第1問
(1)
初項a1=1、公差 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の等差数列{an}がある。数列{an}の項のうち、
値が整数となる項を小さい方から順に並べてできる数列は等差数列を
なし、初項は ア 、公差は イ となる。したがって49以下のanの
うち整数とならない項の総和は ウ となる。次に初項b1=2、公差 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$
の等差数列{bn}を考える。2つの数列{an}と{bn}に共通に含まれる項を、
小さい方から順に並べてできる数列を{cn}とすると、数列{cn}は等差数列
となり、初項は エ 、公差は オ となる。
(2)
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{-x}\sin x+e^x\cos x\ \ \ \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
は x= カ のとき極値をとる。したがって x= キ のとき最小値
ク をとり、 x= ケ のとき最大値 コ をとる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 1 イ 2 ウ 1200 エ 5 オ 6
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\left(e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\right)\end{align*}}$
【解説】
(1)
数列{an}の項は順に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\ ,\ \frac{5}{3}\ ,\ \frac{7}{3}\ ,3\ ,\ \frac{11}{3}\ ,\ \frac{13}{3}\ ,5\ ,\ \frac{17}{3}\ ,\ \frac{19}{3}\ ,\ 7\ ,\ \frac{23}{3}\ ,\ \ldots\ldots\end{align*}}$
となるので、整数になる項を小さい方から順に並べると、
1，3，5，7，9，11，……
のような奇数の列になる。
よって、これは初項1、公差2の等差数列をなす。
また、an=49となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+\frac{2}{3}(n-1)=49\ \ \Leftrightarrow\ \ n=73\end{align*}}$
なので、整数でない{an}の項の和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 73\cdot \left(1+49\right)-\left(1+3+5+\ldots +49\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =73\cdot 25-25^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1200\ }\end{align*}}$
一方、数列{bn}の項は順に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\ ,\ \frac{7}{2}\ ,\ 5\ ,\ \frac{13}{2}\ ,\ 8\ ,\ \frac{19}{2}\ ,\ 11\ ,\ \frac{25}{3}\ ,\ \ldots\ldots\end{align*}}$
となるので、{an}、{bn}の共通項からなる数列
5，11，17，23，……
は、初項5、公差6の等差数列をなす。
(2)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-e^{-x}\sin x+e^{-x}\cos x+e^x\cos x-e^x\sin x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(e^x+e^{-x}\right)\left(\sin x-\cos x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(e^x+e^{-x}\right)\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ で極値をとる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{\pi}{2}}< 1=e^0\end{align*}}$
なので、f(x)の最大・最小は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (x)_{min}=e^{-\frac{\pi}{2}} \ \ \ \left(x=\frac{\pi}{2}\right)\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (x)_{max}=\frac{1}{\sqrt2}\left(e^{\frac{\pi}{4}}+e^{-\frac{\pi}{4}}\right) \ \ \ \left(x=\frac{\pi}{4}\right)\ }\end{align*}}$
厳密には、(1)はもう少し丁寧に解くべきなんでしょうが、
穴埋めなので、これぐらい誤魔化した感じでOKでしょうｗｗ
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- 2014/01/13(月) 23:57:00|
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第2問
nを1以上の整数とし、$\small\sf{\theta}$ を 0＜$\small\sf{\theta}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ を満たす定数とする。
数列{an}がan=cos(n$\small\sf{\theta}$ ) （n=1，2，3，…）で与えられるとき、
次の問いに答えよ。
(1) p、q、rがこの順に等比数列となるとき、q2をpとrを用いて表せ。
(2) 数列{an}が等比数列となるような$\small\sf{\theta}$ の値を全て求めよ。
(3) 1以上の全ての整数nに対して an+3=anが成り立つような$\small\sf{\theta}$ の
値を全て求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
隣り合う項の比が等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{q}{p}=\frac{r}{q}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ q^2=pr\ }\end{align*}}$
(2)
数列{an}が等比数列をなすためには、少なくとも3数a1、a2、a3が
等比数列をなす必要がある。
よって、(1)より
a22=a1a3 ⇔ cos22$\scriptsize\sf{\theta}$ =cos$\scriptsize\sf{\theta}$ cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
であり、これに倍角公式、3倍角公式を用いると、
(2cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －1)2=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ (4cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ －3cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
⇔ 4cos4$\scriptsize\sf{\theta}$ －4cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ +1=4cos4$\scriptsize\sf{\theta}$ －3cos2$\scriptsize\sf{\theta}$
