第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の
付いた の中に記入せよ。
サッカーの国際大会に日本、A国およびB国の3ヶ国が参加し、
優勝国は次のように決定される。
(ⅰ) 3つの国のうち2つの国が試合をする。勝った国が残りの
1つの国と試合をし、2連勝する国が生じるまで試合を繰り
返す。この連勝国を優勝国とし、大会を終了する。
(ⅱ) 各試合において、引き分けはなく、必ず勝敗が決まる。
日本がA国、B国に勝つ確率をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{3}\end{align*}}$ とし、A国
がB国に勝つ確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ とする。第1戦は日本とA国が対戦
する。
第2戦で日本が優勝する確率は ア であり、第3戦で日本が
優勝する確率は イ であり、第4戦で日本が優勝する確率は
ウ であり、第5戦で日本が優勝する確率は エ である。
ゆえに第3n+2戦（nは0以上の整数）で日本が優勝する確率
pnはpn= オ となる。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n p_k\end{align*}}$ = カ となる。
一方、第7戦で日本が優勝する確率は キ となる。第3n+1
戦（nは1以上の整数）で日本が優勝する確率qnはqn= ク
となる。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n q_k\end{align*}}$ = ケ となる。
また、第3n戦（nは1以上の整数）で日本が優勝する確率rnは
rn= コ となる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ イ 0 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{36}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{27}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\left(\frac{2}{9}\right)^n\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{14}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{648}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(\frac{1}{18}\right)^n\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{34}\end{align*}}$ コ 0
【解説】 以下、日本はJと書くことにする。
(ⅰ)第1戦（J対A）でJが負けたとき
次にJが優勝するのは、
第2戦（A対B）でBが勝ち、
第3戦（B対J）でJが勝ち、
第4戦（J対A）でJが勝つ場合である。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{36}\ }\end{align*}}$ ････ウ
第4戦（J対A）でJが負けたとき、
次にJが優勝するのは、
第5戦（A対B）でBが勝ち、
第6戦（B対J）でJが勝ち、
第7戦（J対A）でJが勝つ場合である。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{648}\ }\end{align*}}$ ････キ
以下、同様に考えると、Jが優勝するのは、
第3n+1戦目であり、
A→B→J→A→B→J→････→A→B→J→J
のように勝てばよい。
第1～3n戦は、A→B→Jをn回繰り返すので、
その確率qnは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_k=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\right)^n\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{18}\right)^n\ }\end{align*}}$ ････ク
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n q_k=\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{1}{18}}{1-\frac{1}{18}}=\underline{\ \frac{1}{34}\ }\end{align*}}$ ････ケ
(ⅱ)第1戦（J対A）でJが勝ったとき
第2戦（J対B）でJが勝てば、Jが優勝する。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{1}{6}\ }\end{align*}}$ ････ア
第2戦（J対B）でJが負けたとき、
次にJが優勝するのは、
第3戦（B対A）でAが勝ち、
第4戦（A対J）でJが勝ち、
第5戦（J対B）でJが勝つ場合である。
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{1}{27}\ }\end{align*}}$ ････エ
以下、同様に考えると、Jが優勝するのは、
第3n+2戦目であり、
J→B→A→J→B→A→J→････→B→A→J→J
のように勝てばよい。
第2～3n+1戦は、B→A→Jをn回繰り返すので、
その確率pnは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\right)^n\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{1}{6}\left(\frac{2}{9}\right)^n\ }\end{align*}}$ ････オ
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n p_k=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{9}}=\underline{\ \frac{3}{14}\ }\end{align*}}$ ････カ
以上より、第3n戦目にJが優勝することはないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=0\end{align*}}$ ････イ、コ
状況の整理が難しいですね。
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- 2013/02/05(火) 13:00:00|
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第２問
座標空間において3点A(0，0，4)、B(a，1，2)、C(x，y，0)
