第１問
aとbを正の実数とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=a\cos x\ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
のグラフをC1、
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=b\sin x\ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
のグラフをC2とし、C1とC2の交点をPとする。
(１) Pのx座標をtとする。このとき、sintおよびcostをaとbで表せ。
(２) C1、C2とy軸で囲まれた領域の面積Sをaとbで表せ。
(３) C1、C2と直線x＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で囲まれた領域の面積をTとする。
このとき、T＝2Sとなるための条件をaとbで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
tは交点Pのx座標なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\cos t=b\sin t\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos t=\frac{b}{a}\sin t\end{align*}}$ ････①
これをsin2t＋cos2t＝1に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2t+\left(\frac{b}{a}\sin t\right)^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}\sin t=1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \sin t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$
となり、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos t=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\underline{\ \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
C1、C2の位置関係は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^t\left(a\cos x-b\sin x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[a\sin x+b\cos x\bigg]_0^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\sin t+b\cos t-b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}-b\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}-b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{a^2+b^2}-b\ }\end{align*}}$ ．
(３)
(２)と同様にTを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_t^{\pi/2}\left(b\sin x-a\cos x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-b\cos x-a\sin x\bigg]_t^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a+a\sin t+b\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{a^2+b^2}-a\end{align*}}$ ．
T＝2Sなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+b^2}-a=2\left(\sqrt{a^2+b^2}-b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{a^2+b^2}=2b-a\end{align*}}$
左辺＞0より、右辺も
2b－a＞0 ････②
であり、両辺を2乗すると、
a2＋b2＝4b2－4ab＋a2
⇔ 3b2＝4ab．
両辺をb（≠0)で割ると、
3b＝4a
となり、これは②も満たす。
よって、求める条件は、
3b＝4a
である。
これは取っつきやすいですね。
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第２問
座標平面上で、直線y＝xに関する対称移動をfとし、実数cに対して、
直線y＝cxに関する対称移動をgとする。また、原点を中心とする120°
の回転移動をhとする。
(１) fを表す行列、およびhを表す行列を求めよ。
(２) gを表す行列を求めよ。
(３)合成変換f￮gがhになるようにcの値を定めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
f、g、hを表す行列をそれぞれF、G、Hとおく。
(２)
gによって点P(X，Y)が点P’(X’，Y')に移るとすると、
線分PP’の中点は直線y＝cx上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y+Y'}{2}=c\cdot \frac{X+X'}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ cX'-Y'=-cX+Y\end{align*}}$ ････①
また、線分PP’は直線y＝cxと垂直なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y'-Y}{X'-X}\cdot c=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ X'+cY'=X+cY\end{align*}}$ ････②
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf c&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf c \end{pmatrix}\binom{X'}{Y'}=\begin{pmatrix} \sf -c&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf c \end{pmatrix}\binom{X}{Y}\end{align*}}$ ････③
となる。ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf c&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf c \end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
detA＝1＋c2≠0
なので、逆行列A－1が存在する。
③の両辺に右からA－1をかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X'}{Y'}=\frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix} \sf c&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf -c&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf c \end{pmatrix}\binom{X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix} \sf 1-c^2&\sf 2c \\ \sf 2c & \sf -1+c^2 \end{pmatrix}\binom{X}{Y}\end{align*}}$ ．
よって、gを表す行列Gは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf G=\underline{\ \frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix} \sf 1-c^2&\sf 2c \\ \sf 2c & \sf -1+c^2 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
である。
(１)
(２)において、c＝1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf 0 \end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}}\end{align*}}$ ．
また、原点中心の$\scriptsize\sf{\theta}$ の回転移動を表す行列は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