⇔ cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ =1
⇔ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =±1
0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\pi}$ となる。
逆にこのとき、数列{an}は、
a1=cos$\scriptsize\sf{\pi}$ =－1
a2=cos2$\scriptsize\sf{\pi}$ =1
a3=cos3$\scriptsize\sf{\pi}$ =－1
a4=cos4$\scriptsize\sf{\pi}$ =1
…
…
となるので、公比－1の等比数列となる。
よって、題意を満たすような$\scriptsize\sf{\theta}$ の値は、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\pi}$ である。
(3)
an+3=an ⇔ cos(n+3)$\scriptsize\sf{\theta}$ －cosｎ$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
これに和→積の公式を適用すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2\sin\frac{2n+3}{2}\theta\ \sin\frac{3}{2}\theta=0\end{align*}}$
となるが、$\scriptsize\sf{\theta}$ ≠0より、任意のnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{2n+3}{2}\theta=0\end{align*}}$
となることはあり得ないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{3}{2}\theta=0\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\theta}$ の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta <\2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\frac{3}{2}\theta <3\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\theta=\pi\ ,\ 2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \theta=\frac{2}{3}\pi\ ,\ \frac{4}{3}\pi\ }\end{align*}}$
(2)で、「$\scriptsize\sf{\theta}$ の値を全て求めよ」とあるにも関わらず、
値が1つしかないのは少し不安になりますがｗｗｗ
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- 2014/01/14(火) 23:57:00|
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第3問
行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 11&\sf -5 \\ \sf -3 & \sf 9 \end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。行列R、Tと実数a、b（a＜b）は
R+T=E、 aR+bT=A （Eは単位行列）
を満たすものとする。次の問いに答えよ。
(1) R=xA+yE 、T=uA+vE となる実数x、y、u、vをa、bを
用いて表せ。
(2) RT=O（Oは零行列）となるa、bを求めよ。
(3) (2)で定まるa、bについてR、R2とTRをそれぞれ求めよ。
(4) (2)で定まるa、bについてAn（n=1，2，3，…）を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
実数p、qと行列A、Eについて、等式pA=qEが成り立つとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 11p&\sf -5p \\ \sf -3p & \sf 9p \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf q&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、両辺の成分を比較すると、p=q=0 ……(※) となる。
(1)
R+T=E ……① aR+bT=A ……②
R=xA+yE ……③ T=uA+vE ……④
①、②よりTを消去すると
aR+b(E－R)=A
⇔ a(xA+yE)+b{E－(xA+yE)}=A ←③より
⇔ {(b－a)x+1}A=－{(b－a)y－b}E
(※)より
(b－a)x+1=(b－a)y－b=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=-\frac{1}{b-a}\ \ ,\ \ y=\frac{b}{b-a}\ }\end{align*}}$
これと①、③、④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{1}{b-a}A+\frac{b}{b-a}E\right)+\left(uA+vE\right)=E\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(u-\frac{1}{b-a}\right)A=\left(1-v-\frac{b}{b-a}\right)E\end{align*}}$
となり、(※)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u-\frac{1}{b-a}=1-v-\frac{b}{b-a}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ u=\frac{1}{b-a}\ \ ,\ \ b=-\frac{a}{b-a}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R=\frac{1}{b-a}\left(-A+bE\right)\ \ ,\ \ T=\frac{1}{b-a}\left(A-aE\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf RT=\frac{1}{(b-a)^2}\left(-A+bE\right)\left(A-aE\right)=O\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A^2-(a+b)A+abE=O\end{align*}}$ ……⑤
一方、ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－10A+21E=O
なので、これと⑤の辺々を引いて整理すると、
(a+b－10)A=－(ab－21)E
となり、(※)より、
a+b=10 かつ ab=21．
解と係数の関係より、
a、bは二次方程式t2－10t+21=0の2解なので、
a=3、 b=7 (∵ a＜b)
となる。
(3)
