第1問
次の問いに答えよ。
(1) 不定積分
$\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 1}\sf =\int\log x\ dx\ \ ,\ \rm I_{\sf 2}\sf=\int(\log x)^2dx\end{align*}}$
をそれぞれ求めよ。ただし、積分定数は省略してよい。
(2) 2曲線 y=log(x+1)、y=log2x とx軸とで囲まれた図形をx軸
のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf =\int(x)'\ \log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\log x-\int x\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\log x-\int\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{x\log x-x\ \ }\end{align*}}$ (積分定数は省略)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 2}\sf =\int(x)'\left(\log x\right)^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\left(\log\right)^2 -\int x \cdot 2\left(\log x\right)\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\left(\log x\right)^2-2I_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{x\left(\log x\right)^2-2x\log x+2x\ \ }\end{align*}}$ (積分定数は省略)
(2)
2曲線の交点は
log2x=log(x+1)
⇔ 2x=x+1
⇔ x=1 より(1，log2)
求める立体は、右図の緑色部分を回転させたもので、
その体積は
(赤色部分の回転体)－(青色部分の回転体)
として求めることができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^1\left(\log(x+1)\right)^2\ dx-\pi\int_{\frac{1}{2}}^1(\log 2x)^2\ dx\end{align*}}$
1つ目の積分は、x軸方向に+1平行移動して考え、
2つ目の積分はｔ=2xと置換する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_1^2\left(\log x\right)^2\ dx-\pi\int_{1}^2\frac{1}{2}(\log t)^2\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\int_1^2\left(\log x\right)^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left[x\left(\log x\right)^2-x\log x+2x \right]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left(2\left(\log 2\right)^2-2\log 2+4 \right)-\frac{\pi}{2}\left(\left(\log 1\right)^2-\log 1+2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\pi\left(\log 2-1\right)^2\ \ }\end{align*}}$
まぁ、そのままゴツゴツ計算しても、それほどでもないと思います。
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- 2011/09/21(水) 23:57:00|
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第2問
平面上に三角形ＯABがあり、ＯA=3、ＯB=2、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=-2\end{align*}}$
であるとする。線分ＯAを2：1に内分する点をCとする。また、
線分ABをｔ：(1－ｔ)の比に内分する点をPとし、直線ＯPと直線
BCの交点をQとする。ただし、ｔは0＜ｔ＜1を満たす実数である。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 三角形ＯABの面積を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ およびｔを用いて表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=k\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
となる実数ｋをｔを用いて表せ。
(3) 三角形ＯCQの面積が $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ になるときのｔの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OA}|^2\ |\overrightarrow{\sf OB}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot \overrightarrow{\sf OB}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{3^2\times 2^2-\left(-2\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{2\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
上の公式を使えば一発ですが、覚えていますか？
忘れた場合は、以下の通りです。
∠AＯB=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、内積の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \cos \theta=\frac{\overrightarrow{\sf OA}\cdot \overrightarrow{\sf OB}}{|\overrightarrow{\sf OA}|\ |\overrightarrow{\sf OB}|}=\frac{-2}{3\times2}=-\frac{1}{3}}\end{align*}}$
0°＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜180°より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \sin \theta=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2}= \frac{2\sqrt2}{3}}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \triangle OAB= \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times\frac{2\sqrt2}{3}=2\sqrt2 }\end{align*}}$
まぁ、この解法を一般化しただけの公式ですが。
(2)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{CA}{OC}\times\frac{PB}{AB}\times\frac{QO}{PQ}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\times\frac{1-t}{1}\times\frac{QO}{PQ}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ OQ:QP=2:(1-t)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{2}{2+(1-t)}\overrightarrow{\sf OP}=\frac{2}{3-t}\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\underline{\frac{2}{3-t}\ \ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\underline{\frac{2(1-t)}{3-t}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{2t}{3-t}\overrightarrow{\sf OB}\ \ }\end{align*}}$
この手の問題はメネラウスに回避するのが定石ですが、
ベクトル的な解法は以下の通りです。
CQ：BQ=s：1－sとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=(1-s) \overrightarrow{\sf OC}+s\overrightarrow{\sf OB}=\frac{2(1-s)}{3} \overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OB}}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=k\overrightarrow{\sf OP}=k(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+kt\overrightarrow{\sf OB}}\end{align*}}$
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OA}}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf \frac{2(1-s)}{3}=k(1-t)\ \ ,\ \ s=kt}\end{align*}}$
これらを同時に満たせばよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color {blue} \sf k=\frac{2}{3-t}}\end{align*}}$ 以下略
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OCQ=\frac{OC}{OA}\ \triangle OAQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{OC}{OA}\times\frac{OQ}{OP}\ \triangle OAP\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{OC}{OA}\times\frac{OQ}{OP}\times\frac{AP}{AB}\ \triangle OAB\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2=\frac{2}{3}\times\frac{2}{3-t}\times\frac{t}{1}\times 2\sqrt2\end{align*}}$.
