青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の公立大学　.和歌山県立医大　2012

2012和歌山県立医大　数学１

第１問

　　関数
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\cos\frac{x^3-2x^2-4x+5}{3}\end{align*}}$
　　の－1≦x≦3における増減表をつくり、最大値と最小値、
　　およびそれらをとるxの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　xについての関数g(x)を
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=\frac{x^3-2x^2-4x+5}{3}\ \ \ (-1\leqq x\leqq 3)\end{align*}}$
　　　とおくと、導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(x)=\frac{3x^2-4x-4}{3}=\frac{(3x+2)(x-2)}{3}\end{align*}}$
　　　となるので、g(x)の増減は次のようになる。

　　　　　

　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -1\leqq g\ (x)\leqq \frac{175}{81}\end{align*}}$　････①
　　　であり、y＝g(x)のグラフは右図のようになる。
　　　また、y＝g(x)とx軸の交点のx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=\frac{x^3-2x^2-4x+5}{3}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-1)(x^2-x-5)=0\end{align*}}$
　　　より、－1≦x≦3なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x=1\ ,\ \frac{1+\sqrt{21}}{2}\ \ \ \left(\because 4<\sqrt{21}<5\right)\end{align*}}$　･･･②

　　　一方、f(x)は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\cos g(x)\end{align*}}$
　　　と表されるので、導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-\left\{\sin g(x)\right\}\cdot g\ '(x)\end{align*}}$
　　　となり、これが0になるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin g(x)=0\end{align*}}$　････③　または $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ '(x)=0\end{align*}}$　
　　　のときである。
　　　ここで、①および、3＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜4より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\pi<-1\leqq g\ (x)\leqq \frac{175}{81}<\pi\end{align*}}$
　　　となるので、③を満たすのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\ ,\ \frac{1+\sqrt{21}}{2}\end{align*}}$　←②より
　　　のときである。
　　　よって、y＝g(x)のグラフから考えると、
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin g(x)\end{align*}}$ の符号は次のようになる。　
　　　　

　　　これとg’(x)の符号から考えると、f(x)の増減は次のようになる。

　　

　　　cos2＜１なので、f(x)の最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ f\ (x)_{max}=1\ \ \ \ \left(x=1\ ,\ \frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)\ }\end{align*}}$ ．
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<\frac{2}{3}<1<\frac{175}{81}<\pi\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1>\cos\frac{2}{3}>\cos 1>\cos\frac{175}{81}>-1\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ f\ (x)_{min}=\cos\frac{175}{81}\ \ \ \ \left(x=-\frac{2}{3}\right)\ }\end{align*}}$ ．

　　細かいところまで注意が必要ですね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/10/05(金) 03:01:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.和歌山県立医大　2012

| トラックバック:0

| コメント:0

2012和歌山県立医大　数学２

第２問

　　区間[－1，1]で、曲線y＝|x|e^|x|と直線L：y＝a （0≦a≦e）の
　　間にある部分の面積をSとする。

　(１) 曲線y＝xe^x （x≧0）とLの交点のx座標をtとし、Sをtの式で表せ。

　(２) Sの最大値と最小値、およびそれらをとるaの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　F(x)＝|x|e^|x|　（－1≦x≦1）とおくと、
　　　　　　　　F(－x)＝F(x)
　　　となるので、
　　　曲線y＝F(x)のグラフはy軸について対称である。

　　　また、f(x)＝xe^x　（x≧0）とおくと、
　　　　　　　　f’(x)＝e^x＋xe^x＞0
　　　となるので、f(x)は単調に増加する。
　　　これらとf(0)＝0を考慮に入れて
　　　y＝F(x)およびLのグラフを描くと
　　　右図のようになる。
　　　よって、
　　　y＝F(x)とLの間にある部分の面積Sは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=2\int_0^t\left(a-xe^x\right)dx+s\int_t^1\left(xe^x-a\right)dx\end{align*}}$
　　　として求めることができる。
　　　部分積分法を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int xe^x\ dx=e^x-\int e^x\ dx=(x-1)e^x+C\end{align*}}$　（C：積分定数）
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=2\bigg[ax-(x-1)e^x\bigg]_0^t+2\bigg[(x-1)e^x-ax\bigg]_t^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4at-4(t-1)e^t-2a-1\end{align*}}$ ．
　　　題意より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=te^t\end{align*}}$
　　　なので、Sに代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=4t^2e^t-4(t-1)e^t-2te^t-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ 2\left(2t^2-3t+2\right)e^t-1\ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　(１)で求めたSをtで微分すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S'=2\left(4t-3\right)e^t+2\left(2t^2-3t+2\right)e^t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2(2t^2+t-1)e^t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2(2t-1)(t+1)e^t\end{align*}}$
　　　となるので、0≦t≦1の範囲でSの増減は次のようになる。
　　　　　