a=3、 b=7のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R=\frac{1}{4}\left(-A+7E\right)=\underline{\ \frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 5 \\ \sf 3 & \sf 5 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R^2=\frac{1}{64}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 5 \\ \sf 3 & \sf 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 5 \\ \sf 3 & \sf 5 \end{pmatrix}=\underline{\ \frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 5 \\ \sf 3 & \sf 5 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{4}\left(A-3E\right)=\frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -5 \\ \sf -3 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T^2=\frac{1}{64}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -5 \\ \sf -3 & \sf 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -5 \\ \sf -3 & \sf 3 \end{pmatrix}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -5 \\ \sf -3 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf TR=\frac{1}{64}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -5 \\ \sf -3 & \sf 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 5 \\ \sf 3 & \sf 5 \end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より、
Rn=Rn-2R2=Rn-2R=Rn-1
となり、これを繰り返し計算すると、任意のnに対してRn=Rとなる。
同様に、Tn=T．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\left(3R+7T\right)^n\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(3R)^n+_nC_1(3R)^{n-1}(7T)+_nC_2(3R)^{n-2}(7T)^2+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +_nC_{n-2}(3R)^{2}(7T)^{n-2}+_nC_{n-1}(3R)(7T)^{n-1}+(7T)^n\end{align*}}$ ←二項定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(3R)^n+(7T)^n\end{align*}}$ ←RT=TR=Oより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3^nR+7^nT\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 3^{n+1}+5\cdot 7^n&\sf 5\cdot 3^n-5\cdot 7^n \\ \sf 3\cdot 3^n-3\cdot 7^n & \sf 5\cdot 3^n+3\cdot 7^n \end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
うまい具合に問題を作ってあるもんですねぇ。
先に(※)を作っておくと、その後の答案が書きやすいと思います。
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- 2014/01/15(水) 23:57:00|
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第4問
次の問いに答えよ。ただし n を自然数とする。
(1) x＞0のとき、不等式 ex＞1+x が成り立つことを示せ。
(2) x＞0のとき、次の不等式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots\ldots +\frac{x^n}{n!}\end{align*}}$
(3) 極限値
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{x^n}{e^x}\ \ \ \left(n=1,2,3,\ldots\right)\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f1(x)=ex－(1+x) （x＞0）とおくと、導関数は
f1’(x)=ex－1
となるので、f1(x)の増減は次のようになる。
よって、x＞0で常にf1(x)＞0となるので、
不等式 ex＞1+x は成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=e^x-\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots\ldots +\frac{x^n}{n!}\right)\end{align*}}$
とおいて、x＞0で常にfn(x)＞0となることを示す。
(ⅰ)n=1のときは(1)よりOK
(ⅱ)n=kのとき成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_k(x)=e^x-\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots\ldots +\frac{x^k}{k!}\right)>0\end{align*}}$ ……①
n=k+1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{k+1}(x)=e^x-\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots\ldots +\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\right)\end{align*}}$
の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{k+1}'(x)=e^x-\left(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots\ldots +\frac{x^k}{k!}\right)=f_k(x)>0\end{align*}}$ ←①より
となるので、増減は次のようになる。
よって、x＞0で常にfk+1(x)＞0となるので、
n=k+1のときも成立。
以上より、任意のnに対してfn(x)＞0となるので、題意は示された。
(3)
x＞0と(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\ldots\ldots +\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^x>\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (n+1)!>\frac{x^{n+1}}{e^x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{(n+1)!}{x}>\frac{x^{n}}{e^x}>0\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{(n+1)!}{x}=0 \end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^n}{e^x}=0\ } \end{align*}}$
(3)は思いつきにくいかもしれませんね。
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- 2014/01/16(木) 23:57:00|
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