第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ
記号のついた の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない。
(1) p、qを実数の定数とし、3次方程式
x3+px+q=0 ････(＊)
を考える。(＊)が2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ iを解に持つならば、p= ア である。
また、(＊)が2重解を持ち、p、qがp+q=－1を満たすならば、
p= イ または ウ である。ただし、 イ ＜ ウ とする。
(2) 2つの関数f(x)=logx－1、g(x)=xについて、積f(x)g(x)の
導関数は エ であり、商 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (x)}{g\ (x)}\end{align*}}$ の導関数は オ である。
(3) log2(x－1)+log2(x－2)=2の解は カ である。また、
(log2x)2+2log2x－8=0の2つの解のうち小さい方は キ
である。
(4) 1から9までの数字が1つずつ書いてあるカードが、それぞれ1枚ずつ、
合計9枚ある。この中から3枚のカードを取り出し、書かれた数字の
小さい方から順にa、b、cとする。a、b、cがすべて偶数である確率は
ク であり、a、b、cが連続した数字である確率は ケ である。
また、a=4である確率は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア －9 イ －3 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf －\frac{3}{4}\end{align*}}$ エ logx オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-\log x}{x^2}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt{17}}{2}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{16}\end{align*}}$ ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{21}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{42}\end{align*}}$
とりあえず答えだけです。
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第2問
数列{an}の初項から第n項までの和SnがSn=4n3+6n2－n（n≧1）
で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) 数列{an}の一般項を求めよ。
(2) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^na_{2k}\end{align*}}$ を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{T_n}{S_n}\end{align*}}$ を求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf U_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{a_{k}}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
n=1のとき
a1=S1=4+6－1=9
n≧2のとき
an=Sn－Sn-1
=(4n3+6n2－n)－{4(n－1)3+6(n－1)2－(n－1)}
=12n2－3 ．
これはn=1のときも成り立つ。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{12(n+1)^2-3-(12n^2-3)}{\sqrt{12(n+1)^2-3}+\sqrt{12n^2-3}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{12(2n+1)}{\sqrt{12(n+1)^2-3}+\sqrt{12n^2-3}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{12\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{12\left(1+\frac{1}{n}\right)^2-\frac{3}{n^2}}\ +\ \sqrt{12-\frac{3}{n^2}}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{12\cdot 2}{\sqrt{12}+\sqrt{12}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sqrt3\ }\end{align*}}$ ．
(3)
(1)より
a2n=12･(2n)2－3=48n2－3
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^n(48k^2-3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =48\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n-1)-3n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\left\{16n^2+24n+5\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n(4n+1)(4n+5)\ }\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{T_n}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(4n+1)(4n+5)}{4n^3+6n^2-n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(4+\frac{1}{n}\right)\left(4+\frac{5}{n}\right)}{4+\frac{6}{n}-\frac{1}{n^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\cdot 4}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4\ }\end{align*}}$ ．
(4)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{12k^2-3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{n}{3(2n+1)}\ }\end{align*}}$ ．
これも基本的な問題なので、落としちゃダメです。
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第3問
空間内に3点A(5，0，0)、B(0，3，0)、C(3，6，0)がある。
次の問いに答えよ。
(1) 点PをP(x，y，z)とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP}\end{align*}}$ を成分で表せ。
(2) 点Pが $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot (2\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP})=0\end{align*}}$ を満たしながら動くとき、点Pは、
