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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013関西大 理系数学(2月2日) 1



第1問

  関数f(x)=x3-6x2+9xを考える。次の問いに答えよ。

 (1) y=f(x)のグラフの概形を ①  の欄にかけ。

 (2) aを定数とする。直線y=axと曲線y=f(x)が、x>0において
    異なる2つの共有点をもつときのaの範囲を求めよ。
    また、そのときの共有点のx座標を$\small\sf{\alpha,\ \beta\ \ (0\lt\alpha\lt\beta)}$ とする
    とき、$\small\sf{\beta=2\alpha}$ となるようにaの値を定めよ。

 (3) aは(2)において$\small\sf{\beta=2\alpha}$ となるように定めた値とする。このとき、
    直線y=axと曲線y=f(x)で囲まれる2つの図形の面積の和を
    求めよ。




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2013関西大 理系数学(2月2日) 2



第2問

  nを自然数とする。xの関数
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=\sum_{k=0}^n(x-k)^2=x^2+(x-1)^2+(x-2)^2+\ldots +(x-n)^2\end{align*}}$
  に対して、次の    をうめよ。ただし、④、⑤、⑥の解答は
  因数分解したnの式で答えよ。
  
  fn(x)の導関数fn’(x)は、xの1次式
       fn’(x)= ①  x- ② 
  である。これよりx= ③  のとき、fn(x)は最小値 ④ 
  とる。この最小値をanとすると、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+a_3+\ldots +a_n="\end{align*}}$  ⑤ 
  である。また、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{a_k}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\ldots +\frac{1}{a_n}="\end{align*}}$  ⑥ 
  だから、無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n} \end{align*}}$ の和は ⑦  である。



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第3問

  aを正の定数とする。自然数nに対して、座標平面上の点An、Bn
  を以下の(ⅰ)~(ⅳ)を満たず用に定める。
     (ⅰ) A1の座標は(a,0)である。
     (ⅱ) AnとBnのx座標は等しい。
     (ⅲ) Bnは双曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ 上の点である。
     (ⅳ) An+1は $\small\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ のBnにおける接線とx軸の交点である。
  次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ のB1における接線の方程式を求めよ。

 (2) An、Bnの座標を求めよ。

 (3) △AnBnAn+1をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をVn
    とおく。Vnを求めよ。

 (4) 無限級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ V_n\end{align*}}$ の和を求めよ。



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2013関西大 理系数学(2月2日) 4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \log_2(x-1)+\log_{\frac{1}{2}}(2-x)<0\end{align*}}$ を解くと、 ①  となる。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\theta}{4}<\theta<\frac{\theta}{2}\end{align*}}$ の範囲で定義された関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\tan\theta+\frac{1}{\tan 2\theta}\end{align*}}$ は
    tan$\small\sf{\theta}$ = ②  のとき、最小値 ③  をとる。

 (3) △ABCの辺BCを2:1に内分する点をPとし、線分APを
    (1-t):t(0<t<1)に内分する点をQとする。等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf AQ}+\overrightarrow{\sf BQ}+2\overrightarrow{\sf CQ}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
    が成り立つとき、tの値は ④  である。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 2 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とし、自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf a_n &\sf b_n\\ \sf b_n &\sf a_n\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。
    aをnを用いて表すと、 ⑤  である。