第１問
kを実数とする。３次式f(x)＝x3－kx2－1に対し、方程式f(x)＝0
の３つの解を$\small\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ とする。g(x)はx3の係数が1である３次式で、
方程式g(x)＝0の３つの解が$\small\sf{\alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha}$ であるものとする。
(１) g(x)をkを用いて表せ。
(２) ２つの方程式f(x)＝0とg(x)＝0が共通の解をもつようなkの値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)＝0の解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha+\beta+\gamma=k}$
$\scriptsize\sf{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0}$
$\scriptsize\sf{\alpha\beta\gamma=1}$
なので、
$\scriptsize\sf{\alpha\beta\cdot\beta\gamma+\beta\gamma\cdot\gamma\alpha+\gamma\alpha\cdot\alpha\beta}$
$\scriptsize\sf{=\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)}$
=k
$\scriptsize\sf{\alpha\beta\cdot\beta\gamma\cdot\gamma\alpha}$
$\scriptsize\sf{=(\alpha\beta\gamma)^2}$
=1 ．
よって、g(x)＝0の解と係数の関係より
g(x)＝x3＋kx＋1
となる。
(２)
f(x)＝0とg(x)＝0が共通解$\scriptsize\sf{\alpha}$ をもつとすると、
$\scriptsize\sf{f(\alpha)=\alpha^3-k\alpha^2-1=0}$ ････①
$\scriptsize\sf{g(\alpha)=\alpha^3+k\alpha-1=0}$ ････②
であり、これら２式の差をとると、
$\scriptsize\sf{k\alpha^2+k\alpha=k\alpha(\alpha+1)=0}$
⇔ k＝0 または $\scriptsize\sf{\alpha=0}$ または $\scriptsize\sf{\alpha=-1}$
(ア) k＝0のとき
f(x)＝g(x)＝x3－1
となり、２つの方程式f(x)＝0とg(x)＝0は共通解をもつ。
(イ) $\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝0のとき
①、②より
－1＝0
となるので不適。
(ウ) $\scriptsize\sf{\alpha}$ ＝－1のとき
①、②より
－1－k－1＝0 ⇔ k＝－2
以上より、題意を満たすkの値は、
k＝0，－2
である。
３次方程式の解と係数の関係は大丈夫ですか？
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第２問
四面体OABCにおいて、OA＝OB＝OC＝1とする。∠AOB＝60°、
∠BOC＝45°、∠COA＝45°とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
とおく。点Cから面OABに垂線を引き、その交点をHとする。
(１) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) CHの長さを求めよ。
(３) 四面体OABCの体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot 1\cdot\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$ ････(※)
(１)
点Hは平面OAB上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と表せる。
CH⊥平面OABより、CH⊥OA かつ CH⊥OBなので、
(※)を用いて内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s+\frac{1}{2}t-\frac{\sqrt2}{2}=0\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left(s\ \overrightarrow{\sf a}+t\ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}s+t-\frac{\sqrt2}{2}=0\end{align*}}$ ････②
①、②を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=t=\frac{\sqrt2}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\underline{\ \frac{\sqrt2}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right)\ }\end{align*}}$ ．
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CH}|^2=\left|\frac{\sqrt2}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}\right)-\overrightarrow{\sf c}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)-\frac{2\sqrt2}{3}\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\right)+|\overrightarrow{\sf c}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{9}\left(1+2\cdot\frac{1}{2}+1\right)-\frac{2\sqrt2}{3}\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)+1\end{align*}}$ ←(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\underline{\ \overrightarrow{\sf CH}|=\frac{1}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
△OABの面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf a}|^2|\overrightarrow{\sf b}|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{1\cdot 1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{4}\end{align*}}$
となるので、四面体OABCの体積をVとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=\frac{1}{3}\ S\cdot|\overrightarrow{\sf CH}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$ ．
丁寧に計算しましょう。
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第３問
A、Bの２人が、サイコロを１回ずつ交互に投げるゲームを行う。
自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を
勝ちとし、その時点でゲームを終了する。Aから投げ始めるもの
とし、以下の問いに答えよ。
(１) Aがちょうど２回投げてAが勝ちとなる確率を求めよ。
(２) Bがちょうど２回投げてBが勝ちとなる確率を求めよ。
(３) Bがちょうど３回投げて、その時点でゲームが終了していない
確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
２個のサイコロの目の和は、右表のようになる。
(１)
A･･･1回目は5以下の目が出て、
2回目に目の和が6以上になる。
（表の赤色の部分）
B･･･5以下の目を出す。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{20}{36}\cdot\frac{5}{6}=\underline{\ \frac{25}{54}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
A･･･2回の目の和が5以下になる。
（表の青色の部分）
B･･･1回目は5以下の目が出て、
2回目に目の和が6以上になる。
（表の赤色の部分）
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{36}\cdot\frac{20}{36}=\underline{\ \frac{25}{162}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
3回の目の和が5以下になるような目の出方は、
(1，1，1)、(1，1，2)、(1，1，3)、(1，2，1)、(1，2，2)、
(1，3，1)、(2，1，1)、(2，1，2)、(2，2，1)、(3，1，1)
の10通りあるので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{6^3}=\frac{5}{108}\end{align*}}$ ．
A、Bともこのようになればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{108}\right)^2=\underline{\ \frac{25}{11664}\ }\end{align*}}$ ．
