第１問
aを実数とする。以下の問いに答えよ。
(１) ２次方程式x2－2(a＋1)x＋3a＝0が、－1≦x≦3の範囲に
２つの異なる実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(２) aが(１)で求めた範囲を動くとき、放物線y＝x2－2(a＋1)x＋3a
の頂点のy座標がとり得る値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
方程式の左辺をf(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{x-(a+1)\right\}^2-a^2+a-1\end{align*}}$
と変形できるので、方程式f(x)＝が－1≦x≦3の範囲に
２つの異なる実数解をもつための条件は、
・放物線y＝f(x)の軸について
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq a+1\leqq 3\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\leqq a\leqq 2\end{align*}}$
・放物線y＝f(x)の頂点のy座標について
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a^2+a-1=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\leqq 0\end{align*}}$
となるので、これは常に条件を満たす。
・x＝－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-1)=1+2(a+1)+3a\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\geqq -\frac{3}{5}\end{align*}}$
・x＝3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=9-6(a+1)+3a\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq 1\end{align*}}$
これらを同時に満たすaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{3}{5}\leqq a\leqq 1\ }\end{align*}}$
である。
(２)
頂点のy座標をYとすると、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\end{align*}}$
であり、右図より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{5}\leqq a\leqq 1\end{align*}}$
の範囲におけるYの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{49}{25}\leqq Y\leqq -\frac{3}{4}\ }\end{align*}}$
である。
これは易しいですね。
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第２問
四面体OABCにおいて、OA＝OB＝OC＝1とする。∠AOB＝60°、
∠BOC＝45°、∠COA＝45°とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
とおく。点Cから面OABに垂線を引き、その交点をHとする。
(１) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) CHの長さを求めよ。
(３) 四面体OABCの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot 1\cdot\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$ ････(※)
(１)
点Hは平面OAB上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と表せる。
CH⊥平面OABより、CH⊥OA かつ CH⊥OBなので、
(※)を用いて内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s+\frac{1}{2}t-\frac{\sqrt2}{2}=0\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left(s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}s+t-\frac{\sqrt2}{2}=0\end{align*}}$ ････②
①、②を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=t=\frac{\sqrt2}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\underline{\ \frac{\sqrt2}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right)\ }\end{align*}}$ ．
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CH}|^2=\left|\frac{\sqrt2}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right)-\overrightarrow{\sf c}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)-\frac{2\sqrt2}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\right)+|\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{9}\left(1+2\cdot\frac{1}{2}+1\right)-\frac{2\sqrt2}{3}\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)+1\end{align*}}$ ←(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\underline{\ \overrightarrow{\sf CH}|=\frac{1}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
△OABの面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf a}|^2|\overrightarrow{\sf b}|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1\cdot 1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{4}\end{align*}}$
となるので、四面体OABCの体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=\frac{1}{3}\ S\cdot|\overrightarrow{\sf CH}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$ ．
丁寧に計算しましょう。
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第３問
A、Bの２人が、サイコロを１回ずつ交互に投げるゲームを行う。
自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を
勝ちとし、その時点でゲームを終了する。Aから投げ始めるもの
とし、以下の問いに答えよ。
(１) Bがちょうど１回投げてAが勝ちとなる確率を求めよ。
(２) Bがちょうど２回投げてBが勝ちとなる確率を求めよ。
(３) Bがちょうど２回投げて、その時点でゲームが終了していない
確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
２個のサイコロの目の和は、右表のようになる。
(１)
A･･･5以下の目を出す。
B･･･6の目を出す。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}=\underline{\ \frac{5}{36}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
A･･･2回の目の和が5以下になる。
（表の青色の部分）
B･･･1回目は5以下の目が出て、
2回目に目の和が6以上になる。
（表の赤色の部分）
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{36}\cdot\frac{20}{36}=\underline{\ \frac{25}{162}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
A、Bとも2回の目の和が5以下（表の青色の部分）になればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{10}{36}\right)^2=\underline{\ \frac{25}{324}\ }\end{align*}}$ ．
表に整理すれば分かりやすいと思います。
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第４問
tは0≦t≦1を満たす実数とする。放物線y＝x2、直線x＝1、および
x軸とで囲まれた図形をA、放物線y＝4(x－t)2と直線y＝1とで囲ま
れた図形をBとする。AとBの共通部分の面積をS(t)とする。
(１) S(t)を求めよ。
(２) 0≦t≦1におけるS(t)の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
２つの放物線の交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2=4(x-t)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2t\ ,\ \frac{2}{3}t\end{align*}}$
なので、2tと1の大小関係によって、
次の２つの場合が考えられる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ 0\leqq t<\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\int_{\frac{2}{3}t}^{2t}\left\{x^2-4(x-t)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-3\int_{\frac{2}{3}t}^{2t}\left(x-\frac{2}{3}t\right)\left(x-2t\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{6}\left(2t-\frac{2}{3}t\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32}{27}\ t^3\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \frac{1}{2}\leqq t\leqq 1\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\int_{\frac{2}{3}t}^{1}\left\{x^2-4(x-t)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}(x-t)^3\right]_{\frac{2}{3}t}^{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}-\frac{4}{3}(1-t)^3-\frac{8}{81}t^3-\frac{4}{81}t^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32}{27}\ t^3-4t^2+4t-1\ }\end{align*}}$
(２)
S(t)の導関数を求めると、
(ⅰ)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=\frac{32}{9}t^2\ (\geqq 0)\end{align*}}$
(ⅱ)のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=\frac{32}{9}t^2-8t+4=\frac{4}{9}(4t-3)(2t-3)\end{align*}}$
となるので、0≦t≦1におけるS(t)の増減は次のようになる。
よって、S(t)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S\ (t)_{max}=S\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
である。
場合分けに気づきましょう。
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