第1問
(2) 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(ax^2+bx\right)\ e^{-x^2}\end{align*}}$
は、x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で極大値1をとるとする。このとき、a= カ 、
b= キ であり、f(x)＞0を満たす範囲は0＜x＜ ク となる。
この区間で関数g(x)=logf(x)を考える。曲線C:y=g(x)の
点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(1\ ,\ -\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$ における接線の方程式はy= ケ となり、曲線Cと
直線y=kが共有点をもたないkの値の範囲は コ となる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2e^{\frac{1}{4}}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3e^{\frac{1}{4}}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -3x+\frac{9}{4}\end{align*}}$ コ k＞0
【解説】
(2)
xで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left(2ax+b\right)e^{-x^2}+\left(ax^2+bx\right)e^{-x^2}\cdot(-2x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-2ax^3-2bx^2+2ax+b\right)e^{-x^2}\end{align*}}$
であり、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で極大値1をとるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3a+2b}{4}\ e^{-\frac{1}{4}}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 3a+2b=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{a+2b}{4}\ e^{-\frac{1}{4}}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a+2b=4e^{\frac{1}{4}}\end{align*}}$
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-2e^{\frac{1}{4}}\ \ ,\ \ b=3e^{\frac{1}{4}}\ }\end{align*}}$ ････カキ
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left(4x^3-6x^2-4x+3\right)e^{\frac{1}{4}-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2x-1\right)\left(2x^2-2x-3\right)e^{\frac{1}{4}-x^2}\end{align*}}$
となり、f(x)の増減は次のようになるので、
確かにx=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で極大値をとる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-x\left(2x-3\right)e^{\frac{1}{4}-x^2}\end{align*}}$
において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{\frac{1}{4}-x^2}>0\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 0\lt x<\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$ ････ク
一方、g(x)=logf(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\frac{f\ '(x)}{f\ (x)}=-\frac{\left(2x-1\right)\left(2x^2-2x-3\right)}{x\left(2x-3\right)}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(1)=-\frac{1\cdot\left(-3\right)}{1\cdot\left(-1\right)}=-3\end{align*}}$ ．
よって、点$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1\ ,\ -\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$ における接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{3}{4}=-3\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-3x+\frac{9}{4}\ }\end{align*}}$ ････ケ
また、f(x)＞0を満たすxの範囲におけるg(x)の増減は
次のようになる。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ g\ (x)=\lim_{x\rightarrow \frac{3}{2}-0}\ g\ (x)=-\infty\end{align*}}$
となるので、曲線Cと直線y=kが共有点をもたないkの値の範囲は
k＞0 ････コ
である。
まぁ穴埋めなので、十分性まで示す必要はないんですが・・・（笑）
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- 2013/02/21(木) 16:03:00|
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第2問
Oを原点とする座標平面に点A(2，1)と点B(1，－2)をとる。
実数$\small\sf{\theta\ \ （0\leqq\theta\lt2\pi)}$ に対して点Pは
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=(\cos\theta)\overrightarrow{\sf OA}+(1-\sin\theta)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
をみたすものとする。次の問いに答えよ。
(1) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{0\leqq\theta\lt 2\pi}$ を満たす値をとって変化するとき、点Pの
軌跡を求めよ。
(3) 内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}\end{align*}}$ の最大値と、そのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\left(2\ ,\ 1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\left(1\ ,\ -2\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2-2=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$ ．
(2)
点P(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=(\cos\theta)\overrightarrow{\sf OA}+(1-\sin\theta)\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (X\ ,\ Y)=\left(2\cos\theta-\sin\theta+1\ ,\ \cos\theta+2\sin\theta-2\right)\end{align*}}$ ････①
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\frac{-X+2Y+5}{5}\ \ ,\ \ \cos\theta=\frac{2X+Y}{5}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\theta+\cos^2\theta=\left(\frac{-X+2Y+5}{5}\right)^2+\left(\frac{2X+Y}{5}\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2-2X+4Y=0\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (X-1)^2+(Y+2)^2=5\end{align*}}$ ．
よって、点P(X，Y)の軌跡は、
点(1，－2)を中心とする半径$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ の円である。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}=\left(2-X\ ,\ 1-Y\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf PB}=\left(1-X\ ,\ -2-Y\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}=(2-X)(1-X)+(1-Y)(-2-Y)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =X^2+Y^2-3X+Y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2X-4Y)-3X+Y\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-X-3Y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-(2\cos\theta-\sin\theta+1)-3(\cos\theta+2\sin\theta-2)\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =5-5\cos\theta-5\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =5-5\sqrt2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ ←合成
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で、この内積が最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta+\frac{\pi}{4}=\frac{3}{2}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \theta=\frac{5}{4}\pi\ }\end{align*}}$
のときであり、その最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}\cdot\overrightarrow{\sf PB}_{max}=\underline{\ 5+5\sqrt2\ }\end{align*}}$
である。
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- 2013/02/22(金) 16:06:00|
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第3問
$\small\sf{\alpha}$ は0＜$\small\sf{\alpha}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす実数とする。xy平面において、曲線
C：y=cos3x（0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）、直線L：y=cos3$\small\sf{\alpha}$ およびy軸で
囲まれた図形をD1とする。また、曲線C、直線Lおよび直線
x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で囲まれた図形をD2とする。
(1) D1の面積S1とD2の面積S2が等しくなるとき、cos$\small\sf{\alpha}$ の
値を求めよ。
(2) S1とS2の和の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=cos3の導関数は、
y’=－3cos2xsinx
となり、定義域内でつねにy’＜0なので、
y=cos3は単調に減少する。
よって、定義域内で
cos3x=cos3$\scriptsize\sf{\alpha}$
を満たすxはx=$\scriptsize\sf{\alpha}$ ただ1つであり、
