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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013千葉大 数学1



第1問

  a、bを正の整数とする。このとき、関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\left|x^2-ax+\frac{a^2}{2}-5\right|\end{align*}}$
  のグラフと直線y=bの共有点を考える。

 (1) 共有点が3個になるような(a,b)の組をすべて求めよ。

 (2) 共有点が1個になるような(a,b)の組のうち、bが最小に
    なるものを求めよ。


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2013千葉大 数学2



第2問

  a、bを100以下の正の整数とする。2つの分数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}\ ,\ \frac{31}{b}\end{align*}}$ がどちらも
  既約分数であり、かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{27}+\frac{31}{b}\end{align*}}$ が整数であるとする。このような
  (a,b)の組をすべて求めよ。



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2013千葉大 数学3



第3問

  1辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、辺BCを1:2に内分する
  点をDとする。また、辺OC上に点Eをとり、CE=tとする。

 (1) ADの長さを求めよ。

 (2) cos∠DAEをtを用いて表せ。

 (3) △ADEの面積が最小になるときのtの値とそのときの面積を求めよ。



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2013千葉大 数学4



第4問

  1から9までの番号のついた9枚のカードがある。これらを無作為に
  1列に並べる試行を行う。

 (1) 下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ。

 (2) 下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ。

 (3) 条件(A)、(B)が同時に成り立つ確率を求めよ。

  ただし、条件(A)、(B)は次のとおりである。
    (A) 番号1のカードと番号2のカードは隣り合わない
    (B) 番号8のカードと番号9のカードの間には、ちょうど1枚の
      カードがある。



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2013千葉大 数学5



第5問

  a、bを実数とし、a>0とする。放物線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{4}\end{align*}}$ 上に2点
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(a\ ,\ \frac{a^2}{4}\right)\ ,\ B\left(b\ ,\ \frac{b^2}{4}\right)\end{align*}}$
  をとる。点Aにおける放物線の接線と法線をそれぞれLAとnA
  点Bにおける放物線の接線と法線をそれぞれLB、nBとおいたとき、
  LAとLBは直交しているものとする。2つの接線LA、LBの交点をP
  とし、2つの法線nA、nBの交点をQとする。

 (1) bをaを用いて表せ。

 (2) P、Qの座標をaを用いて表せ。

 (3) 長方形AQBPの面積が最小となるようなaの値と、そのときの
    面積を求めよ。


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2013千葉大 数学6



第6問

  整数p、q (p≧q≧0)に対して2項係数を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf _pC_q=\frac{p!}{q!(p-q)!}\end{align*}}$
  と定める。なお0!=1とする。

 (1) n、kが0以上の整数のとき
         $\small\sf{\begin{align*} \sf _{n+k+1}C_{k+1}\times\left(\frac{1}{_{n+k}C_k}-\frac{1}{_{n+k+1}C_k}\right)\end{align*}}$
    を計算し、nによらない値になることを示せ。

 (2) mが3以上の整数のとき、和
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{_3C_3}+\frac{1}{_4C_3}+\frac{1}{_5C_3}+\ldots +\frac{1}{_mC_3}\end{align*}}$
    を求めよ。



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2013千葉大 数学7



第7問

  aは0でない実数とする。直線y=axと曲線y=xlog(x+1)で
  囲まれる図形の面積を求めよ。




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2013千葉大 数学8



第8問

  rを1より大きい実数とする。半径1の円Cの周上に点Qをとる。
  最初に円Cの中心Pは座標平面の(0,1)、点Qは(0,2)にある
  ものとし、円Cがx軸に接しながらx軸の正の方向にすべること
  なく転がっていく。角$\small\sf{\theta}$ ラジアンだけ回転したとき、半直線PQ上
  にPR=rとなる点Rをとる。$\small\sf{\theta}$ を0から2$\small\sf{\pi}$ まで動かしたときのRの
  軌跡を考える。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は0≦$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\beta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ をみたし、$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\alpha}$ のときのRの座標と
    $\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\beta}$ のときのRの座標とが一致するものとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\beta-\alpha}{2}\end{align*}}$
    とおくとき、rをtを用いて表せ。

 (2) (1)において、$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ から$\small\sf{\beta}$ まで動かしたときのRの軌跡によって
    囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{r\rightarrow\infty}\ \frac{S}{r^2}\end{align*}}$ を求めよ。



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2013千葉大 数学9



第9問

  m4+14m2が2m+1の整数倍となるような整数mをすべて求めよ。




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2013千葉大 数学10



第10問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf \tan 10^{\circ}=\tan 20^{\circ}\cdot\tan 30^{\circ}\cdot\tan 40^{\circ}\end{align*}}$ を示せ。


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