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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013関西大 理系(全学部) 数学1



第1問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\end{align*}}$
  を考える。次の問いに答えよ。

 (1) 次の    をうめよ。
    f(x)の導関数を求めると、
           図07図08
解答はこちら↓

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2013関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

  次の    をうめよ。

  mを0でない定数とし、点P(1,0)を直線L:y=mxに関して対称移動
  した点をQ(a,b)とおく。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{a-1}\cdot m\end{align*}}$ の値は ①  である。
  また、線分PQの中点はL上にあることから、bをaとmを用いて表すと
   ②  である。よって、a、bをmで表すと、a= ③  、b= ④ 
  となる。
  さらに、点R(0,1)をLに関して対称移動した点をSとおき、Sの座標を
  mで表すと、x座標は ⑤  、y座標は ⑥  となる。このとき
           図05
  とおく。m=tan$\small\sf{\theta}$ とおくと、Tの(1,1)成分はcos ⑦  で、T2
  計算すると ⑧  となる。


2013関西大 理系(全学部) 数学3



第3問

  座標平面上の半円
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}\ \ \ \ (y\geqq 0)\end{align*}}$
  上に原点Oと異なる点Pをとる。x軸の正の部分とOPのなす角を
  $\small\sf{\theta}$ とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) OPの長さとPの座標を、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) Pのx座標とy座標の和が最大になるときのPの座標を求めよ。

 (3) (2)で求めた点Pに対して、線分OPと半円Cおよびx軸で囲ま
    れる図形の面積を求めよ。



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2013関西大 理系(全学部) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) aを1より大きい定数とする。方程式ax+a-x=3を満たす
    正の解xを求めると、
         図06
    となる。

 (2) 3つのサイコロを同時に投げたとき、出た目の和が7となる
    確率は、 ②  である。

 (3) x100を(x-1)3で割ったとき、余りである多項式の最高次の
    項の係数は ③  である。

 (4) 実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ が交互に現れる数列
       $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、$\small\sf{\alpha}$ 、・・・
    の第n項をanとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^na_k\end{align*}}$ とおくとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S_n}{n}\end{align*}}$ = ④ 
    である。

 (5) 無限級数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=2}^{\infty}\log\frac{n^2-1}{n^2}\end{align*}}$
    の和は、log ⑤  である。