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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013筑波大 数学1



第1問

  f(x)、g(t)を
        f(x)=x3-x2-2x+1
        g(t)=cos3t-cos2t+cost
  とおく。

 (1) 2g(t)-1=f(2cost)が成り立つことを示せ。

 (2) θ のとき、2g(θ)cosθ=1+cosθ-2g(θ)が
    成り立つことを示せ。

 (3) は3次方程式 f(x)=0の解であることを示せ。 


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  1. 2013/04/01(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2013
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2013筑波大 数学2



第2問

  nは自然数とする。

 (1) 1≦k≦nを満たす自然数kに対して
      
    が成り立つことを示せ。

 (2) 媒介変数tによって
         
    と表される曲線Cnで囲まれた図形の面積Snを求めよ。
    ただし必要なら
         
    を用いてよい。

 (3) 極限値 を求めよ。

      図01




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  1. 2013/04/02(火) 23:57:00|
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2013筑波大 数学3



第3問

  xyz空間において、点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)を
  通る平面上にあり、正三角形ABCに内接する円板をDとする。
  円板Dの中心をP、円板Dと辺ABの接点をQとする。

 (1) 点Pと点Qの座標を求めよ。

 (2) 円板Dが平面z=tと共有点をもつtの範囲を求めよ。

 (3) 円板Dと平面z=tの共通部分が線分であるとき、その線分の
    長さをtを用いて表せ。

 (4) 円板Dをz軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。


         図02




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  1. 2013/04/03(水) 23:57:00|
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2013筑波大 数学4



第4問

  3つの数列{an}、{bn}、{cn}が
        an+1=-bn-cn  (n=1,2,3,・・・)
        bn+1=-cn-an  (n=1,2,3,・・・)
        cn+1=-an-bn  (n=1,2,3,・・・)
  およびa1=a、b1=b、c1=cを満たすとする。ただし、a、b、cは
  定数とする。

 (1) pn=an+bn+cn (n=1,2,3,・・・)
    で与えられる数列{pn}の初項から第n項までの和Snを求めよ。

 (2)数列{an}、{bn}、{cn}の一般項を求めよ。

 (3) qn=(-1)n{(an)2+(bn)2+(cn)2} (n=1,2,3,・・・)
    で与えられる数列{qn}の初項から第2n項までの和をTnとする。
    a+b+cが奇数であれば、すべての自然数nに対してTn
    正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ。


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  1. 2013/04/04(木) 23:57:00|
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2013筑波大 数学5



第5問

  2次の正方行列 について以下の問いに答えよ。
  ただし、a、b、c、dは実数とする。

 (1) を満たすAは存在しないことを示せ。

 (2) を満たすAをすべて求めよ。

 (3) (2)で求めたAのそれぞれについてA+A2+A3+・・・・+A2013
    を求めよ。



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  1. 2013/04/05(金) 23:57:00|
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2013筑波大 数学6



第6問

  楕円C: の、直線y=mxと平行な2接線をL1、L1’とし、
  L1、L1’に直交するCの2接線をL2、L2’とする。

 (1) L1、L1’の方程式をmを用いて表せ。

 (2) L1とL1’の距離d1およびL2とL2’の距離d2をそれぞれmを用いて
    表せ。ただし、平行な2直線L、L’の距離とは、L上の1点と直線L’
    の距離である。

 (3) (d1)2+(d2)2はmによらず一定であることを示せ。

 (4) L1、L1’、L2、L2’で囲まれる長方形の面積Sをd1を用いて表せ。
    さらにmが変化するとき、Sの最大値を求めよ。


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  1. 2013/04/06(土) 23:57:00|
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