第3問
aを正の定数とする。自然数nに対して、座標平面上の点An、Bn
を以下の(ⅰ)～(ⅳ)を満たず用に定める。
(ⅰ) A1の座標は(a，0)である。
(ⅱ) AnとBnのx座標は等しい。
(ⅲ) Bnは双曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ 上の点である。
(ⅳ) An+1は $\small\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ のBnにおける接線とx軸の交点である。
次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ のB1における接線の方程式を求めよ。
(2) An、Bnの座標を求めよ。
(3) △AnBnAn+1をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をVn
とおく。Vnを求めよ。
(4) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ V_n\end{align*}}$ の和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=-\frac{1}{x^2}\end{align*}}$ ．
また、条件(ⅰ)、(ⅱ)よりB1の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_1\left(a\ ,\ \frac{1}{a}\right)\end{align*}}$
となるので、B1における接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^2}(x-a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{a^2}\ x+\frac{2}{a}\ }\end{align*}}$
(2)
Anの座標を(an，0)とおくと、Bnの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_n\left(a_n\ ,\ \frac{1}{a_n}\right)\end{align*}}$
となるので、
Bnにおける接線Lnは、(1)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_n: \ y=-\frac{1}{a_n^{\ 2}}\ x+\frac{2}{a_n}\end{align*}}$
となり、これが点An+1(an+1，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{a_n^{\ 2}}\ a_{n+1}+\frac{2}{a_n}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}=2a_n\end{align*}}$ ．
数列{an}は、初項a、公比2の等比数列となるので、
an=a･2n-1
であり、An、Bnの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A_n\left(a\cdot 2^{n-1}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ B_n\left(a\cdot 2^{n-1}\ ,\ \frac{1}{a\cdot 2^{n-1}}\right)\ }\end{align*}}$
(3)
求める回転体は、底面の半径がAnBn、高さがAnAn+1の
円錐であり、An+1の座標は(a･2n，0)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_n=\frac{\pi}{3}\cdot\left(\frac{1}{a\cdot2^{n-1}}\right)\cdot\left(a\cdot2^{n}-a\cdot2^{n-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi a\cdot2^{n-1}}{3a^2\cdot 2^{2(n-1)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi }{3a\cdot 2^{n-1}}\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ V_n=\frac{\pi }{3a}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi }{3a}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\pi }{3a}\ }\end{align*}}$
(2)では漸化式を作りましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/28(水) 01:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2013（2/2）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
次の をうめよ。
(1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \log_2(x-1)+\log_{\frac{1}{2}}(2-x)<0\end{align*}}$ を解くと、 ① となる。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\theta}{4}<\theta<\frac{\theta}{2}\end{align*}}$ の範囲で定義された関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\tan\theta+\frac{1}{\tan 2\theta}\end{align*}}$ は
tan$\small\sf{\theta}$ = ② のとき、最小値 ③ をとる。
(3) △ABCの辺BCを2：1に内分する点をPとし、線分APを
(1－t)：t（0＜t＜1）に内分する点をQとする。等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf AQ}+\overrightarrow{\sf BQ}+2\overrightarrow{\sf CQ}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
が成り立つとき、tの値は ④ である。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 2 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とし、自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf a_n &\sf b_n\\ \sf b_n &\sf a_n\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。
aをnを用いて表すと、 ⑤ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\lt x<\frac{3}{2}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{7}\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3^n+(-1)^n}{2}\end{align*}}$
【解説】
(1)
真数＞0なので
x－1＞0 かつ 2－x＞0 すなわち、1＜x＜2．
与式の底を変換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2(x-1)+\frac{\log_2(2-x)}{\log_2\frac{1}{2}}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2(x-1)<\log_2(2-x)\end{align*}}$．
ここで、底＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-1<2-x\ \ \Leftrightarrow\ \ x<\frac{3}{2}\end{align*}}$．
これと真数条件より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 1\lt x<\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
与えられた範囲における$\scriptsize\sf{\tan\theta}$ の範囲は、
$\scriptsize\sf{\tan\theta\gt 1}$ ････(※)
倍角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\tan\theta+\frac{1-\tan^2\theta}{2\tan\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\tan\theta+\frac{1}{2\tan\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >2\sqrt{\frac{1}{4}\tan\theta\cdot\frac{1}{2\tan\theta}}\end{align*}}$ ←(※)より相加･相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ ．
等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\tan\theta=\frac{1}{2\tan\theta}\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan^2\theta=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \tan\theta=\sqrt2\ }\end{align*}}$ ←(※)より
(3)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=(1-t)\ \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-t)\cdot\frac{\overrightarrow{\sf AB}+2\overrightarrow{\sf AC}}{3}\end{align*}}$ ････(ア)
一方、与えられた等式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf AQ}+\left(\overrightarrow{\sf AQ}-\overrightarrow{\sf AB}\right)+2\left(\overrightarrow{\sf AQ}-\overrightarrow{\sf AC}\right)=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AQ}=\frac{\overrightarrow{\sf AB}+2\overrightarrow{\sf AC}}{7}\end{align*}}$ ････(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ は一次独立なので、(ア)と(イ)の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1-t}{3}=\frac{1}{7}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{4}{7\ }}\end{align*}}$ ．
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf a_n &\sf b_n\\ \sf b_n&\sf a_n\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{n+1}=\begin{pmatrix}\sf a_n&\sf b_n\\ \sf b_n&\sf a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 2 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf a_{n+1} &\sf b_{n+1}\\ \sf b_{n+1} &\sf a_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a_n+2b_n&\sf 2an+b_n\\ \sf 2a_n+b_n &\sf a_n+2b_n\end{pmatrix}\sf \end{align*}}$ ．
成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=a_n+2b_n\ \ ,\ \ b_{n+1}=2a_n+b_n\end{align*}}$ ････(ウ)
これら2式を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}+b_{n+1}=3\left(a_n+b_n\right)\end{align*}}$
数列{an+bn}は、公比3の等比数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+b_n=(a_1+b_1)\cdot3^{n-1}=3^n\end{align*}}$ ････(エ)
また、(ウ)の2式を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-b_{n+1}=-\left(a_n-b_n\right)\end{align*}}$
数列{an－bn}は、公比－1の等比数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=(a_1-b_1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)^n\end{align*}}$ ････(オ)
(エ)と(オ)を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a_n=3^n+(-1)^n\ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\underline{\ \frac{3^n+(-1)^n}{2}\ }\end{align*}}$
を得る。
(4)の漸化式が少し面倒ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/28(水) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2013（2/2）
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
