第１問
$\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\sqrt2\sin x\cos x+\sin x+\cos x (0\leqq x\leqq\pi)\end{align*}}$ とする。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf t=\sin x+\cos x\end{align*}}$ とおき、f(x)をtの関数で表せ。
(２) tのとり得る値の範囲を求めよ。
(３) f(x)の最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\left(\sin x+\cos x\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+2\sin x\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x\cos x=\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt2\cdot\frac{1}{2}\left(t^2-1\right)+t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt2}t^2+t-\frac{1}{\sqrt2}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
合成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt2\left(\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\leqq x+\frac{\pi}{4}\leqq\frac{9\pi}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\sqrt2\leqq t\leqq\sqrt2\ }\end{align*}}$ ．
(３)
(１)で求めたtの多項式をg(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\frac{1}{\sqrt2}\left(t+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2-\frac{3\sqrt2}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、(２)で求めたtの範囲において、
f(x)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\sqrt2\right)=\frac{1}{\sqrt2}\cdot2+\sqrt2-\frac{1}{\sqrt2}=\underline{\ \frac{3\sqrt2}{2}\ }\end{align*}}$
であり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$ ．
一方、f(x)の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\underline{\ -\frac{3\sqrt2}{4}\ }\end{align*}}$
であり、このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{6}\ ,\ \frac{11\pi}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{11\pi}{12}\ ,\ \frac{19\pi}{12}\ }\end{align*}}$ ．
まぁとくある問題ですね。
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第２問
次の規則に従って座標平面上を動く点Pがある。2個のサイコロを
同時に投げて出た目の積をXとする。
(ⅰ) Xが4の倍数ならば、点Pはx軸方向に－1動く。
(ⅱ) Xを4で割った余りが1ならば、点Pはy軸方向に－1動く。
(ⅲ) Xを4で割った余りが2ならば、点Pはx軸方向に＋1動く。
(ⅳ) Xを4で割った余りが3ならば、点Pはy軸方向に＋1動く。
たとえば、2と5が出た場合には2×5＝10を4で割った余りが2である
から、点Pはx軸方向に＋1動く。
以下いずれの問題でも、点Pは原点(0，0)を出発点とする。
(１) 2個のサイコロを1回投げて、点Pが(1，0)にある確率を求めよ。
(２) 2個のサイコロを1回投げて、点Pが(0，1)にある確率を求めよ。
(３) 2個のサイコロを3回投げて、点Pが(2，1)にある確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
下の表１は、Xの値を表したものであり、
表２はXを4で割った余りを表したものである。
よって、上下左右それぞれに動く確率は、
左･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{15}{36}=\frac{5}{12}\end{align*}}$
下･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{36}\end{align*}}$
右･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12}{36}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
上･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{36}=\frac{1}{9}\end{align*}}$
となる。
(１)
右に１回動けばよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
上に１回動けばよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{9}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
右に２回、上に１回動けばよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _3C_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{9}=\underline{\ \frac{1}{27}\ }\end{align*}}$ ．
表に整理すると分かりやすいと思います。
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第３問
空間ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(1\ ,\ 0\ ,\ 0)\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ を考える。
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=|\overrightarrow{\sf d}|=1\end{align*}}$ で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ はxy平面上にあり、そのy成分は正とする。
また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=p\end{align*}}$ とおく。
(１) |p|＜1であることを示せ。また、pを用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の成分表示を書け。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ は相異なり
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf d}=p\end{align*}}$
を満たすとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ のz成分が正のとき、pを用いて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$ の成分
表示を書け。