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\frac{9}{11}\ \ }\end{align*}}$.
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- 2011/09/22(木) 23:57:00|
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第3問
座標平面内において、楕円
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{y^2}{3}=1\end{align*}}$
のx≧0、y≧0の部分の曲線をCとする。x0＞0、y0＞0とし、曲線C上に
点P(x0，y0)をとり、点Pにおける曲線Cの法線をLとする。このとき、次の
問いに答えよ。
(1) 直線Lとx軸との交点を(x1，0)とするとき、x1をx0、y0を用いて表せ。
(2) x0=cos$\small\sf{\theta}$ 、y0= $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ sin$\small\sf{\theta}$ と表す。このとき、曲線Cと直線Lおよび
x軸とで囲まれた部分の面積をS($\small\sf{\theta}$ )を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。ただし、
0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ /2とする。
(3) $\small\sf{\theta}$ が0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ /2の範囲を動くとき、(2)で求めた面積S($\small\sf{\theta}$ )の最大値
を求めよ。
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- 2011/09/23(金) 23:57:00|
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第4問
行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 3 &1\\ -1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
とし、また行列Bを
$\small\sf{\begin{align*} \sf B=A+t\begin{pmatrix} \sf 1 &1\\ \sf 0 &0\end{pmatrix} \end{align*}}$
とする。ただし、ｔは0でない実数とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{x_1}{1}=k_1\binom{x_1}{1}\end{align*}}$ を満たす実数ｋ1およびx1の値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf B\binom{x_2}{1}=k_2\binom{x_2}{1}\end{align*}}$ を満たす実数ｋ2およびx2をｔを用いて表せ。
(3) ｎを自然数とする。(1)で求めたx1と(2)で求めたx2に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf B^n\begin{pmatrix}\sf x_1 &\sf x_2\\ \sf 1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
をｔとｎを用いて表せ。
(4) 自然数ｎに対して、Bnの(1，1)成分をbn(ｔ)とするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow 0}b_n(t)\end{align*}}$
をｎを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
Eを二次の単位行列とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{x_1}{1}=k_1\binom{x_1}{1}\ \ \Leftrightarrow \ \ A\binom{x_1}{1}=k_1E\binom{x_1}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow \ \ (A-k_1E)\binom{x_1}{1}=\binom{0}{0}\end{align*}}$ ･････①
ここで、行列A－ｋ1Eが逆行列をもつと仮定すると、
①の両辺に左から(A－ｋ1E)-1をかけたとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{1}=(A-k_1E)^{-1}\binom{0}{0}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
となり矛盾する。
よって、行列A－ｋ1Eは逆行列をもたないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det\ (A-k_1E)=det\ \begin{pmatrix} \sf 3-k_1&\sf 1\\ \sf -1 &\sf1-k_1\end{pmatrix} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(3-k_1)(1-k_1)-(-1)=0\end{align*}}$
これを解くと、
ｋ1=2
①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1&\sf 1\\ \sf -1 &\sf -1\end{pmatrix} \binom{x_1}{1}=\binom{x_1+1}{-x_1-1}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
これより、x1=－1
成分計算をしても同じ二次方程式が出てきます。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\binom{x_2}{1}=k_2\binom{x_2}{1}\ \ \Leftrightarrow \ \ (B-k_2E)\binom{x_2}{1}=\binom{0}{0}\end{align*}}$ ････②
(1)と同様に、B－ｋ2Eが逆行列をもたなければよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det\ (B-k_2E)=det\ \begin{pmatrix}\sf 3+t-k_2&\sf 1+t\\ \sf -1&\sf1-k_2\end{pmatrix} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(3+t-k_2)(1-k_2)-(-1-t)=0\end{align*}}$
これを解くと、
ｋ2=2、2+ｔ
ｋ2≠ｋ1なので、
ｋ2=2+ｔ
②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1+t\\ \sf -1&\sf -1-t\end{pmatrix} \binom{x_2}{1}=\binom{x_2+1+t}{-x_2-1-t}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
これより、x2=－1－ｔ
(3)
