はじめまして。
奈良県橿原市にある青木ゼミという個別指導塾で塾長をしております青木です。
今日からブログを始めることにしました。
どれくらいの頻度で更新できるか分かりませんが、頑張ってみますのでよろしくお願いします。
↓これが塾のホームページです。
http://www.aozemi.com/
- 2011/07/01(金) 01:42:16|
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先ほど、ブログの引っ越しが完了しました。
初心者でも使いやすいということでアメブロを始めたのですが、
どうにも使い勝手が悪くて、10日ほどでイヤになってしまいました。
スクリプトが使えないというのは致命的ですね。
初めて知ったのですが、ブログを乗り換えるツールなんていうものがあるんですね。
これは楽ちんです。ＩＤとパスワードを入れるだけで、自動的にブログを丸ごと移動してくれました。
もちろん、画像も。
こっちのＦＣ２ブログは色々な設定ができるみたいなので、面白そうなのですが、
なにぶん初心者なのでどこまでできることやら……
当分の間は、数学の記事どころではないかもしれませんが、こちらでもどうぞよろしくお願いします。
- 2011/07/14(木) 03:13:12|
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第６問
aを実数でない複素数とし、bを正の実数とする。以下の問いに
答えよ。ただし、複素数ｗに対しその共役複素数をwで表す。
(１) 複素数平面上で、関係式az＋az＝|z|2を満たす複素数zの
動く図形をCとする。このとき、Cは原点を通る円であることを
示せ。
(２) 複素数平面上で、(z－a)(b－a)が純虚数となる複素数zの
描く図形をLとする。Lは(１)で定めたCと2つの共有点をもつこ
とを示せ。また、その2点をP、Qとするとき、線分PQの長さを
aとaを用いて表せ。
(３) bの表す複素数平面上の点をRとする。(２)で定めた点P、Qと
点Rを頂点とする三角形が正三角形であるとき、bをaとaを用
いて表せ。
(注）問題の表記を一部変更しています。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
複素数zおよびaの表す点をそれぞれZ、Aとする。
(１)
与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\ \overline{z}+\overline{a}\ z=|z|^2=z\ \overline{z}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\ \overline{z}-a\ \overline{z}-\overline{a}\ z=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(z-a\right)\left(\overline{z}-\overline{a}\right)=a\ \overline{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|z-a\right|^2=\left|a\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|z-a\right|=\left|a\right|\ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ZA=OA\end{align*}}$
点ZはAを中心とする半径OAの円周上を動く。
よって、図形Cは原点を通る円である。
(２)
(z－a)(b－a)が純虚数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overline{\left(z-a\right)\left(b-\overline{a}\right)}=-\left(z-a\right)\left(b-\overline{a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\overline{z-a}\right)\left(b-a\right)=-\left(z-a\right)\left(b-\overline{a}\right)\end{align*}}$ ←bは実数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\overline{z-a}}{b-\overline{a}}=-\frac{z-a}{b-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overline{\left(\frac{z-a}{b-a}\right)}=-\frac{z-a}{b-a}\end{align*}}$ ．
これより、 複素数 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z-a}{b-a}\end{align*}}$ は純虚数になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf arg\ \frac{z-a}{b-a}=\pm\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \angle RAZ=\pm\frac{\pi}{2}\end{align*}}$．
よって、Lは点Aを通り、ARに垂直な直線となるので、
円Cとは2点を共有する。
このとき、P、Qは円Cの直径の両端になるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=2OA=2\left|a\right|=\underline{\ 2\sqrt{a\ \overline{a}}\ }\end{align*}}$
(３)
△PQRが正三角形になるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AR=\frac{\sqrt3}{2}\ PQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|b-a\right|=\sqrt3\ \left|a\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|b-a\right|^2=3\ \left|a\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(b-a\right)\left(b-\overline{a}\right)=3\ a\ \overline{a}\end{align*}}$ ←bは実数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2-\left(a+\overline{a}\right)b-2a\ \overline{a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\underline{\ \frac{a+\overline{a}+\sqrt{\left(a+\overline{a}\right)^2+8a\ \overline{a}}}{2}\ \left(>0\right)}\ \ \ \left(\because\ 8a\ \overline{a}=8\left|a\right|^2>0\right)\end{align*}}$
(２)までは、成分計算でやっても、そこまで大変じゃないです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/06(火) 01:12:00|
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