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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013関西大 理系数学(2月5日) 1



第1問

  aを実数の定数とする。関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\sqrt{x}+\frac{a}{\sqrt x}\ \ \ (1\leqq x\leqq 4 )\end{align*}}$
  があり、f’(2)=0である。また、曲線y=f(x)上に2点A(1,f(1))、
  B(4,f(4))をとる。次の問いに答えよ。

 (1) aの値を求めよ。

 (2) f(x)の増減表を書き、極値を求めよ。

 (3) 曲線y=f(x)の概形を解答欄の座標平面上にかけ。
    ただし、そのグラフには2点A、Bの座標や極値を記入すること。

 (4) 座標平面上の原点をOとする。曲線y=f(x)と直線x=4、x軸、
    および線分OAで囲まれた図形の面積を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/28(水) 02:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2013(2/5)
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2013関西大 理系数学(2月5日) 2



第2問

  △ABCがあり、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=-2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}=-3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-4\end{align*}}$図16
  である。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
  とおく。次の    を数値でうめよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\end{align*}}$  ①  、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|^2=\end{align*}}$  ②  、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2=\end{align*}}$  ③  である。

 (2) p、qを実数の定数とする。△ABCの外心をOとし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AO}=p\overrightarrow{\sf b}+q\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    とおく。辺ABの中点をMとすると、OM⊥AMであることから
         ④  p+4q=3
    である。
    さらに、辺ACの中点をNとし、ONとANの関係を考えることにより
        p= ⑤  、 q= ⑥ 
    と求められる。

 (3) 辺ABを直径とする円と辺ACとの交点のうちAでない方をD、辺BCと
    の交点のうちBでない方をEとすると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=\end{align*}}$  ⑦  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}=\end{align*}}$  ⑧  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}+\end{align*}}$  ⑨  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    である。また、BDとAEの交点をHとすると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=\end{align*}}$  ⑩  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}+\end{align*}}$  ⑪  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    である。



2013関西大 理系数学(2月5日) 3



第3問

  a、bを実数の定数とする。Oを原点とする座標平面上に、2点A(a,0)、
  B(0,b)があり、線分ABを1:3に内分する点をP(x,y)とする。2点A、
  Bが、AB=4を満たしながら動くときの点Pの描く軌跡は楕円である。
  この楕円をCとし、楕円Cの2つの焦点をF、F’とする。ただし、焦点Fの
  x座標を正とする。次の    をうめよ。

 (1) 楕円Cの方程式は
         図19
    である.

 (2) 焦点F、F’の座標はそれぞれ( ③ ,0)、(- ③ ,0)であり、
         PF+PF’= ④ 
    である。

 (3) OP=kとすると、PF2+PF’2とPF・PF’はそれぞれkを用いて
         PF2+PF’2= ⑤  、 PF・PF’= ⑥ 
    と表すことができる。
    よって、∠FPF’=$\small\sf{\alpha\ \ (0\leqq\alpha\lt\pi)}$ とすると、$\small\sf{\cos\alpha}$ はkを用いて
          図20
    と表されるので、cos$\small\sf{\alpha}$ のとりうる値の範囲は ⑧  である.

 (4) 直線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3\sqrt3}\ x\end{align*}}$ と楕円Cの2つの交点のx座標は ⑨  である。また、
    楕円Cのx≧0、y≧0の部分と直線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3\sqrt3}\ x\end{align*}}$ 、およびx軸で囲まれた
    図形の面積は ⑩  である。




2013関西大 理系数学(2月5日) 4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 1個のさいころを2回投げたとき、出た目を順にa、bとする。
    P=(a-2)(b-2)とするとき、P=0となる確率は ①  であり、
    P>0となる確率は ②  である。また、P>2となる確率は ③ 
    である.

 (2) 数列{an}は
      a1=-1 、3an+1=2an-2
    を満たしている。数列{an}の一般項は an= ④  である。

 (3) cを実数の定数、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}<\alpha <\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ -\frac{\pi}{2}<\beta <\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
    とし、2次方程式 x2-4cx+1-3c=0 は異なる2つの実数解
    tan$\small\sf{\alpha}$ 、tan$\small\sf{\beta}$ をもつとする。このとき、cの値の範囲は ⑤  であり、
    tan($\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ ) の値は ⑥  である。

 (4) aを実数の定数とする。2つの2次不等式
       x2-x-6≦0 ……(A)
       x2-(2a-3)x+a2-3a-10≦0 ……(B)
    がある。不等式(A)を満たすすべてのxが不等式(B)を満たすようなaの
    値の範囲は ⑦  であり、不等式(A)と不等式(B)を同時に満たすxが
    存在するようなaの値の範囲は ⑧  である。

 (5) kを実数の定数、$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{x}{y}=k\binom{x}{y}\end{align*}}$
    を満たすx=y=0以外の実数x、yが存在するようなkの値は ⑨ 
    ある。また、Aが表す1次変換によって平面上の2点(m,n)、(n,m)が
    移された点と原点(0,0)の3点を頂点とする三角形の面積が16になる
    ような正の整数m、nの組は(m,n)= ⑩  である。ただし、m>nと
    する。