CとLの交点は、($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，cos3$\scriptsize\sf{\alpha}$ ) である。
D1、D2は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_0^{\alpha}\left(\cos^3x-\cos^3\alpha\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_{\alpha}^{\pi/2}\left(\cos^3\alpha-\cos^3x\right)dx\end{align*}}$
として求めることができる。
3倍角の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 3x=4\cos^3x-3\cos x\end{align*}}$
を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_0^{\alpha}\left(\frac{\cos 3x+3\cos x}{4}-\cos^3\alpha\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{12}\sin 3x+\frac{3}{4}\sin x-x\cos^3\alpha\right]_0^{\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\sin 3\alpha+\frac{3}{4}\sin \alpha-\alpha\cos^3\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=-\left[\frac{1}{12}\sin 3x+\frac{3}{4}\sin x-x\cos^3\alpha\right]_{\alpha}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{3}+\frac{\pi}{2}\cos^3\alpha+\frac{1}{12}\sin 3\alpha+\frac{3}{4}\sin \alpha-\alpha\cos^3\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{3}+\frac{\pi}{2}\cos^3\alpha+S_1\end{align*}}$
S1=S2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2}{3}+\frac{\pi}{2}\cos^3\alpha=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=\underline{\ \sqrt[3]{\frac{4}{3\pi}}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
S=S1+S2とすると、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=-\frac{2}{3}+\frac{\pi}{2}\cos^3\alpha+\frac{1}{6}\sin 3\alpha+\frac{3}{2}\sin \alpha-2\alpha\cos^3\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{3}+\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)\cos^3\alpha+\frac{1}{6}\sin 3\alpha+\frac{3}{2}\sin \alpha\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\alpha}$ で微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '=-2\cos^3\alpha+\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)\cdot3\cos^2\alpha\cdot(-\sin\alpha)+\frac{1}{2}\cos 3\alpha+\frac{3}{2}\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\cos^3\alpha-3\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)\cos^2\alpha\sin\alpha+\frac{1}{2}\left(4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\right)+\frac{3}{2}\cos\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-3\left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)\cos^2\alpha\sin\alpha\end{align*}}$
となるので、Sの増減は次のようになる。
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \alpha=\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$
のときSは最小となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\underline{\ \frac{5\sqrt2-4}{6}\ }\end{align*}}$
である。
計算が面倒ですが、最後はキレイになるので気持ちいいですね。
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- 2013/02/23(土) 16:09:00|
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第4問
xy平面において、曲線C：y=logx上に2点A(a，loga)と
B(a+h，log(a+h))（h≠0)をとる。点AにおけるCの法線と
点BにおけるCの法線の交点をD($\small\sf{\alpha}$ ，$\small\sf{\beta}$ )とする。次の問いに
答えよ。
(1) 点Aにおける法線の方程式を求めよ。
(2) $\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ をそれぞれaとhを用いて表せ。
(3) p=$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\end{align*}}$ $\small\sf{\alpha}$ とq =$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\end{align*}}$ $\small\sf{\beta}$ とする。pとqをそれぞれaを用いて表せ。
(4) 点Eの座標を(p，q)とする。線分AEの長さを最小にするaの値と、
そのときの線分AEの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)=logxとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{x}\end{align*}}$
なので、A(a，loga)における法線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\log a=-a\left(x-a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-ax+a^2+\log a\ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)と同様に考えると、Bにおける法線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-(a+h)x+(a+h)^2+\log (a+h)\end{align*}}$
となり、これら2本の法線の交点($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，$\scriptsize\sf{\beta}$ )は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -ax+a^2+\log a=-(a+h)x+(a+h)^2+\log (a+h)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ hx=2ah+h^2+\log(a+h)-\log a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ 2a+h+\frac{\log(a+h)-\log a}{h}\ }\end{align*}}$ ･･･$\scriptsize\sf{\alpha}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-a\left(2a+h+\frac{\log(a+h)-\log a}{h}\right)+a^2+\log a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -a\left(a+h+\frac{\log(a+h)-\log a}{h}\right)+\log a}\end{align*}}$ ････$\scriptsize\sf{\beta}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\lim_{h\rightarrow 0}\left\{2a+h+\frac{\log(a+h)-\log a}{h}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2a+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\log(a+h)-\log a}{h}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2a+f\ '(a)\end{align*}}$ ←微分係数の定義より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2a+\frac{1}{a}\ }\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\lim_{h\rightarrow 0}\left\{-a\left(a+h+\frac{\log(a+h)-\log a}{h}\right)+\log a\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a^2+\log a-a\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\log(a+h)-\log a}{h}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-a^2+\log a-a\ f\ '(a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -a^2+\log a-1\ }\end{align*}}$ ．
(4)
AE2=Lとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(-a^2-1\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^4+3a^2+\frac{1}{a^2}+3\end{align*}}$
であり、aで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L'=4a^3+6a-\frac{2}{a^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{a^3}\left(2a^6+3a^4-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{a^3}\left(2a^2-1\right)\left(a^4+2a^2+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{a^3}\left(2a^2-1\right)\left(a^2+1\right)^2\end{align*}}$ ．
また、真数条件よりa＞0であり、この範囲におけるLの増減は
次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt2}\ }\end{align*}}$
のとき、Lは最小となる。
このときAEも最小値をとり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AE_{min}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\underline{\ \frac{3\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
である。
(3)で微分係数の定義に持ちこむところがミソです。
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- 2013/02/24(日) 16:12:00|
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