で表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H=\begin{pmatrix} \sf \cos 120^{\circ}&\sf -\sin 120^{\circ} \\ \sf \sin 120^{\circ} & \sf \cos 120^{\circ} \end{pmatrix}=\underline{\ -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf -\sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
f￮gを表す行列は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf FG=\frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1-c^2&\sf 2c \\ \sf 2c & \sf -1+c^2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+c^2}\begin{pmatrix} \sf 2c&\sf -1+c^2 \\ \sf 1-c^2 & \sf 2c \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、これとHの成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2c}{1+c^2}=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････④ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1-c^2}{1+c^2}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ････⑤
④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2+4c+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ c=-2\pm\sqrt3\end{align*}}$
⑤より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c^2=\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}=(2-\sqrt3)^2\end{align*}}$
これらを同時に満たすcの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c=-2+\sqrt3\ }\end{align*}}$
である。
(１)は答えだけでもいい気もしますが・・・・
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第３問
実数x、y、s、tに対し、z＝x＋yi、w＝s＋tiとおいたとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{w-1}{w+1}\end{align*}}$
をみたすとする。ただし、iは虚数単位である。
(１) wをzで表し、s、tをx、yで表せ。
(２) 0≦s≦1かつ0≦t≦1となるような(x，y)の範囲Dを座標
平面上に図示せよ。
(３) 点P(x，y)がDを動いたとき、－5x＋yの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{w-1}{w+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ wz+z=w-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (z-1)w=-z-1\end{align*}}$
この式はz＝1のときに成り立たないので、z≠1．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w=\underline{\ -\frac{z+1}{z-1}\ }\end{align*}}$ ．
これにz＝x＋yi、w＝s＋tiを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s+ti=-\frac{(x+1)+yi}{(x-1)+yi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\left\{(x+1)+yi\right\}\left\{(x-1)-yi\right\}}{\left\{(x-1)+yi\right\}\left\{(x-1)-yi\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{x^2+y^2-1-2yi}{(x-1)^2+y^2}\end{align*}}$
となり、両辺の実部・虚部を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=-\frac{x^2+y^2-1}{(x-1)^2+y^2}\ \ ,\ \ t=\frac{2y}{(x-1)^2+y^2}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
0≦s≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq-\frac{x^2+y^2-1}{(x-1)^2+y^2}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq -x^2-y^2+1\leqq x^2+y^2-2x+1\end{align*}}$
前の２項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2\leqq 1\end{align*}}$ ････①
後ろの２項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-x+y^2\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2\geqq\frac{1}{4}\end{align*}}$ ････②
一方、0≦t≦1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{2y}{(x-1)^2+y^2}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq 2y\leqq x^2+y^2-2x+1\end{align*}}$
前の２項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\geqq0\end{align*}}$ ････③
後ろの２項より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-2x+y^2-2y+1\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-1)^2+(y-1)^2\geqq 1\end{align*}}$ ････④
①～④を同時に満たす領域を図示すると、
右図のようになる。
ただし、境界線上の点も含む。
(３)
②、④の境界を表す２円の交点を求める。
２式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2-x=0\end{align*}}$ ････②’
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2-2x-2y+1=0\end{align*}}$
の差をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+2y-1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{-x+1}{2}\end{align*}}$
となり、これを②’に代入して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(\frac{-x+1}{2}\right)^2-x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2-6x+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\ ,\ \frac{1}{5}\end{align*}}$ ．
よって、(1，0)以外の交点をPとすると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{1}{5}\ ,\ \frac{2}{5}\right)\end{align*}}$
である。
－5x＋y＝k とおく。
これは、y＝5x＋k と変形でき、傾き5、切片kの直線を
表すことになる。
この直線がDと共有点をもつようにkの値が変化するとき、
kの値が最小になるのは、点Pを通るときである。
よって、kの最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{min}=-5\cdot\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\underline{\ -\frac{3}{5}\ }\end{align*}}$ ．
(３)は線形計画法です。
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第４問
次の規則に従って座標平面上を動く点Pがある。2個のサイコロを
同時に投げて出た目の積をXとする。
(ⅰ) Xが4の倍数ならば、点Pはx軸方向に－1動く。
(ⅱ) Xを4で割った余りが1ならば、点Pはy軸方向に－1動く。
