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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013東北大 理系数学1



第1問

  kを実数とする。3次式f(x)=x3-kx2-1に対し、方程式f(x)=0
  の3つの解を$\small\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ とする。g(x)はx3の係数が1である3次式で、
  方程式g(x)=0の3つの解が$\small\sf{\alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha}$ であるものとする。

 (1) g(x)をkを用いて表せ。

 (2) 2つの方程式f(x)=0とg(x)=0が共通の解をもつようなkの値を
    求めよ。



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2013東北大 理系数学2



第2問

  四面体OABCにおいて、OA=OB=OC=1とする。∠AOB=60°、
  ∠BOC=45°、∠COA=45°とし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
  とおく。点Cから面OABに垂線を引き、その交点をHとする。

 (1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) CHの長さを求めよ。

 (3) 四面体OABCの体積を求めよ。


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2013東北大 理系数学3



第3問

  A、Bの2人が、サイコロを1回ずつ交互に投げるゲームを行う。
  自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を
  勝ちとし、その時点でゲームを終了する。Aから投げ始めるもの
  とし、以下の問いに答えよ。

 (1) Aがちょうど2回投げてAが勝ちとなる確率を求めよ。

 (2) Bがちょうど2回投げてBが勝ちとなる確率を求めよ。

 (3) Bがちょうど3回投げて、その時点でゲームが終了していない
    確率を求めよ。



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2013東北大 理系数学4



第4問

  数列{an}、{bn}を
       $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\ e^{n\sin}\ d\theta\ \ ,\ \ b_n=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\ e^{n\sin}\cos\theta\ d\theta\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  で定める。ただし、eは自然対数の底とする。

 (1) 一般項bnを求めよ。

 (2) すべてのnについて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n\leqq a_n\leqq\frac{2}{\sqrt3}\ b_n\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\log (na_n)\end{align*}}$ を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。



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2013東北大 理系数学5



第5問

  2次の正方行列Aを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf -\frac{1}{\sqrt2}&\sf -\frac{1}{\sqrt2} \\ \sf \frac{1}{\sqrt2} & \sf -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}\end{align*}}$
  で定めるn=1,2,3,・・・に対して、点Pn(xn,yn)を関係式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x_n\\ \sf y_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf x_{n-1}\\ \sf y_{n-1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 0\end{pmatrix}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  で定める。ただし、x0=1、y0=0とする。

 (1) A4を求めよ。

 (2) n=0,1,2,・・・に対して、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x_n\\ \sf y_n\end{pmatrix}=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1}\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。ただし、Eは2次の単位行列とする。

 (3) 原点OからPnまでの距離OPnが最大となるnを求めよ。



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2013東北大 理系数学6



第6問

  半径1の円を底面とする高さ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ の直円柱がある。底面の円の
  中心をOとし、直径を1つ取りABとおく。ABを含み底面と45°の
  角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき、体積の
  小さい方の部分をVとする。

 (1) 直径ABと直交し、Oとの距離がt(0≦t≦1)であるような平面
    でVを切ったときの断面積S(t)を求めよ。

 (2) Vの体積を求めよ。


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