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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013北海道大 文系数学1



第1問

   $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\sqrt2\sin x\cos x+\sin x+\cos x (0\leqq x\leqq\pi)\end{align*}}$ とする。
  
 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf t=\sin x+\cos x\end{align*}}$ とおき、f(x)をtの関数で表せ。

 (2) tのとり得る値の範囲を求めよ。

 (3) f(x)の最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。



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2013北海道大 文系数学2



第2問

  次の規則に従って座標平面上を動く点Pがある。2個のサイコロを
  同時に投げて出た目の積をXとする。
    (ⅰ) Xが4の倍数ならば、点Pはx軸方向に-1動く。
    (ⅱ) Xを4で割った余りが1ならば、点Pはy軸方向に-1動く。
    (ⅲ) Xを4で割った余りが2ならば、点Pはx軸方向に+1動く。
    (ⅳ) Xを4で割った余りが3ならば、点Pはy軸方向に+1動く。
  たとえば、2と5が出た場合には2×5=10を4で割った余りが2である
  から、点Pはx軸方向に+1動く。
  以下いずれの問題でも、点Pは原点(0,0)を出発点とする。

 (1) 2個のサイコロを1回投げて、点Pが(1,0)にある確率を求めよ。

 (2) 2個のサイコロを1回投げて、点Pが(0,1)にある確率を求めよ。

 (3) 2個のサイコロを3回投げて、点Pが(2,1)にある確率を求めよ。



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2013北海道大 文系数学3



第3問

  空間ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(1\ ,\ 0\ ,\ 0)\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ を考える。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=|\overrightarrow{\sf d}|=1\end{align*}}$ で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ はxy平面上にあり、そのy成分は正とする。
  また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=p\end{align*}}$ とおく。

 (1) |p|<1であることを示せ。また、pを用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の成分表示を書け。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は相異なり
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf d}=p\end{align*}}$
    を満たすとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ のz成分が正のとき、pを用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ の成分
    表示を書け。

 (3) 上の条件に加えて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf d}=p\end{align*}}$ であるときpの値を求めよ。


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2013北海道大 文系数学4



第4問

  実数tが0≦t<8を満たすとき、点P(t,t3-8t2+15t-56)を
  考える。

 (1) 点Pから放物線y=x2に2本の異なる接線が引けることを示せ。

 (2)(1)での2本の接線の接点をQおよびRとする。線分PQ、PRと
    放物線y=x2で囲まれた領域の面積S(t)をtを用いて表せ。



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