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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪府立大 工学部 数学1



第1問


  次の問いに答えよ。

 (1) 不定積分
      $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 1}\sf =\int\log x\ dx\ \ ,\ \rm I_{\sf 2}\sf=\int(\log x)^2dx\end{align*}}$
    をそれぞれ求めよ。ただし、積分定数は省略してよい。

 (2) 2曲線 y=log(x+1)、y=log2x とx軸とで囲まれた図形をx軸
    のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。




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  1. 2011/09/21(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2011(工)
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2011大阪府立大 工学部 数学2




第2問


  平面上に三角形OABがあり、OA=3、OB=2、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=-2\end{align*}}$
  であるとする。線分OAを2:1に内分する点をCとする。また、
  線分ABをt:(1-t)の比に内分する点をPとし、直線OPと直線
  BCの交点をQとする。ただし、tは0<t<1を満たす実数である。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 三角形OABの面積を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ およびtを用いて表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=k\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
    となる実数kをtを用いて表せ。

 (3) 三角形OCQの面積が $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ になるときのtの値を求めよ。



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  1. 2011/09/22(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2011(工)
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2011大阪府立大 工学部 数学3




第3問


  座標平面内において、楕円
    $\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{y^2}{3}=1\end{align*}}$
  のx≧0、y≧0の部分の曲線をCとする。x0>0、y0>0とし、曲線C上に
  点P(x0,y0)をとり、点Pにおける曲線Cの法線をLとする。このとき、次の
  問いに答えよ。

 (1) 直線Lとx軸との交点を(x1,0)とするとき、x1をx0、y0を用いて表せ。

 (2) x0=cos$\small\sf{\theta}$ 、y0= $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ sin$\small\sf{\theta}$ と表す。このとき、曲線Cと直線Lおよび
    x軸とで囲まれた部分の面積をS($\small\sf{\theta}$ )を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。ただし、
    0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ /2とする。

 (3) $\small\sf{\theta}$ が0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ /2の範囲を動くとき、(2)で求めた面積S($\small\sf{\theta}$ )の最大値
    を求めよ。




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  1. 2011/09/23(金) 23:57:00|
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2011大阪府立大 工学部 数学4(1)(2)(3)






第4問


  行列
     $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 3 &1\\ -1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
  とし、また行列Bを
     $\small\sf{\begin{align*} \sf B=A+t\begin{pmatrix} \sf 1 &1\\ \sf 0 &0\end{pmatrix} \end{align*}}$  
  とする。ただし、tは0でない実数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{x_1}{1}=k_1\binom{x_1}{1}\end{align*}}$ を満たす実数k1およびx1の値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf B\binom{x_2}{1}=k_2\binom{x_2}{1}\end{align*}}$ を満たす実数k2およびx2をtを用いて表せ。

 (3) nを自然数とする。(1)で求めたx1と(2)で求めたx2に対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf B^n\begin{pmatrix}\sf x_1 &\sf x_2\\ \sf 1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
    をtとnを用いて表せ。

 (4) 自然数nに対して、Bnの(1,1)成分をbn(t)とするとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow 0}b_n(t)\end{align*}}$
    をnを用いて表せ。



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  1. 2011/09/24(土) 23:54:00|
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2011大阪府立大 工学部 数学4(4)






第4問


  行列
     $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 3 &1\\ -1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
  とし、また行列Bを
     $\small\sf{\begin{align*} \sf B=A+t\begin{pmatrix} \sf 1 &1\\ \sf 0 &0\end{pmatrix} \end{align*}}$  
  とする。ただし、tは0でない実数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{x_1}{1}=k_1\binom{x_1}{1}\end{align*}}$ を満たす実数k1およびx1の値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf B\binom{x_2}{1}=k_2\binom{x_2}{1}\end{align*}}$ を満たす実数k2およびx2をtを用いて表せ。

 (3) nを自然数とする。(1)で求めたx1と(2)で求めたx2に対して、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf B^n\begin{pmatrix}\sf x_1 &\sf x_2\\ \sf 1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
    をtとnを用いて表せ。

 (4) 自然数nに対して、Bnの(1,1)成分をbn(t)とするとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow 0}b_n(t)\end{align*}}$
    をnを用いて表せ。



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  1. 2011/09/24(土) 23:57:59|
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2011大阪府立大 工学部 数学5(1)(2)




第5問


  関数f(x)を
     $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{\ ax}\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
  と定める。ただし、eは自然定数の底とし、aは実数とする。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 0≦x≦$\small\sf{\pi}$ を満たす実数xに対して、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf I(x)=\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) 関数f(x)が区間0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ において極大値をもつような
   aの値の範囲を求めよ。

 (3) 関数f(x)が2つの区間0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\pi}$ のどちらの
    区間においても極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。




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  1. 2011/09/25(日) 23:54:00|
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2011大阪府立大 工学部 数学5(3)




第5問


  関数f(x)を
     $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{\ ax}\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
  と定める。ただし、eは自然定数の底とし、aは実数とする。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 0≦x≦$\small\sf{\pi}$ を満たす実数xに対して、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf I(x)=\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) 関数f(x)が区間0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ において極大値をもつような
   aの値の範囲を求めよ。

 (3) 関数f(x)が2つの区間0≦x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\pi}$ のどちらの
    区間においても極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。




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  1. 2011/09/25(日) 23:57:00|
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