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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013同志社大 理系(全学部日程) 数学1



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の
  付いた    の中に記入せよ。

  サッカーの国際大会に日本、A国およびB国の3ヶ国が参加し、
  優勝国は次のように決定される。

  (ⅰ) 3つの国のうち2つの国が試合をする。勝った国が残りの
     1つの国と試合をし、2連勝する国が生じるまで試合を繰り
     返す。この連勝国を優勝国とし、大会を終了する。
  (ⅱ) 各試合において、引き分けはなく、必ず勝敗が決まる。
     日本がA国、B国に勝つ確率をそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{3}\end{align*}}$ とし、A国
     がB国に勝つ確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ とする。第1戦は日本とA国が対戦
     する。

  第2戦で日本が優勝する確率は ア  であり、第3戦で日本が
  優勝する確率は イ  であり、第4戦で日本が優勝する確率は
   ウ  であり、第5戦で日本が優勝する確率は エ  である。
  ゆえに第3n+2戦(nは0以上の整数)で日本が優勝する確率
  pnはpn= オ  となる。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^n p_k\end{align*}}$ = カ  となる。
  一方、第7戦で日本が優勝する確率は キ  となる。第3n+1
  戦(nは1以上の整数)で日本が優勝する確率qnはqn= ク 
  となる。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n q_k\end{align*}}$ = ケ  となる。
  また、第3n戦(nは1以上の整数)で日本が優勝する確率rn
  rn= コ  となる。



2013同志社大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

  座標空間において3点A(0,0,4)、B(a,1,2)、C(x,y,0)
  をとる。ただしaは正の実数とする。次の問いに答えよ。

 (1) AB=BCとなる条件をa、x、yを用いて表せ。

 (2) が直交する条件をa、x、yを用いて表せ。

 (3) AB=BCかつ∠ABCが直角となる点Cが存在するaの値の
    範囲を求めよ。



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  1. 2013/02/05(火) 13:03:00|
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2013同志社大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

  定数a(a>1)に対して曲線y=ax、x軸およびy軸、直線x=1
  で囲まれた図形をSとし、曲線y=a2x、曲線y=axおよび直線
  x=1で囲まれた図形をDとする。次の問いに答えよ。

 (1) Sをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積V(a)を求めよ。

 (2) Dをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積W(a)を求めよ。

 (3) V(a)=W(a)となるaの値を求めよ。

 (4) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 1+0}\frac{W\ (a)}{a-1}\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2013/02/05(火) 13:06:00|
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2013同志社大 理系(全学部日程) 数学4



第4問

  kは定数とし、媒介変数tを用いてx=2sin3t、y=kcos3t
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ と表される曲線Sを考える。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ をk、tを用いて表せ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。

 (2) 曲線Sが直線x+y=1に第1象限で接しているとき、接点の
    座標を(p,q)とする。p、q、kの値を求めよ。また、そのときの
    tの値t0を求めよ。

 (3) (2)で定まるt0に対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{t_0}\cos^4t\ dt\ \ ,\ \int_0^{t_0}\cos^6t\ dt\end{align*}}$ の値を
    それぞれ求めよ。

 (4) (2)で定まるp、q、k、t0に対し、0≦x≦pで曲線S、直線
    x+y=1とy軸で囲まれる図形の面積を求めよ。


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  1. 2013/02/05(火) 13:09:00|
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