第3問
座標平面上の半円
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{1}{4}\ \ \ \ (y\geqq 0)\end{align*}}$
上に原点Oと異なる点Pをとる。x軸の正の部分とOPのなす角を
$\small\sf{\theta}$ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) OPの長さとPの座標を、$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) Pのx座標とy座標の和が最大になるときのPの座標を求めよ。
(3) (2)で求めた点Pに対して、線分OPと半円Cおよびx軸で囲ま
れる図形の面積を求めよ。
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【解答】
(1)
点AをA(1，0)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \theta=\frac{OP}{OA}=\frac{OP}{1}\ \ \Leftrightarrow\ \ OP=\underline{\ \cos\theta\ }\end{align*}}$ ．
また、半円の中心をQとすると、
円周角の定理より、
∠PQA=2$\scriptsize\sf{\theta}$
となるので、Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\theta\ ,\ \frac{1}{2}\sin 2\theta\right)\ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)より、Pのx座標とy座標の和をTとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\sin \left(2\theta+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ ←三角関数の合成
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq 2\theta\leqq \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4}\leqq 2\theta+\frac{\pi}{4}\leqq \frac{5\pi}{4}\end{align*}}$
なので、Tが最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{8}\end{align*}}$
のときである。このときのPの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{4}\right)=\underline{\ \left(\frac{2+\sqrt2}{4}\ ,\ \frac{\sqrt2}{4}\right)\ }\end{align*}}$ ．
(3)
求める面積をSとすると、
S=△OPQ+扇形PQA
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\sin\frac{3\pi}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\sqrt3 +\pi}{32}\ }\end{align*}}$ ．
(2)は線形計画法を使う手もあります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/28(水) 02:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2013（全学部）
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