　　　これより、Sの最小値および最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_{max}=2e-1\ \ \ \ \left(t=1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{S_{min}=2\sqrt{e}-1\ \ \ \ \left(t=\frac{1}{2}\right)\ }\end{align*}}$

　　問題の表記があやふやなので、どの部分の面積か分かりにくいですね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/10/05(金) 03:02:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.和歌山県立医大　2012

| トラックバック:0

| コメント:0

2012和歌山県立医大　数学３

第３問

　　AとBの2人が袋の中から玉を1つずつ交互に取り出すゲームを考える。
　　最初に玉を取り出すのはAで、またAとBはともに取り出した玉を袋に
　　戻さない。

　(１) 初め袋の中には白玉が(2n－2)個（n≧1）、赤玉が2個入っている
　　　とする。2つ目の赤玉を取り出した方を勝ちとして終了するとき、Aが
　　　勝つ確率を求めよ。

　(２) 初め袋の中には白玉が(2n－3)個（n≧1）、赤玉が2個、黒玉が1個
　　　入っているとする。次の(ａ)、(ｂ)に従って勝敗を決めるとき、Ａが勝つ
　　　確率を求めよ。
　　　　(ａ) 一方が黒玉を取り出したときは、他方を勝ちとする。
　　　　(ｂ) 一方が2つ目の赤玉を取り出したときは、その者を勝ちとして
　　　　　　終了する。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　Aが2k＋1回目（k＝1，･･･，n－1）に2つ目の赤玉を取り出すとき。

　　　　　　　　
　　　1～2k回目に白玉2k－1個、赤玉1個が取り出されればよいので、　
　　　その確率p_kは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p_k=\frac{_{2n-2}C_{2k-1}\cdot _2C_1}{_{2n}C_{2k}}\cdot\frac{1}{2n-2k}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(2k)!\ (2n-2k)!}{(2n)!}\cdot\frac{(2n-2)!\cdot 2}{(2k-1)!\ (2n-2k-1)!}\cdot\frac{1}{2n-2k}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2k}{n(2n-1)}\end{align*}}$ ．
　　　kは1～n－1の値をとるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\ p_k=\frac{2}{n(2n-1)}\sum_{k=1}^{n-1}\ k\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{n(2n-1)}\cdot\frac{1}{2}n(n-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{n-1}{2n-1}\ }\end{align*}}$ .

　(２)
　　　Aが勝つのは、
　　　　　　(ⅰ)黒玉が出る前に、Aが2つ目の赤玉を取り出す
　　　　　　(ⅱ)赤玉が出る前に、Bが黒玉を取り出す
　　　　　　(ⅲ)赤玉が1つだけ出た後に、Bが黒玉を取り出す
　　　の3つのパターンがある。

　　　(ⅰ)の場合
　　　　　　　　
　　　　Aが2k＋1回目（k＝1，･･･，n－1）に2つ目の赤玉を
　　　　取り出すとき、1～2k回目に白玉2k－1個、赤玉1個が
　　　　取り出されればよいので、その確率q_kは、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf q_k=\frac{_{2n-3}C_{2k-1}\cdot _2C_1}{_{2n}C_{2k}}\cdot\frac{1}{2n-2k}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(2k)!\ (2n-2k)!}{(2n)!}\cdot\frac{(2n-3)!\cdot 2}{(2k-1)!\ (2n-2k-2)!}\cdot\frac{1}{2n-2k}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{k(2n-2k-1)}{n(n-1)(2n-1)}\end{align*}}$ ．

　　　(ⅱ)の場合
　　　　　　　　
　　　　Bが2k回目（k＝1，･･･，n－1）に黒玉を取り出すとき、
　　　　1～2k－1回目に白玉2k－1個が取り出されればよいので、
　　　　その確率r_kは、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf r_k=\frac{_{2n-3}C_{2k-1}}{_{2n}C_{2k-1}}\cdot\frac{1}{2n-2k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(2k-1)!\ (2n-2k+1)!}{(2n)!}\cdot\frac{(2n-3)!}{(2k-1)!\ (2n-2k-2)!}\cdot\frac{1}{2n-2k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(n-k)(2n-2k-1)}{2n(n-1)(2n-1)}\end{align*}}$ ．