ある球面上にあることを示せ。また、その球面の中心Qの
座標と半径rを求めよ。
(3) △ABCの面積Sを求めよ。
(4) 点Pが(2)で求めた球面上を動くとき、四面体PABCの体積V
の最大値を求めよ。ただし、4点P、A、B、Cが同一平面上に
あるときはV=0とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた座標より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=(x\ ,\ y\ ,\ z)-(0\ ,\ 3\ ,\ 0)=(x\ ,\ y-3\ ,\ z)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=(x\ ,\ y\ ,\ z)-(3\ ,\ 6\ ,\ 0)=(x-3\ ,\ y-6\ ,\ z)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP}=2(x\ ,\ y-3\ ,\ z)+(x-3\ ,\ y-6\ ,\ z)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (3x-3\ ,\ 3y-12\ ,\ 3z)\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=(x\ ,\ y\ ,\ z)-(5\ ,\ 0\ ,\ 0)=(x-5\ ,\ y\ ,\ z)\end{align*}}$
なので、内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot (2\overrightarrow{\sf BP}+\overrightarrow{\sf CP})=(3x-3)(x-5)+(3y-12)y+3z^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-6x+y^2-4y+z^2+5=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-3)^2+(y-2)^2+z^2=8\end{align*}}$
となるので、点P(x，y，z)は、中心(3，2，0)、半径$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt2\end{align*}}$ の
球面上にある。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(-5\ ,\ 3\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(-2\ ,\ 6\ ,\ 0)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=(-5)^2+3^2+0=34\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AC}|^2=(-2)^2+6^2+0=40\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=10+18+0=28\end{align*}}$ ．
よって、△ABCの面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{34\cdot 40-28^2}=\underline{\ 12\ }\end{align*}}$
(4)
四面体PABCの△ABCを底面として考える。
3点A、B、Cおよび球の中心Qはすべてxy平面上にあるので、
PQ⊥△ABCとなるとき、高さが最大になり、その値は球の
半径に等しい。
よって、体積Vの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{1}{3}\cdot12\cdot 2\sqrt2=\underline{\ 8\sqrt2\ }\end{align*}}$ ．
(4)で球の中心Qが平面ABC上にあることに気づけば、問題ないでしょう。
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第4問
関数f(x)=sin2x+2sinx （0≦x≦2$\small\sf{\pi}$ ）に対して、曲線y=f(x)
をCとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 点A($\small\sf{\pi}$ ，f($\small\sf{\pi}$ ))における曲線Cの接線Lの方程式を求めよ。
(2) f(x)の増減を調べ、極値とそのときのxの値を求めよ。
(3) 曲線Cの凹凸を調べよ。また、変曲点の座標を求めよ。
(4) 接線Lの方程式をy=g(x)とするとき、
g(x)≦y≦f(x)、 $\small\sf{\pi}$ ≦x≦2$\small\sf{\pi}$
で表される領域の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
f’(x)=2sinxcosx+2cosx
=2cosx(sinx+1)
なので、点Aにおける接線Lの方程式は、
y－f($\scriptsize\sf{\pi}$ )=f’($\scriptsize\sf{\pi}$ )(x－$\scriptsize\sf{\pi}$ )
⇔ y=－2(x－$\scriptsize\sf{\pi}$ )
(2)(3)
(1)で求めたf’(x)が0になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$
のときである。
また、第2次導関数は、
f”(x)=－2sinx(sinx+1)+2cos2x
=－2sinx(sinx+1)+2(1－sin2x)
=－2(sinx+1)(2sinx－1)
となるので、これが0になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5\pi}{6}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$
のときである。
これらより、f(x)の増減・凹凸は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で極大値3
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ で極小値－1
をとり、変曲点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5}{4}\right)\ \ ,\ \ \left(\frac{5\pi}{6}\ ,\ \frac{5}{4}\right)\ }\end{align*}}$
である。
(4)
(3)より、Cの概形は右図のようになるので、
求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\pi}^{2\pi}\left\{\left(\sin^2x+2\sin x\right)+2\left(x-\pi\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi}^{2\pi}\left(\frac{1-\cos 2x}{2}+2\sin x+2x-2\pi\right)dx\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x-2\cos x+x^2-2\pi x\right]_{\pi}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\pi-2+4\pi^2-4\pi^2\right)-\left(\frac{\pi}{2}+2+\pi^2-2\pi^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi^2+\frac{\pi}2{-4}\ }\end{align*}}$.
丁寧に計算しましょう。
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