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{57}{2m+1}=\frac{16(m^4+14m^2)}{2m+1}+(8m^3-4m^2+114m-57)\end{align*}}$ ････①
題意より、m4＋14m2は2m＋1の整数倍(k倍とする)なので、
①は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{57}{2m+1}=16k+(8m^3-4m^2+114m-57)\end{align*}}$
と変形できる。この式において、右辺は整数であり、、
左辺も整数である必要があるので、
2m＋1は57の約数である必要がある。
すなわち、
2m＋1＝－57，－19，－3，－1，1，3，19，57
⇔ m＝－29，－10，－2，－1，0，1，9，28 ．
これらのそれぞれに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{m^4-14m^2}{2m+1}=\frac{m^2(m^2+14)}{2m+1}\end{align*}}$
の値を計算すると、
(ア)m＝－29のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{29^2\cdot 855}{-57}=-29^2\cdot 15\end{align*}}$
(イ)m＝－10のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{10^2\cdot 114}{-19}=-600\end{align*}}$
(ウ)m＝－2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{2^2\cdot 18}{-3}=-24\end{align*}}$
(エ)m＝－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1\cdot 15}{-1}=-15\end{align*}}$
(オ)m＝0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{0\cdot 14}{1}=0\end{align*}}$
(カ)m＝1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1\cdot 15}{3}=5\end{align*}}$
(キ)m＝9のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{9^2\cdot 95}{19}=81\cdot 5\end{align*}}$
(ク)m＝28のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{28^2\cdot 15}{57}=28^2\cdot 14\end{align*}}$
となり、いずれの場合もkは整数となる。
よって、条件を満たすmの値は、
m＝－29，－10，－2，－1，0，1，9，28
である。
問題文はシンプルですが、難しいと思いますよ。
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第10問
$\small\sf{\begin{align*} \sf \tan 10^{\circ}=\tan 20^{\circ}\cdot\tan 30^{\circ}\cdot\tan 40^{\circ}\end{align*}}$ を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
t＝tan10°とおくと、tanの加法定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 20^{\circ}=\tan (30^{\circ}-10^{\circ})\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan 30^{\circ}-\tan 10^{\circ}}{1+\tan 30^{\circ}\tan 10^{\circ}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{1}{\sqrt3}-t}{1+\frac{1}{\sqrt3}\ t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-\sqrt3\ t}{\sqrt3+t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 40^{\circ}=\tan (30^{\circ}+10^{\circ})\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan 30^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 30^{\circ}\tan 10^{\circ}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{1}{\sqrt3}+t}{1-\frac{1}{\sqrt3}\ t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+\sqrt3\ t}{\sqrt3-t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan30^{\circ}=\tan(20^{\circ}+10^{\circ})\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan 20^{\circ}+\tan 10^{\circ}}{1-\tan 20^{\circ}\tan 10^{\circ}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{2t}{1-t^2}+t}{1-\frac{2t}{1-t^2}\cdot t}\end{align*}}$ ←tanの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2t+t(1-t^2)}{(1-t^2)-2t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t(3-t^2)}{1-3t^2}\end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 20^{\circ}\cdot\tan 30^{\circ}\cdot\tan 40^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-\sqrt3\ t}{\sqrt3+t}\cdot\frac{t(3-t^2)}{1-3t^2}\cdot\frac{1+\sqrt3\ t}{\sqrt3-t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-3t^2}{3-t^2}\cdot\frac{t(3-t^2)}{1-3t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\tan 10^{\circ}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
これまた問題はシンプルなんですけどね、これも意外と手こずると思います。
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