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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013同志社大 理工学部 数学1(1)



第1問


 (1) 行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf \cos\alpha &\sf \sin\alpha\\ \sf \sin\alpha &\sf -\cos\alpha\end{pmatrix}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \cos\beta &\sin\beta\\ \sin\beta &-\cos\beta\end{pmatrix} \end{align*}}$ $\small\sf{\sf \left(0\lt\beta\lt\alpha\lt 2\pi\right)}$
    の積ABの(1,1)成分は$\small\sf{\theta=\alpha-\beta}$ を用いて表すと、 ア  となり、
    (1,2)成分は$\small\sf{\theta}$ を用いて表すと、 イ  となる。
    ここで
    点P1$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt2\ ,\ \sqrt2\right)\end{align*}}$ がABで表される1次変換によって点P2
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\ ,\ \frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\right)\end{align*}}$ に移るとすると、$\small\sf{\theta}$ = ウ  となる。このとき、
    (AB)25で表される1次変換によって点P1が移る点のx座標は エ 
    となり、((AB)-1)2013で点P1が移る点のx座標は オ  となる。



2013同志社大 理工学部 数学1(2)



第1問


 (2) 関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(ax^2+bx\right)\ e^{-x^2}\end{align*}}$
    は、x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で極大値1をとるとする。このとき、a= カ 
    b= キ  であり、f(x)>0を満たす範囲は0<x< ク  となる。
    この区間で関数g(x)=logf(x)を考える。曲線C:y=g(x)の
    点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1\ ,\ -\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$ における接線の方程式はy= ケ  となり、曲線Cと
    直線y=kが共有点をもたないkの値の範囲は コ  となる。


2013同志社大 理工学部 数学2



第2問

  Oを原点とする座標平面に点A(2,1)と点B(1,-2)をとる。
  実数$\small\sf{\theta\ \ (0\leqq\theta\lt2\pi)}$ に対して点Pは
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=(\cos\theta)\overrightarrow{\sf OA}+(1-\sin\theta)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  をみたすものとする。次の問いに答えよ。

 (1) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ を満たす値をとって変化するとき、点Pの
    軌跡を求めよ。

 (3) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ の最大値と、そのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/02/22(金) 16:06:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2013(理工)
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2013同志社大 理工学部 数学3



第3問

  $\small\sf{\alpha}$ は0<$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす実数とする。xy平面において、曲線
  C:y=cos3x(0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )、直線L:y=cos3$\small\sf{\alpha}$ およびy軸で
  囲まれた図形をD1とする。また、曲線C、直線Lおよび直線
  x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で囲まれた図形をD2とする。

 (1) D1の面積S1とD2の面積S2が等しくなるとき、cos$\small\sf{\alpha}$ の
    値を求めよ。

 (2) S1とS2の和の最小値を求めよ。


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  1. 2013/02/23(土) 16:09:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2013(理工)
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2013同志社大 理工学部 数学4



第4問

  xy平面において、曲線C:y=logx上に2点A(a,loga)と
  B(a+h,log(a+h))(h≠0)をとる。点AにおけるCの法線と
  点BにおけるCの法線の交点をD($\small\sf{\alpha}$ ,$\small\sf{\beta}$ )とする。次の問いに
  答えよ。

 (1) 点Aにおける法線の方程式を求めよ。

 (2) $\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ をそれぞれaとhを用いて表せ。

 (3) p=$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\end{align*}}$ $\small\sf{\alpha}$ とq =$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\end{align*}}$ $\small\sf{\beta}$ とする。pとqをそれぞれaを用いて表せ。

 (4) 点Eの座標を(p,q)とする。線分AEの長さを最小にするaの値と、
    そのときの線分AEの長さを求めよ。


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  1. 2013/02/24(日) 16:12:00|
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