(３) 上の条件に加えて$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf d}=p\end{align*}}$ であるときpの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=(x\ ,\ y\ ,\ 0)\end{align*}}$ とおくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=x=p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|^2=x^2+y^2=1\end{align*}}$
となり、y＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-p^2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\underline{\ \left(p\ ,\ \sqrt{1-p^2}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$ ．
また、y＞0より
1－p2＞0 ⇔ －1＜p＜1
⇔ |p|＜1
となり、題意は示された。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=(X\ ,\ Y\ ,\ Z)\end{align*}}$ とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=X=p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=pX+\sqrt{1-p^2}Y=p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{(1-p)(1+p)}Y=p(1-X)=p(1-p)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Y=p\sqrt{\frac{1-p}{1+p}}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2=X^2+Y^x+Z^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Z^2=1-X^2-Y^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-p^2-\frac{p^2(1-p)}{1+p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1-p)(1+p)^2-p^2(1-p)}{1+p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1-p)(1+2p)}{1+p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Z=\sqrt{\frac{(1-p)(1+2p)}{1+p}}\ \ (>0)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=\underline{\ \left(p\ ,\ p\sqrt{\frac{1-p}{1+p}}\ ,\ \sqrt{\frac{(1-p)(1+2p)}{1+p}}\right)\ }\end{align*}}$ ．
同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=\underline{\ \left(p\ ,\ p\sqrt{\frac{1-p}{1+p}}\ ,\ -\sqrt{\frac{(1-p)(1+2p)}{1+p}}\right)\ }\end{align*}}$ ．
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf d}=p^2+\frac{p^2(1-p)}{1+p}-\frac{(1-p)(1+2p)}{1+p}=p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2(1-p)-(1-p)(1+2p)=p(1-p)(1+p)\end{align*}}$
両辺を1－p（≠0)で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p^2-(1+2p)=p+p^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p=\underline{\ -\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$ ．
ひたすら計算です！！
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第４問
実数tが0≦t＜8を満たすとき、点P(t，t3－8t2＋15t－56)を
考える。
(１) 点Pから放物線y＝x2に２本の異なる接線が引けることを示せ。
(２)(１)での２本の接線の接点をQおよびRとする。線分PQ、PRと
放物線y＝x2で囲まれた領域の面積S(t)をtを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y＝x2の導関数は、y’＝2xとなるので、
この放物線上の点(p，p2)における接線の方程式は、
y－p2＝2p(x－p) ⇔ y＝2px－p2
となる。これが点Pを通るとき、
t3－8t2＋15t－56＝2pt－p2
⇔ p2－2tp＋t3－8t2＋15t－56＝0 ････①
Pを通る接線の本数は、pについての二次方程式①の
実数解の個数に等しい。①の判別式は、
D/4＝t2－(t3－8t2＋15t－56)
＝－t3＋9t2－15t＋56 ････②
であり、tの関数f(t)を
f(t)＝－t3＋9t2－15t＋56
で定めると、その導関数は
f’(t)＝－3t2＋18t－15t＝－3(t－1)(t－5)
となるので、0≦t＜8におけるf(t)の増減は次のようになる。
よって、0≦t＜8において常にf(t)＞0なので、
判別式Dも常に正になる。
よって、Pを通る接線は2本あることが示された。
(２)
①の２解をq、r（q＜r）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=t-\sqrt{\frac{D}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=t+\sqrt{\frac{D}{4}}\end{align*}}$ ････③
また、２つの接点Q、Rの座標は
Q(q，q2)、R(r，r2)
であり、接線の方程式はそれぞれ
y＝2qx－q2、 y＝2rx－r2
となる。
放物線および２接線の位置関係は
右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\int_q^t\left\{x^2-(2qx-q^2)\right\}dx+\int_t^r\left\{x^2-(2rx-r^2)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_q^t\left(x-q\right)^2dx+\int_t^r\left(x-r\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\left(x-q\right)^3\right]_q^t+\left[\frac{1}{3}\left(x-r\right)^3\right]_t^r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(t-q\right)^3-\frac{1}{3}\left(t-r\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{t-\left(t-\sqrt{\frac{D}{4}}\right)\right\}^3-\frac{1}{3}\left\{t-\left(t+\sqrt{\frac{D}{4}}\right)\right\}^3\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\sqrt{\frac{D}{4}}\right)^3-\frac{1}{3}\left(-\sqrt{\frac{D}{4}}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left(\sqrt{\frac{D}{4}}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\left(\sqrt{-t^3+9t^2-15t+56}\right)^3\ }\end{align*}}$ ←②より
解と係数の関係を用いる手もあります。
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