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^n\binom{x_2}{1}=B^{n-1}\times B\binom{x_2}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =B^{n-1} \times k_2\binom{x_2}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k_2B^{n-2} \times B\binom{x_2}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k_2B^{n-2} \times k_2\binom{x_2}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =k_2^{\ n}\ \binom{x_2}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{k_2^{\ n}\ x_2}{k_2^{\ n}}\end{align*}}$ ････③
一方、(2)でｋ2=2のとき、②式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1+t& \sf 1+t\\ \sf -1&-1\end{pmatrix} \binom{x_2}{1}=\binom{(1+t)(x_2+1)}{-x_2-1}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
となるので、
x2=－1
このとき、
ｋ2=ｋ1=2、x2=x1=－1
なので、③と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^n\binom{x_1}{1}=\binom{k_1^{\ n}\ x_1}{k_1^{\ n}}\end{align*}}$ ････④
③、④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^n\begin{pmatrix} \sf x_1 &\sf x_2\\ \sf 1 &\sf 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sf k_1^{\ n}\ x_1&\sf k_2^{\ n}\ x_2\\ \sf k_1^{\ n} &\sf k_2^{\ n}\end{pmatrix} =\underline{\begin{pmatrix}\sf -2^n &\sf -(1+t)(2+t)^n\\ \sf 2^n&\sf (2+t)^n\end{pmatrix} }\end{align*}}$ ････⑤
長くなってしまったので、続きは次の記事へ。
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- 2011/09/24(土) 23:54:00|
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第4問
行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 3 &1\\ -1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
とし、また行列Bを
$\small\sf{\begin{align*} \sf B=A+t\begin{pmatrix} \sf 1 &1\\ \sf 0 &0\end{pmatrix} \end{align*}}$
とする。ただし、ｔは0でない実数とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{x_1}{1}=k_1\binom{x_1}{1}\end{align*}}$ を満たす実数ｋ1およびx1の値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf B\binom{x_2}{1}=k_2\binom{x_2}{1}\end{align*}}$ を満たす実数ｋ2およびx2をｔを用いて表せ。
(3) ｎを自然数とする。(1)で求めたx1と(2)で求めたx2に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf B^n\begin{pmatrix}\sf x_1 &\sf x_2\\ \sf 1 &1\end{pmatrix} \end{align*}}$
をｔとｎを用いて表せ。
(4) 自然数ｎに対して、Bnの(1，1)成分をbn(ｔ)とするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow 0}b_n(t)\end{align*}}$
をｎを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)の解答
ｋ1=2 、x1=－1
(2)の解答
ｋ2=2+ｔ 、x2=－1－ｔ
(3)の解答
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^n\begin{pmatrix}\sf x_1 &\sf x_2\\ \sf 1 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -2^n&\sf -(1+t)(2+t)^n\\ \sf 2^n&\sf (2+t)^n\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････⑤
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C=\begin{pmatrix}\sf x_1&\sf x_2\\ \sf 1 &1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -1 &\sf -1-t\\ 1&1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、そのデターミナントは、
detC=－1－(－1－ｔ)=ｔ≠0．
よって、逆行列C-1が存在するので、⑤の両辺に右からC-1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^n=\begin{pmatrix} \sf -2^n&\sf -(1+t)(2+t)^n \\ \sf 2^n& \sf (2+t)^n \end{pmatrix}\times\frac{1}{t}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1+t \\ \sf -1& \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
(1，1)成分だけ計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n(t)=\frac{(t+1)(t+2)^n-2^n}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t(2+t)^n+(t+2)^n-2^n}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2+t)^n+\frac{(t+2)^n-2^n}{t}\end{align*}}$
ここで、ｔについての関数をｆ(ｔ)=(ｔ+2)nとおくと、
ｆ'(ｔ)=ｎ(ｔ+2)n-1