をとる。ただしaは正の実数とする。次の問いに答えよ。
(１) AB＝BCとなる条件をa、x、yを用いて表せ。
(２) 
と
が直交する条件をa、x、yを用いて表せ。
(３) AB＝BCかつ∠ABCが直角となる点Cが存在するaの値の
範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
AB2=BC2
⇔ (a－0)2+(1－0)2+(2－4)2=(x－a)2+(y－1)2+(0－2)2
⇔ (x－a)2+(y－1)2=a2+1
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ =(a，1，－2)、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ =(x－a，y－1，－2)
であり、AB⊥BCなので、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ =a(x－a)+(y－1)+4=0
(3)
(2)より、
y－1=－a(x－a)－4
であり、これを(1)に代入すると、
(x－a)2+{－a(x－a)－4}2=a2+1．
ここで、X=x－aとおくと、
X2+(aX+4)2=a2+1
⇔ (a2+1)X2+8aX+15－a2=0．
Xは実数なので、判別式を考えると、
D/4=16a2－(a2+1)(15－a2)
=a4+2a2－15
=(a2+5)(a2－3)≧0．
ここで、a2+5＞0なので、
題意を満たすようなa（＞0）の値の範囲は、
a2－3≧0 ⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ≦a
である。
これはそのままですね。
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第3問
定数a（a＞1）に対して曲線y=ax、x軸およびy軸、直線x=1
で囲まれた図形をSとし、曲線y=a2x、曲線y=axおよび直線
x=1で囲まれた図形をDとする。次の問いに答えよ。
(1) Sをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積V(a)を求めよ。
(2) Dをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積W(a)を求めよ。
(3) V(a)=W(a)となるaの値を求めよ。
(4) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{W\ (a)}{a-1}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
曲線y=axは常にx軸より上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (a)=\pi\int_0^1\left(a^x\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{2\log a}\ a^{2x}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{2\log a}\left(a^2-1\right)\ }\end{align*}}$．
(2)
2曲線y=ax、y=a2xの位置関係は
右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf W\ (a)=\pi\int_0^1\left(a^{2x}\right)^2dx-V\ (a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{4\log a}\ a^{4x}\right]_0^1-V\ (a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4\log a}\left(a^4-1\right)-\frac{\pi}{2\log a}\left(a^2-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4\log a}\left(a^2-1\right)\left\{(a^2+1)-2\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{4\log a}\left(a^2-1\right)^2\ }\end{align*}}$
(3)
(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (a)=W\ (a)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{2\log a}\left(a^2-1\right)=\frac{\pi}{4\log a}\left(a^2-1\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(a^2-1)=(a^2-1)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (a^2-1)(a^2-3)=0\end{align*}}$
aはa＞1の実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\sqrt3\ }\end{align*}}$．
(4)
求める極限をLとすると、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{\pi}{4}\lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{(a^2-1)^2}{(a-1)\log a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{(a-1)(a+1)^2}{\log a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\lim_{a\rightarrow 1+0}(a+1)^2\cdot\lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{a-1}{\log a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{a-1}{\log a-\log 1}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log x\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{x}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(1)=\lim_{a\rightarrow 1}\frac{\log a-\log 1}{a-1}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{a-1}{\log a-\log 1}=1\end{align*}}$ .