　　　(ⅲ)の場合
　　　　　　　　
　　　　Bが2k回目（k＝1，･･･，n－1）に黒玉を取り出すとき、
　　　　1～2k－1回目に白玉2k－2個、赤玉1個が取り出されれば
　　　　よいので、その確率s_kは、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf s_k=\frac{_{2n-3}C_{2k-2\cdot _2C_1}}{_{2n}C_{2k-1}}\cdot\frac{1}{2n-2k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(2k-1)!\ (2n-2k+1)!}{(2n)!}\cdot\frac{2(2n-3)!}{(2k-2)!\ (2n-2k-1)!}\cdot\frac{1}{2n-2k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(n-k)(2k-1)}{n(n-1)(2n-1)}\end{align*}}$ ．

　　　q_k、r_k、k_kともkは1～n－1の値をとるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=1}^{n-1}\left(q_k+r_k+s_k\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2k(2n-2k-1)+(n-k)(2n-2k-1)+2(n-k)(2k-1)}{2n(n-1)(2n-1)}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=1}^{n-1}\frac{-6k^2+(4n+1)k+n(2n-3)}{2n(n-1)(2n-1)}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{-n(n-1)(2n-1)+\frac{1}{2}n(n-1)(4n+1)+n(n-1)(2n-3)}{2n(n-1)(2n-1)}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{4n-3}{4(2n-1)}\ }\end{align*}}$ ．

　　考え方はそれほど難しくはないと思いますが、計算が煩雑ですねぇ・・・
　　Bが2n回目に黒玉を取り出して終了する場合はないことに注意です。
　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/10/05(金) 03:03:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.和歌山県立医大　2012

| トラックバック:0

| コメント:0

2012和歌山県立医大　数学４

第４問

　　自然数の列{a_n}、{b_n}を
　　　　　a₁＝2、 b₁＝5
　　　　　a_n+1＝a_n²＋b_n²、 b_n+1＝2a_nb_n　（n＝1，2，3，･･･）
　　で定める。このとき、すべての自然数nに対して、a_nとb_nの最大公約数
　　は1であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　n≧2のnに対して、
　　　　　　　　「a_nは奇数、b_nは偶数である」････(※)
　　　ことを、数学的帰納法で示す。
　　　(ⅰ) n＝2のとき
　　　　　　　　a₂＝2²＋5²＝29、　b₂＝2･2･5＝20
　　　　　となるのでOK
　　　(ⅱ) n＝kのとき(※)を満たすと仮定すると、
　　　　　　　　a_k＝2L－1、b_k＝2M　（L、M：自然数）
　　　　　と表すことができる。
　　　　　このとき、
　　　　　　　　a_k+1＝(2L－1)²＋(2M)²＝2(2L²－2L＋2M²)＋1
　　　　　　　　b_k+1＝2(2L－1)(2M)
　　　　　よって、n＝k＋1のときも(※)を満たすので、
　　　　　n≧2である任意のnに対して(※)は成り立つ。

　　　次に、任意の自然数に対して
　　　　　　　　「a_nとb_nの最大公約数は1である」････(＃)
　　　ことを、数学的帰納法で示す。
　　　(Ⅰ) n＝1のときは自明
　　　(Ⅱ) n＝kのとき(※)を満たすと仮定する。
　　　　　a_k+1とb_k+1が、共通の素因数pをもつと仮定すると、
　　　　　　　　a_k+1＝pA、　b_k+1＝pB
　　　　　と表すことができる(A、Bは自然数)。
　　　　　ここで(※)より、a_k+1は奇数なので、p≠2である。
　　　　　題意より、
　　　　　　　　　　　a_k+1＋b_k+1＝a_k²＋b_k²＋2a_kb_k
　　　　　　　　　⇔　p(A＋B)＝(a_k＋b_k)²
　　　　　となり、(a_k＋b_k)²はpを素因数にもつ。
　　　　　よって、a_k＋b_kもpを素因数にもつことになり、
　　　　　　　　　a_k＋b_k＝pC　････①
　　　　　と表すことができる（C：自然数）。　
　　　　　同様に考えると、
　　　　　　　　　　　a_k+1－b_k+1＝a_k²＋b_k²－2a_kb_k
　　　　　　　　　⇔　p(A－B)＝(a_k－b_k)²
　　　　　となるので、
　　　　　　　　　a_k－b_k＝pD　････②
　　　　　と表すことができる（D：整数）。　
　　　　　①＋②および①－②を計算すると、
　　　　　　　　　　　2a_k＝p(C＋D)
　　　　　　　　　　　2b_k＝p(C－D)
　　　　　となり、p≠2なので、a_k、b_kともにpを素因数にもつ。
　　　　　これは、n＝kのときに(＃)が成り立つことに矛盾する。
　　　　　よって、n＝k＋1のときも、1以外の公約数を持たないので、
　　　　　(＃)を満たすことになる。

　　　以上より、任意の自然数に対して(＃)が成り立ち、題意は示された。

　　前半の証明は、もう少し簡略してもいいと思います。
　　互いに素であることの証明は、(Ⅱ)のように背理法を用いると
　　書きやすくなります。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/10/05(金) 03:04:00|

大学入試(数学)　.関西の公立大学　.和歌山県立医大　2012

| トラックバック:0

| コメント:0