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow 0}\frac{(t+2)^n-2^n}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{(t+2)^n-(0+2)^n}{t-0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t)-f(0)}{t-0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f\ '\ (0)\end{align*}}$ (←微分係数の定義)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\cdot 2^{n-1}\end{align*}}$
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow 0}(2+t)^n=2^n\end{align*}}$
だから、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n(t)=n\cdot 2^{n-1}+2^n=\underline{(n+2)2^{n-1}\ \ }\end{align*}}$
1つ目の極限は 、微分係数の定義を用いて求めていますが、
思いつかなくても二項定理を用いて展開してしまえばOKでしょう。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \ \sf \lim_{t\rightarrow 0}\frac{(t+2)^n-2^n}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \ =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{_nC_1t^n+_nC_2\cdot 2\cdot t^{n-1}+ \ldots \ldots +_nC_{n-2}\cdot 2^{n-2}\cdot t^2+_nC_{n-1}\cdot 2^{n-1}\cdot t+_nC_{n}\cdot 2^n-2^n}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \ \sf =\lim_{t\rightarrow 0}\frac{_nC_1t^n+_nC_2\cdot 2\cdot t^{n-1}+ \ldots \ldots +_nC_{n-2}\cdot 2^{n-2}\cdot t^2+_nC_{n-1}\cdot 2^{n-1}\cdot t}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \ \sf =\lim_{t\rightarrow 0}\left(_nC_1t^{n-1}+_nC_2\cdot 2\cdot t^{n-2}+ \ldots \ldots +_nC_{n-2}\cdot 2^{n-2}\cdot t+_nC_{n-1}\cdot 2^{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \ \sf =\ _nC_{n-1} \cdot 2^{n-1} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \ \sf =\ n \cdot 2^{n-1} \end{align*}}$
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- 2011/09/24(土) 23:57:59|
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第5問
関数ｆ(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{\ ax}\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
と定める。ただし、ｅは自然定数の底とし、aは実数とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 0≦x≦$\small\sf{\pi}$ を満たす実数xに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf I(x)=\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
を求めよ。
(2) 関数ｆ(x)が区間0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ において極大値をもつような
aの値の範囲を求めよ。
(3) 関数ｆ(x)が2つの区間0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\pi}$ のどちらの
区間においても極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
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- 2011/09/25(日) 23:54:00|
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第5問
関数ｆ(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=e^{\ ax}\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
と定める。ただし、ｅは自然定数の底とし、aは実数とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 0≦x≦$\small\sf{\pi}$ を満たす実数xに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf I(x)=\int_0^x \left|\ \cos (x-t)\ \right|\ dt\end{align*}}$
を求めよ。
(2) 関数ｆ(x)が区間0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ において極大値をもつような
aの値の範囲を求めよ。
(3) 関数ｆ(x)が2つの区間0≦x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\pi}$ のどちらの
区間においても極大値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)の結論
0≦x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のとき、Ｉ(x)=sinx
$\scriptsize\sf{\pi}$ /2≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、Ｉ(x)=2－sinx
(2)の結論
a＜0
(3)
閉区間の端点で極大値をとることはないので、以下は
開区間$\scriptsize\sf{\pi}$ /2＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ････②を考える。
まず、(1)より、
ｆ(x)=ｅax Ｉ(x)=ｅax (2－sinx)
これをxで微分する。
ｆ’(x)=aｅax (2－sinx)+ｅax (－cosx)
=ｅax {a(2－sinx)－cosx}
ｆ(x)が②の範囲に極大値をもつためには、
ｆ’(x)=0となるxが②の範囲に存在する必要がある。
ｅax ≠0なので、
ｆ'(x)=0 ⇔ a(2－sinx)－cosx=0
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\cos x}{2-\sin x}\end{align*}}$ (分母≠0).