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\pi\cdot 1=\underline{\ \pi\ }\end{align*}}$ ．
最後の極限が少し難しいかもしれません。
微分係数の定義にうまく持ちこみましょう！
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第4問
kは定数とし、媒介変数tを用いてx=2sin3t、y=kcos3t
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ と表される曲線Sを考える。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ をk、tを用いて表せ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。
(2) 曲線Sが直線x+y=1に第1象限で接しているとき、接点の
座標を(p，q)とする。p、q、kの値を求めよ。また、そのときの
tの値t0を求めよ。
(3) (2)で定まるt0に対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{t_0}\cos^4t\ dt\ \ ,\ \int_0^{t_0}\cos^6t\ dt\end{align*}}$ の値を
それぞれ求めよ。
(4) (2)で定まるp、q、k、t0に対し、0≦x≦pで曲線S、直線
x+y=1とy軸で囲まれる図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x、yをそれぞれtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=6\sin^2t\cos\ t\ \ ,\ \ \frac{dy}{dt}=-3k\cos^2t\sin t\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{-3k\cos^2t\sin t}{6\sin^2t\cos\ t}=\underline{\ -\frac{k\cos t}{2\sin t}\ }\end{align*}}$
(2)
接点(p，q)=(2sin3t0，kcos3t0)における接線の傾きが
－1になればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{k\cos t_0}{2\sin t_0}=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ k\cos t_0=2\sin t_0\end{align*}}$ ････①
また、(p，q)は直線x+y=1上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin^3t_0+k\cos^3t_0=1\end{align*}}$
であり、①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sin^3t_0+2\sin t_0\cos^2t_0=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin t_0\left(\sin^2 t_0+\cos^2 t_0\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin t_0=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
0≦t0≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t_0=\frac{\pi}{6}\ }\end{align*}}$ ．
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sin\frac{\pi}{6}=k\cos\frac{\pi}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ 1=\frac{\sqrt3}{2}\ k\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k=\frac{2}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=2\sin^3\frac{\pi}{6}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=1-p=\underline{\ \frac{3}{4}\ }\end{align*}}$
となる。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/6}\cos^4t\ dt=\int_0^{\pi/6}\left(\frac{1+\cos 2t}{2}\right)^2dt\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\int_0^{\pi/6}\left(1+2\cos 2t+\cos^22t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\int_0^{\pi/6}\left(1+2\cos 2t+\frac{1+\cos 4t}{2}\right)dt\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\int_0^{\pi/6}\left(3+4\cos 2t+\cos 4t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left[3t+2\sin 2t+\frac{1}{4}\sin 4t\right]_0^{\pi/6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left(\frac{\pi}{2}+2\sin \frac{\pi}{3}+\frac{1}{4}\sin \frac{2\pi}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{9\sqrt3}{64}+\frac{\pi}{16}\ }\end{align*}}$ ．
一方、3倍角の公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos 3t=4\cos^3t-3\cos t\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^3t=\frac{\cos 3t+3\cos t}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/6}\cos^6t\ dt=\int_0^{\pi/6}\left(\cos^3t\right)^2dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/6}\left(\frac{\cos 3t+3\cos t}{4}\right)^2dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}\int_0^{\pi/6}\left(\cos^23t+6\cos 3t\cos t+9\cos^2t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}\int_0^{\pi/6}\left(\frac{1+\cos 6t}{2}+3\cos 4t+3\cos t+\frac{9(1+\cos 2t)}{2}\right)dt\end{align*}}$
←半角公式と和・積の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{32}\int_0^{\pi/6}\left(10+15\cos 2t+6\cos 4t+\cos 6t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{32}\left[10t+15\sin 2t+3\sin 4t+\frac{1}{6}\sin 6t\right]_0^{\pi/6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{32}\left(\frac{5\pi}{3}+\frac{15}{2}\sin \frac{\pi}{3}+3\sin\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{6}\sin \pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{9\sqrt3}{64}+\frac{5\pi}{96}\ }\end{align*}}$ ．
(4)
求める図形は右図のようになり、
この面積をTとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_0^{\frac{1}{4}}\ y\ dx-\int_0^{\frac{1}{4}}(-x+1)\ dx\end{align*}}$ ････②
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=2\sin^3t\ \ ,\ \ y=\frac{2}{\sqrt3}\cos^3t\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=6\sin^2t\cos\ t\end{align*}}$
であり、②の積分区間に対応するtは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t:\ 0\rightarrow\frac{1}{4}\end{align*}}$
となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_0^{\pi/6}\frac{2}{\sqrt3}\cos^3t\cdot 6\sin^2t\cos t\ dt-\left[-\frac{1}{2}x^2+x\right]_0^{\frac{1}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sqrt3\int_0^{\pi/6}\cos^4t(1-\cos^2 t)dt-\frac{7}{32}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sqrt3\int_0^{\pi/6}\cos^4t\ dt-4\sqrt3\int_0^{\pi/6}\cos^6t\ dt-\frac{7}{32}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sqrt3\left(\frac{9\sqrt3}{64}+\frac{\pi}{16}\right)-4\sqrt3\left(\frac{9\sqrt3}{64}+\frac{5\pi}{96}\right)-\frac{7}{32}\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt3\ \pi}{24}-\frac{7}{32}\ }\end{align*}}$ ．
例によって最後に面倒な積分計算が出てきますね・・・・
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