青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2013(2/2)

2013立命館大　理系（2月2日）　数学１

第１問

　　　　　　

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt2}{6}\end{align*}}$　　　　ウ 2　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　オ x²－y²　　　　

　　カ xy　　　　キ x⁴－x²－2　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　ケ 1　　　　

【解説】

　(1)
　　　分子･分母に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2-5\sqrt2\ i\end{align*}}$ をかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(1+2\sqrt2\ i\right)\left(-2-5\sqrt2\ i\right)}{\left(-2+5\sqrt2\ i\right)\left(-2-5\sqrt2\ i\right)}=\frac{18-9\sqrt2\ i}{54}=\frac{1}{3}-\frac{\sqrt2}{6}\ i\end{align*}}$　････アイ
　　　分子･分母に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-2\sqrt2\ i\end{align*}}$ をかけると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(1+2\sqrt2\ i\right)\left(1-2\sqrt2\ i\right)}{\left(-2+5\sqrt2\ i\right)\left(1-2\sqrt2\ i\right)}=\frac{9}{18+9\sqrt2\ i}=\frac{1}{2+\sqrt2\ i}\end{align*}}$　････ウエ

　(2)
　　　右辺を展開すると、　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2\sqrt2\ i=x^2-y^2+2xy\ i\end{align*}}$
　　　となり、両辺の成分を比較すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-y^2=1\ \ ,\ \ xy=\sqrt2\end{align*}}$　　････オカ
　　　yを消去すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\left(\frac{\sqrt2}{x}\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^4-x^2-2=0\end{align*}}$　　････キ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2-2)(x^2+1)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　となり、このとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=1\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2\sqrt2 \ i=\left(\sqrt2+i\right)^2\end{align*}}$　････クケ

　　サクサクっとどうぞ！　　

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2018/12/03(月) 01:05:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2013(2/2)

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2013立命館大　理系（2月2日）　数学２

第２問

　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　コ－1　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　シ 2　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 3&\sf 2\\ \sf 2 &\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$　　　　セ 3－2ⁿ⁺²　　　　

　　ソ 2－2ⁿ⁺¹　　　　タ－3+3･2ⁿ　　　　チ－2+3･2ⁿ　　ツ 3x+2y　　　

【解説】

　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=B\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$　　････(※)

　　　まず、Bの逆行列B^-1が存在するので、
　　　　　　　　detB=b－a²≠0　････①
　　　(※)に成分を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf -1&\sf -2\\ \sf 3 &\sf 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf a\\ \sf a &\sf b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf a\\ \sf a&\sf b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf -1-2a&\sf -a-2b\\ \sf 3+4a&\sf 3a+4b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf ac\\ \sf a &\sf bc\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　　両辺の(1，1)成分および(2，1)成分を比較すると、
　　　　　　　　　　a=－1　････コ
　　　これより、両辺の(1，2)成分と(2，2)成分を比較すると、
　　　　　　　　　　1－2b=－c、　－3+4b=bc ．
　　　cを消去すると、
　　　　　　　　　　－3+4b=b(2b－1)　⇔　2b²－5b+3=0．
　　　①の条件下でこれを解くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{3}{2}\end{align*}}$　････サ
　　　となり、このとき、c=2．　････シ
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -1\\ \sf -1 & \sf \frac{3}{2} \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -2 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となり、①より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf detB=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　なので、Bの逆行列は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}=\begin{pmatrix}\sf 3&\sf 2\\ \sf 2&\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　　よって、(※)の両辺に左からB^-1をかけると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}AB=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　であり、両辺をn乗すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}ABB^{-1}AB\ldots B^{-1}AB=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 2\end{pmatrix}^n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ B^{-1}A^nB=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0 &\sf 2^2\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　　両辺の右からB^-1を、左からBをかけると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=B\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0&\sf 2^2\end{pmatrix}B^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -2& \sf 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 2^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf 2 \\ \sf 2 & \sf 2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 3-2^{n+1} &\sf 2-2^{n+1}\\ \sf -3+2\cdot2^n &\sf -2+3\cdot2^n\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････セ～チ
　　　この行列が、点P(0，1)をQ(x，y)に移すので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}=\begin{pmatrix}\sf 3-2^{n+1} &\sf 2-2^{n+1}\\ \sf -3+2\cdot2^n &\sf -2+3\cdot2^n\end{pmatrix}\binom{0}{1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{x}{y}=\binom{\ 2-2\cdot 2^n}{-2+3\cdot 2^n}\end{align*}}$ ．
　　　2ⁿを消去するために、
　　　　　　　　　　3x=6－6･2ⁿ
　　　　　　　　　　2y=－4+6･2ⁿ
　　　これら2式を辺々加えると、
　　　　　　　　　　3x+2y=2　････ツ
　　　を得る。

　　行列を対角化してから累乗を求めるのは定番ですね。　　

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2018/12/03(月) 01:06:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2013(2/2)