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{\cos x}{2-\sin x}\ \ \left(\frac{\pi}{2}< x<\pi\right)\end{align*}}$ .
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ '\ (x)=\frac{-\sin x\ (2-\sin x)-\cos x\ (-\cos x)}{(2-\sin x)^2}=\frac{1-2\sin x}{(2-\sin x)^2}\end{align*}}$
なので、②の範囲でｈ(x)の増減表とグラフを書くと、下の通り。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}< a<0\end{align*}}$ のとき
y=ｈ(x)とy=aのグラフはただ1つの共有点をもち、
そのx座標を$\scriptsize\sf{\beta}$ とすると、ｅax ＞0なので、
$\scriptsize\sf{\pi/2\lt x\lt\beta}$ の範囲では
a＜ｈ(x) ⇔ a(2－sinx)－cosx＜0
⇔ ｆ’(x)＜0
$\scriptsize\sf{\beta\lt x\lt \pi}$ の範囲では
a＞ｈ(x) ⇔ a(2－sinx)－cosx＞0
⇔ ｆ’(x)＞0
これらより、ｆ(x)の増減表は下の通り。
| x | $\scriptsize\sf{\pi}$ /2 | ･･･ | $\scriptsize\sf{\beta}$ | ･･･ | $\scriptsize\sf{\pi}$ |
| ｆ’(x) | | － | 0 | + | |
| ｆ(x) | | ↘ | 極小 | ↗ | |
このとき、ｆ(x)は②の範囲に極大値をもたないので不適。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\sqrt3}{3}< a<-\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
y=ｈ(x)とy=aのグラフは2の共有点をもち、
そのx座標を$\scriptsize\sf{\beta\ ,\ \gamma\ \ \ (\beta\lt\gamma)}$ とすると、
ｅax ＞0なので、
$\scriptsize\sf{\pi/2\lt x\lt\beta}$ の範囲では
a＜ｈ(x) ⇔ a(2－sinx)－cosx＜0
⇔ ｆ’(x)＜0
$\scriptsize\sf{\beta\lt x\lt\gamma}$ の範囲では
a＞ｈ(x) ⇔ a(2－sinx)－cosx＞0
⇔ ｆ’(x)＞0
$\scriptsize\sf{\gamma\lt x\lt\pi}$ の範囲では
a＜ｈ(x) ⇔ a(2－sinx)－cosx＜0
⇔ ｆ’(x)＜0
これらより、ｆ(x)の増減表は下の通り。
| x | $\scriptsize\sf{\pi}$ /2 | ･･･ | $\scriptsize\sf{\beta}$ | ･･･ | γ | ･･･ | $\scriptsize\sf{\pi}$ |
| ｆ’(x) | | － | 0 | + | 0 | － | |
| ｆ(x) | | ↘ | 極小 | ↗ | 極大 | ↘ | |
このとき、ｆ(x)は②の範囲に極大値をもつので題意を満たす。
(ⅲ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$ のとき
y=ｈ(x)とy=aのグラフは、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=\frac{5\pi}{6}\end{align*}}$
でただ1つの共有点をもつ。
グラフより、$\scriptsize\sf{\pi/2\lt x\lt\pi}$ の範囲において、
a≦ｈ(x) ⇔ a(2－sinx)－cosx≦0
⇔ ｆ’(x)≦0
これより、ｆ(x)の増減表は下の通り。
| x | $\scriptsize\sf{\pi}$ /2 | ･･･ | 5$\scriptsize\sf{\pi}$ /6 | ･･･ | $\scriptsize\sf{\pi}$ |
| ｆ’(x) | | － | 0 | － | |
| ｆ(x) | | ↘ | | ↘ | |
このとき、ｆ(x)は②の範囲に極大値をもたないので不適。
(ⅰ)～(ⅲ)より、題意を満たすaの範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \underline{-\frac{\sqrt3}{3}< a<-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
これまた長くなってしまいました。今年の府大は、易しすぎる1～3と
難しい4，5とのギャップが大きいですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/09/25(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2011（工）
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