表に整理すれば分かりやすいと思います。
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第４問
数列{an}、{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\ e^{n\sin}\ d\theta\ \ ,\ \ b_n=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\ e^{n\sin}\cos\theta\ d\theta\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
で定める。ただし、eは自然対数の底とする。
(１) 一般項bnを求めよ。
(２) すべてのnについて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_n\leqq a_n\leqq\frac{2}{\sqrt3}\ b_n\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\log (na_n)\end{align*}}$ を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
x＝sin$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\cos\theta\end{align*}}$
であり、積分区間は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x:\ -\frac{1}{2}\rightarrow\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{nx}\ \cos\theta\cdot\frac{dx}{\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}e^{nx}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{n}\ e^{nx}\right]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\frac{1}{n}\left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)}\end{align*}}$ ．
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{6}\leqq \theta\leqq\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ ････① の範囲において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\leqq \cos\theta\leqq 1\end{align*}}$ であり、
両辺にensin$\scriptsize\sf{\theta}$ （＞0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\ e^{n\sin\theta}\leqq e^{n\sin\theta}\cos\theta\leqq e^{n\sin\theta}\end{align*}}$ ．
これが①の区間で常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\ \frac{\sqrt3}{2}\ e^{n\sin\theta}\ d\theta\leqq \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\ e^{n\sin\theta}\cos\theta\ d\theta\leqq \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\ e^{n\sin\theta}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sqrt3}{2}\ a_n\leqq b_n\leqq a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n\leqq a_n\leqq \frac{2}{\sqrt3}\ b_n\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(３)
(２)の両辺にn（＞0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf nb_n\leqq na_n\leqq \frac{2}{\sqrt3}n\ b_n\end{align*}}$ ････②
ここで、①の範囲において、常に ensin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0が
成り立つので、bn＞0である。
よって、②の各辺は正なので、自然対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log(nb_n)\leqq \log(na_n)\leqq \log\left(\frac{2}{\sqrt3}n\ b_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)\leqq\log(na_n)\leqq\log\left\{\frac{2}{\sqrt3}\left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)\right\} \end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n}\log\left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)\leqq\frac{1}{n}\log(na_n)\leqq\frac{1}{n}\log\left\{\frac{2}{\sqrt3}\left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)\right\} \end{align*}}$ ････③
③の左辺において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \left\{e^{\frac{1}{2}n}\left(1-e^{-n}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log e^{\frac{1}{2}n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \left(1-e^{-n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\cdot{\frac{1}{2}n}+0\cdot\log 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\end{align*}}$
③の右辺において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\left\{\frac{2}{\sqrt3}\left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)\right\} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \frac{2}{\sqrt3}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \left(e^{\frac{1}{2}n}-e^{-\frac{1}{2}n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\cdot\log \frac{2}{\sqrt3}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\end{align*}}$
はさうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\log (na_n)=\underline{\ \frac{1}{2}\ } \end{align*}}$ ．
最後はうまく挟みましょう！
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第５問
２次の正方行列Aを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf -\frac{1}{\sqrt2}&\sf -\frac{1}{\sqrt2} \\ \sf \frac{1}{\sqrt2} & \sf -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}\end{align*}}$
で定めるn＝1，2，3，･･･に対して、点Pn(xn，yn)を関係式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x_n\\ \sf y_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\sf x_{n-1}\\ \sf y_{n-1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 0\end{pmatrix}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
で定める。ただし、x0＝1、y0＝0とする。
(１) A4を求めよ。
(２) n＝0，1，2，･･･に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x_n\\ \sf y_n\end{pmatrix}=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1}\begin{pmatrix}\sf 1\\ \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。ただし、Eは２次の単位行列とする。