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2013立命館大　理系（2月2日）　数学３

第３問

　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+s^2\end{align*}}$　　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf st-a\sqrt{a^2+s^2-t^2}\end{align*}}$　　　　ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf st+a\sqrt{a^2+s^2-t^2}\end{align*}}$　

　　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2t+as\sqrt{a^2+s^2-t^2}\end{align*}}$　　　　ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2t-as\sqrt{a^2+s^2-t^2}\end{align*}}$　　　　

　　ネ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a\sqrt{(1+s^2)(a^2+s^2-t^2)}\end{align*}}$　　　　ノ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{1+s^2}\end{align*}}$　　　　ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a\sqrt{\frac{1+s^2}{a^2+s^2}}\end{align*}}$　

　　ヒ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sqrt3}\end{align*}}$　　　　フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\right)a\end{align*}}$　　　　

【解説】

　　　2式からyを消去すると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\frac{(-sx+t)^2}{a^2}=1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (a^2+s^2)x^2-2stx+t^2-a^2=0\end{align*}}$　　････①
　　　となり、これが実数解をもてばよいので、
　　　判別式を考えると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=(st)^2-(a^2+s^2)(t^2-a^2)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a^4+a^2s^2-a^2t^2\geqq 0\end{align*}}$ ．
　　　両辺をa²（＞0）で割って整理すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+s^2\geqq t^2\end{align*}}$　････テ
　　　このとき①の解は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{st\pm a\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-s\cdot\frac{st\pm a\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}+t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2t\mp as\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}\end{align*}}$　　（複号同順）
　　　なので、2交点A、Bの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(\frac{st- a\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}\ ,\ \frac{a^2t+ as\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}\right)\end{align*}}$　････トナ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(\frac{st+a\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}\ ,\ \frac{a^2t-as\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}\right)\end{align*}}$　････ニヌ

　　　これより、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+\left\{(-sx_2+t)+(-sx_1+t)\right\}^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+s^2}\ (x_2-x_1)\ \ \ \ (\because x_2>x_1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+s^2}\left(\frac{st+a\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}-\frac{st-a\sqrt{a^2+s^2-t^2}}{a^2+s^2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a\sqrt{(1+s^2)(a^2+s^2-t^2)}}{a^2+s^2}\end{align*}}$　････ネ
　　　であり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ d=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{2\sqrt{(1+s^2)\left(1+\frac{s^2-t^2}{a^2}\right)}}{1+\frac{s^2}{a^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{1+s^2}\end{align*}}$　････ノ
　　　また、dが最大になるのは、t=0のときであり、その値は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d_{max}=\frac{2a\sqrt{(1+s^2)(a^2+s^2)}}{a^2+s^2}=2a\sqrt{\frac{1+s^2}{a^2+s^2}}\end{align*}}$　････ハ

　　　s=tのとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1=\frac{s^2-a^2}{a^2+s^2}=-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 3s^2=a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{a}{\sqrt 3}\ \ (>0)\end{align*}}$　････ヒ
　　　なので、直線Lの方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=-\frac{a}{\sqrt3}\left(x-1\right)\end{align*}}$ ．
　　　また、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_2=\frac{s^2+a^2}{s^2+a^2}=1\end{align*}}$
　　　となるので、CとLで囲まれる部分は
　　　右図のようになる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ x^2+\frac{y^2}{a^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=a\sqrt{1-x^2}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　と変形できるので、求める面積をSとすると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\frac{1}{2}}^1\left\{a\sqrt{1-x^2}+\frac{\sqrt3}{a}\left(x-1\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\int_{-\frac{1}{2}}^1\sqrt{1-x^2}\ dx+\frac{\sqrt3}{a}\int_{-\frac{1}{2}}^1\left(x-1\right)\ dx\end{align*}}$
　　　となる。
　　　ここで、x=cospとおくと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dp}=-\sin p\end{align*}}$
　　　となるので、積分区間の対応も考慮すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-\frac{1}{2}}^1\sqrt{1-x^2}\ dx=\int_{\frac{2}{3}\pi}^0\sqrt{1-\cos^2p}\cdot(-\sin p)dp \end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{2}{3}\pi}\sin^2p\ dp\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{\frac{2}{3}\pi}\left(1-\cos 2p\right)\ dp\end{align*}}$　　←倍角公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg[p-\frac{1}{2}\sin 2p\bigg]_0^{\frac{2}{3}\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{8}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-\frac{1}{2}}^1(x-1)\ dx=\left[\frac{1}{2}x^2-x\right]_{\frac{2}{3}\pi}^0=-\frac{3\sqrt3}{8} \end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=a\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{8}\right)+\frac{\sqrt3}{a}\cdot\left(-\frac{3\sqrt3}{8}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}\right)\pi\end{align*}}$　　････フ