(ⅲ) Xを4で割った余りが2ならば、点Pはx軸方向に＋1動く。
(ⅳ) Xを4で割った余りが3ならば、点Pはy軸方向に＋1動く。
たとえば、2と5が出た場合には2×5＝10を4で割った余りが2である
から、点Pはx軸方向に＋1動く。
以下いずれの問題でも、点Pは原点(0，0)を出発点とする。
(１) 2個のサイコロを1回投げて、点Pが(－1，0)にある確率を求めよ。
(２) 2個のサイコロを3回投げて、点Pが(2，1)にある確率を求めよ。
(３) 2個のサイコロを4回投げて、点Pが(1，1)にある確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
下の表１は、Xの値を表したものであり、
表２はXを4で割った余りを表したものである。
よって、上下左右それぞれに動く確率は、
左･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{15}{36}=\frac{5}{12}\end{align*}}$
下･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{36}\end{align*}}$
右･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12}{36}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
上･･･ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{36}=\frac{1}{9}\end{align*}}$
となる。
(１)
左に１回動けばよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{5}{12}\ }\end{align*}}$ ．
(２)
右に２回、上に１回動けばよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _3C_2\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{9}=\underline{\ \frac{1}{27}\ }\end{align*}}$ ．
(３)
次の２通りの場合が考えられる。
・右２回、左１回、上１回
・上２回、右２回、下１回
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{5}{12}\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{4!}{2!}+\left(\frac{1}{9}\right)^2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{36}\cdot\frac{4!}{2!}=\underline{\ \frac{50}{729}\ }\end{align*}}$ ．
表に整理すると分かりやすいと思います。
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第５問
－∞＜x＜∞で定義された連続関数f(x)に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=\int_0^{2x}t\ f(2x-t)\ f(s)\ ds\end{align*}}$
とおく。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{x}{2}\right)=\int_0^x(x-s)\ f(s)\ ds\end{align*}}$ となることを示せ。
(２) 2次導関数F”をfで表せ。
(３) Fが3次多項式でF(1)＝f(1)＝1となるとき、fとFを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式のxに$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{2}\end{align*}}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ \left(\frac{x}{2}\right)=\int_0^xt\ f(x-t)\ dt\end{align*}}$
となり、s＝x－tと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{ds}=-1\end{align*}}$
であり、t：0→xに対応するsは、s：x→0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ \left(\frac{x}{2}\right)=\int_x^0(x-s)\ f(s)\ (-ds)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^x(x-s)\ f(s)\ ds\end{align*}}$ ････①
以上より、題意は示された。
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ \left(\frac{x}{2}\right)=x\int_0^xf(s)\ ds-\int_0^xs\ f(s)\ ds\end{align*}}$
となり、両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=\int_0^xf(s)\ ds+x\ f(x)-x\ f(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ F\ '\left(\frac{x}{2}\right)=2\int_0^xf(s)\ ds\end{align*}}$ ････②
さらにxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ ''\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=2\ f(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ F\ ''\left(\frac{x}{2}\right)=4\ f(x)\end{align*}}$ ････③
この式のxに2xを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ F\ ''(x)=4\ f(2x)\ }\end{align*}}$
を得る。
(３)
a、b、c、dを実数として
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=ax^3+bx^2+cx+d\end{align*}}$
とおくと、条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (1)=a+b+c+d=1\end{align*}}$ ････④
また、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(x)=3ax^2+2bx+c\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ ''(x)=6ax+2b\end{align*}}$
となるので、これと(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ ''\left(\frac{1}{2}\right)=4\ f(1)\ \ \Leftrightarrow\ \ 3a+2b=4\end{align*}}$ ････⑤
一方、①および②にx＝0を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (0)=\int_0^0(x-s)\ f(s)\ ds=0\ \ \Leftrightarrow\ \ d=0\end{align*}}$ ････⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(0)=2\int_0^0 f(s)\ ds=0\ \ \Leftrightarrow\ \ c=0\end{align*}}$ ････⑦
④～⑦を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=2\ ,\ b=-1\ ,\ c=d=0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ F\ (x)=2x^3-x\ }\end{align*}}$ ．
また、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{4}\ F''\left(\frac{x}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(6a\cdot\frac{x}{2}+2b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3x-1}{2}\ }\end{align*}}$
微積分に関する基本定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\int_a^x\ f\ (t)\ dt=f\ (x)\end{align*}}$ （a：定数）
は大丈夫ですか？
(３)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\int_0^0\ f\ (t)\ dt=0}\end{align*}}$
に気づかないと厳しいでしょうね。
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