第4問
次の をうめよ。
(1) 1個のさいころを2回投げたとき、出た目を順にa、bとする。
P=(a－2)(b－2)とするとき、P=0となる確率は ① であり、
P＞0となる確率は ② である。また、P＞2となる確率は ③
である．
(2) 数列{an}は
a1=－1 、3an+1=2an－2
を満たしている。数列{an}の一般項は an= ④ である。
(3) cを実数の定数、
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}<\alpha <\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ -\frac{\pi}{2}<\beta <\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
とし、2次方程式 x2－4cx+1－3c=0 は異なる2つの実数解
tan$\small\sf{\alpha}$ 、tan$\small\sf{\beta}$ をもつとする。このとき、cの値の範囲は ⑤ であり、
tan($\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ ) の値は ⑥ である。
(4) aを実数の定数とする。2つの2次不等式
x2－x－6≦0 ……(A)
x2－(2a－3)x+a2－3a－10≦0 ……(B)
がある。不等式(A)を満たすすべてのxが不等式(B)を満たすようなaの
値の範囲は ⑦ であり、不等式(A)と不等式(B)を同時に満たすxが
存在するようなaの値の範囲は ⑧ である。
(5) kを実数の定数、$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\binom{x}{y}=k\binom{x}{y}\end{align*}}$
を満たすx=y=0以外の実数x、yが存在するようなkの値は ⑨ で
ある。また、Aが表す1次変換によって平面上の2点(m，n)、(n，m)が
移された点と原点(0，0)の3点を頂点とする三角形の面積が16になる
ような正の整数m、nの組は(m，n)= ⑩ である。ただし、m＞nと
する。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{36}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{17}{36}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{13}{36}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-2\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c<-1\ ,\ \frac{1}{4}\lt c\end{align*}}$
⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ ⑦ 1≦a≦3 ⑧ －4≦a≦8 ⑨ －1，4
⑩ (3，1)
【解説】
(1)
P=(a－2)(b－2)の値は右表のようになるので、
P=0、P＞0、P＞2になる確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{11}{36}\ \ ,\ \ \frac{17}{36}\ \ ,\ \ \frac{13}{36}\ }\end{align*}}$
(2)
特性方程式3t=2t－2の解はt=－2なので、
与えられた漸化式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}+2=\frac{2}{3}\left(a_n+2\right)\end{align*}}$
と変形できる。
数列{an+2}は等比数列となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+2=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(a_1+2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\ \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-2\ }\end{align*}}$
(3)
x2－4cx+1－3c=0の判別式Dを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=4c^2-\left(1-3c\right)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ c<-1\ \ ,\ \ \frac{1}{4}\lt c\ }\end{align*}}$ ．
また、解と係数の関係より、
tan$\scriptsize\sf{\alpha}$ +tan$\scriptsize\sf{\beta}$ =4c
tan$\scriptsize\sf{\alpha}$ tan$\scriptsize\sf{\beta}$ =1－3c
なので、tanの加法定理を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\left(\alpha +\beta\right)=\frac{4c}{1-(1-3c)}=\underline{\ \frac{4}{3}\ }\end{align*}}$
(4)
(A)は
(x－3)(x+2)≦0 ⇔ －2≦x≦3
(B)は
x2－(2a－3)x+(a－5)(a+2)
={x－(a－5)}{x－(a+2)}≦0 ⇔ a－5≦x≦a+2
(A)を満たす全てのxが(B)を満たすのは、
a－5≦－2 かつ 3≦a+2
すなわち、1≦a≦3 のときである。
である。
また、(A)、(B)を同時に満たすxが存在しないのは
3＜a－5 または －2＜a+2．
すなわち、8＜a または－4＜aのときである。
よって、(A)、(B)を同時に満たすxが存在するのは
－4≦a≦8
のときである。
(5)
与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A-kE\right)\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf 3-k&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -k \end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{0}{0}\end{align*}}$
と変形できるので、x=y=0以外の実数がこれを満たすためには、
行列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 3-k&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -k \end{pmatrix}\end{align*}}$ が逆行列を持たなければよい。
よって、デターミナントを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf det\begin{pmatrix} \sf 3-k&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -k \end{pmatrix}=-k(3-k)-4=k^2-3k-4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k=-1\ \ ,\ \ 4\ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 3-k&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -k \end{pmatrix}\binom{m}{n}=\binom{3m+2n}{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 3-k&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf -k \end{pmatrix}\binom{n}{m}=\binom{3n+2m}{2n}\end{align*}}$
なので、3点(0，0)、(3m+2n，2m)、(3n+2m，2n)を頂点とする
三角形の面積が16になるには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\bigg|2n\left(3m+2n\right)-2m\left(3n+2m\right)\bigg|=16\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \bigg|4\left(m^2-n^2\right)\bigg|=32\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(m+n\right)\left(m-n\right)=8\end{align*}}$
m、nは正の整数なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(m+n\ ,\ m-n\right)=\left(8\ ,\ 1\right)\ ,\ \left(4\ ,\ 2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(m\ ,n \right)=\left(\frac{9}{2}\ ,\ \frac{7}{2}\right)\ ,\ \underline{\ \left(3\ ,\ 1\right)\ }\end{align*}}$ ←前者は不適
一つ一つ丁寧に解いていきましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/28(水) 02:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2013（2/5）
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