　　最後の積分が面倒ですね＾＾；；　　

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2018/12/03(月) 01:07:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2013(2/2)

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2013立命館大　理系（2月2日）　数学４

第４問

　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{49}{2}\end{align*}}$　　　　ホ 2　　　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{2}\end{align*}}$　　　　ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(n+\frac{50}{n}\right)-1\end{align*}}$　　　　ム 5　　　　

　　メ 10　　　　モ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{13}{2}\end{align*}}$　　　　ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt N\end{align*}}$　　　　ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt N-1\end{align*}}$　　　

【解説】

　(1)
　　　　カードに書かれている番号をAとする。

　　　(a)の場合
　　　　　　商品券の枚数は、Aに等しいので、その期待値は、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{0+1+2+\ldots +48+49}{50}=\frac{(0+49)\cdot 50\cdot \frac{1}{2}}{50}=\frac{49}{2}\end{align*}}$　････ヘ
　　　(b)の場合
　　　　　　5000円の商品券の枚数は、Aを5で割ったときの
　　　　　　商に等しく、1000円の商品券の枚数は、Aを5で
　　　　　　割ったときの余りに等しい。
　　　　　　Aを5で割った余りは0、1、2、3、4の場合があり、
　　　　　　それぞれ10通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(0+1+2+3+4\right)\times 10}{50}=2\end{align*}}$　　････ホ
　　　　　　Aを5で割った商は0～9の場合があり、
　　　　　　それぞれ5通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(0+1+2+\ldots +9\right)\times 5}{50}=\frac{(0+9)\cdot 10\cdot \frac{1}{2}\cdot 5}{50}=\frac{9}{2}\end{align*}}$　　････マ
　　　(c)の場合
　　　　　　(b)の場合と同じように考えると、
　　　　　　1000×n円の商品券の枚数は、Aをnで割ったときの
　　　　　　商に等しく、1000円の商品券の枚数は、Aをnで
　　　　　　割ったときの余りに等しい。
　　　　　　Aをnで割った余りは0～n－1の場合があり、
　　　　　　それぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{50}{n}\end{align*}}$ 通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+\ldots +(n-1)\right\}\times \frac{50}{n}}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(n-1)\cdot n\cdot\frac{1}{2}\times \frac{50}{n}}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n-1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　また、Aをnで割った商は0～ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{50}{n}-1\end{align*}}$ の場合があり、
　　　　　　それぞれn通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+2+\ldots +\left(\frac{50}{n}-1\right)\right\}\times n}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(\frac{50}{n}-1\right)\cdot \frac{50}{n}\cdot\frac{1}{2}\times n}{50}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{50-n}{2n}\end{align*}}$ ．
　　　　　　よって、商品券の枚数の合計は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{2}+\frac{50-n}{2n}=\frac{1}{2}\left(n+\frac{50}{n}\right)-1\end{align*}}$　←ミ
　　　　　　となり、この値をE₅₀とする。
　　　　　　　(ⅰ) n=1、50のとき、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{50}=\frac{1}{2}\left(1+50\right)-1=\frac{49}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　(ⅱ) n=2、25のとき、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{50}=\frac{1}{2}\left(2+25\right)-1=\frac{25}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　(ⅲ) n=5、10のとき、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_{50}=\frac{1}{2}\left(5+10\right)-1=\frac{13}{2}\end{align*}}$
　　　　　　となるので、E₅₀の値は、(ⅲ)の場合が最小となる。････ムメモ

　(2)
　　　(c)の場合と同じように考えると、
　　　Aをnで割った余りは0～n－1の場合があり、
　　　それぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{n}\end{align*}}$ 通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+\ldots +(n-1)\right\}\times \frac{N}{n}}{N}=\frac{n-1}{2}\end{align*}}$
　　　また、Aをnで割った商は0～ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{n}-1\end{align*}}$ の場合があり、
　　　それぞれn通りずつ考えられるので、その期待値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left\{0+1+2+\ldots +\left(\frac{N}{n}-1\right)\right\}\times n}{N}=\frac{N-n}{2n}\end{align*}}$ ．
　　　よって、枚数の合計の期待値をE_Nとすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_N=\frac{n-1}{2}+\frac{N-n}{2n}=\frac{1}{2}\left(n+\frac{N}{n}\right)-1\end{align*}}$ ．
　　　ここでn＞0より、相加･相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_N\geqq \sqrt{n\cdot\frac{N}{n}}-1=\sqrt N-1\end{align*}}$
　　　であり、等号が成立するのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=\frac{N}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=\sqrt N\ (>0)\end{align*}}$
　　　のときである。
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n=\sqrt N\end{align*}}$ のときE_Nは、最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt N-1\end{align*}}$ をとる。　････ヤユ

　　徐々に一般化していくわけですが、それまでの結果から類推していきましょう。　　

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2018/12/03(月) 01:08:00|

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