(３) 原点OからPnまでの距離OPnが最大となるnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf -\frac{1}{\sqrt2}&\sf -\frac{1}{\sqrt2} \\ \sf \frac{1}{\sqrt2} & \sf -\frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{3\pi}{4}&\sf -\sin\frac{3\pi}{4} \\ \sf \sin\frac{3\pi}{4} & \sf \cos\frac{3\pi}{4} \end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できるので、Aは原点中心に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{4}\end{align*}}$ だけ回転する移動を表す。
よって、A4は3$\scriptsize\sf{\pi}$ の回転移動を表すので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^4=\begin{pmatrix} \sf \cos 3\pi&\sf -\sin3\pi \\ \sf \sin3\pi & \sf \cos3\pi \end{pmatrix}=\underline{\ -\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
となる。
(２)
任意のn＝0，1，2，･･･に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$ ････(※)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n＝0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_0}{y_0}=(E-A)(E-A)^{-1}\binom{1}{0}=E\binom{1}{0}=\binom{1}{0}\end{align*}}$
となりOK
(ⅱ) n＝kのとき(※)が成り立つと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_k}{y_k}=(E-A^{k+1})(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$ ････①
n＝k＋1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{k+1}}{y_{k+1}}=A\binom{x_{k}}{y_{_k}}+\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =A(E-A^{k+1})(E-A)^{-1}\binom{1}{0}+\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(A-A^{k+2})(E-A)^{-1}\binom{1}{0}+(E-A)(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{(A-A^{k+2})+(E-A)\right\}(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(E-A^{k+2})(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
となるので(※)を満たす。
以上より、任意のn＝0，1，2，･･･に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=(E-A^{n+1})(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
が成り立つ。
(３)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^8=(A^4)^2=(-E)^2=E\end{align*}}$
なので、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m}}{y_{8m}}=(E-A^{8m+1})(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(E-A)(E-A)^{-1}\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{1}{0}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m}=1\end{align*}}$ ．
以下、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}=A\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+\binom{1}{0}\end{align*}}$
に順次代入していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m+1}}{y_{8m+1}}=-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{1}{0}+\binom{1}{0}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{\sqrt2-1}{1}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m+1}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt{(\sqrt2-1)^2+1^2}=\sqrt{2-\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m+2}}{y_{8m+2}}=-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\binom{\sqrt2-1}{1}+\binom{1}{0}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{\sqrt2-1}{-\sqrt2+1}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m+2}=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{(\sqrt2-1)^2+(-\sqrt2+1)^2}=\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m+3}}{y_{8m+3}}=-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\binom{\sqrt2-1}{-\sqrt2+1}+\binom{1}{0}=\binom{1}{\sqrt2-1}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m+3}=\sqrt{1^2+(\sqrt2-1)^2}=\sqrt{4-2\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m+4}}{y_{8m+4}}=-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\binom{1}{\sqrt2-1}+\binom{1}{0}=\binom{0}{\sqrt2-1}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m+4}=\sqrt2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m+5}}{y_{8m+5}}=-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{0}{\sqrt2-1}+\binom{1}{0}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-\sqrt2+1}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m+5}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt{1^2+(-\sqrt2+1)^2}=\sqrt{2-\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m+6}}{y_{8m+6}}=-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{-\sqrt2+1}+\binom{1}{0}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m+6}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\sqrt{1^2+1^2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_{8m+7}}{y_{8m+7}}=-\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}+\binom{1}{0}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP_{8m+7}=0\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\sqrt2-1<\sqrt{2-\sqrt2}<1<\sqrt{4-2\sqrt2}\end{align*}}$
なので、OPnが最大となるのは
n＝8m＋3 （m＝0，1，2，･･･）
のときである。
(３)の計算がヤヤコシイですね。
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