第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ
記号のついた の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない。
(1) xが方程式 cos2x－3sinx+1=0 （0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）の解であるとき、
t=sinxとおくと、tは2次方程式 ア =0の解である。したがって、
x= イ である。また、x= イ のとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ = ウ
である。
(2) z=1+2i、w=1－2iのとき、
z2+w2= エ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{w}{z^2}+\frac{z}{w^2}\end{align*}}$ = オ
である。ただし、i2=－1である。
(3) 関数f(x)についてf(a)=p、f’(a)=qが成り立つとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\ (a+2h)-f\ (a)}{h} \end{align*}}$ = カ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left\{f\ (a+h)\right\}^2-\left\{f\ (a)\right\}^2}{h} \end{align*}}$ = キ
である。
(4) 3個のサイコロを同時に投げるとき、少なくとも1個のサイコロに
偶数の目が出る確率は ク であり、3個のサイコロの目の和が
6となる確率は ケ である。また、3個のサイコロの出た目の和
が7以上となる確率は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 2t2+3t－2 イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\end{align*}}$ エ －6 オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{22}{25}\end{align*}}$
カ 2q キ 2pq ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{8}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{108}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{49}{54}\end{align*}}$
とりあえず解答だけですが・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/06(木) 02:05:20|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2013(全学)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
pを正の実数とし、
x2－(2p＋4)x＋y2＋2p2y＋p4－p3＋7p2－5p＝0
で表される円をCとするとき、次の問いに答えよ。
(１) pがすべての正の実数値をとって変化するとき、円Cの中心の
軌跡を求めよ。
(２) 円Cの半径の最小値とそのときのpの値を求めよ。
(３) (２)で求めたpの値に対して、原点O(0，0)、点A(4，3)と円C
上を動く点Bの3点でできる△OABの面積をSとするとき、Sの
とりうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式を平方完成すると、
{x－(p+2)}2+(y+p2)2=p3－6p2+9p+4
となるので、中心の座標を（X，Y)とすると、
X=p+2、 Y=－p2 ．
これらからpを消去すると、
Y=－(X－2)2
となり、p＞0よりx＞2である。
よって、頂点の軌跡は、
放物線y=－(x－2)2のx＞2の部分である。
(2)
pの関数f(p)を
f(p)=p3－6p2+9p+4 （p＞0）
とおくと、導関数は、
f’(p)=3p2－12p+9
=3(p－1)(p－3)
となるので、f(p)の増減は次のようになる。
円Cの半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{f\ (p)}\end{align*}}$ となるので、
p=3のとき、半径は最小となり、その値は2である。
(3)
p=3のとき、Cは
(x－5)2+(y+9)2=4
となり、中心をD(5，－9)とする。
直線OAの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{3}{4}x\ \ \Leftrightarrow\ \ 3x-4y=0\end{align*}}$
であり、中心Dから直線OAまでの距離とdとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|15+36|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{51}{5}\end{align*}}$ ．
よって、円C上の点Bから直線OAまでの距離をhとすると、
hの最大値=d+半径
hの最小値=d－半径
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{41}{5}\leqq h\leqq \frac{61}{5}\end{align*}}$ ････①
また、線分OAの長さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=\sqrt{4^2+3^2}=5\end{align*}}$
なので、△OABの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}OA\cdot h=\frac{5}{2}h\end{align*}}$
として求めることができる。これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{41}{2}\leqq S\leqq \frac{61}{2}\ }\end{align*}}$
となる。
急いでいるので図は省略です・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/06(木) 02:06:03|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2013(全学)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
△ABCの内部にある点Oが $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ を満たし、正の実数
s、t、uが
$\small\sf{\begin{align*} \sf s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
を満たすとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=-\frac{s}{t+u}\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ とするとき、点Dは辺BC上にあることを示せ。
また、BD：DCを求めよ。
(2) 2点E、Fが $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=-\frac{t}{s+u}\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}=-\frac{u}{s+t}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ をそれぞれ満たすと
する。このとき、 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OD}|=|\overrightarrow{\sf OE}|=|\overrightarrow{\sf OF}|\end{align*}}$ ならばs=t=uであることを示せ。
(3) s=t=uであるとし、 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=r\end{align*}}$ とおく。このとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=0\end{align*}}$ であることを示し、また△ABCの面積をrを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
条件式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OA}=-\frac{t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}}{s}\end{align*}}$ ････①
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=-\frac{s}{t+u}\left(-\frac{t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}}{s}\right)=\frac{t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}}{t+u}\end{align*}}$
となるので、DはBCをu：tの比に内分する点である。
(2)
条件式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OD}|=|\overrightarrow{\sf OE}|=|\overrightarrow{\sf OF}|\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|-\frac{s}{t+u}\overrightarrow{\sf OA}\right|=\left|-\frac{t}{s+u}\overrightarrow{\sf OB}\right|=\left|-\frac{u}{s+t}\overrightarrow{\sf OC}\right|\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ および s、t、u＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s}{t+u}=\frac{t}{s+u}=\frac{u}{s+t}\end{align*}}$ ．
前の2項について、分母を払うと
s2+su=t2+tu
⇔ (s+t)(s－t)+u(s-t)=0
⇔ (s+t+u)(s－t)=0
となり、s、t、u＞0なので、s=t．
後ろの2項についても同様に考えると、t=uとなるので、
s=t=u
である。
(3)
s=t=uのとき、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\left(-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf OB}|^2-|\overrightarrow{\sf OC}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\ \ \ \left(\because \ |\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\right)\end{align*}}$ .
一方、t=uなので、(1)より点Dは辺BCの中点となる。
同様に、E、Fもそれぞれ辺CA、ABの中点となるので、
3本の中線AD、BE、CFの交点Oは△OABの重心となる。
また、OA=OB=OCより、点Oは△ABCの外心でもある。
重心と外心が一致するので、△ABCは正三角形であり、
∠AOB=120°となる。
△AOBに余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB^2=r^2+r^2-2r^2\cos 120^{\circ}=3r^2\ \ \Leftrightarrow\ \ AB=\sqrt3 r\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
よって、正三角形ABCの面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt3 r\right)^2\cdot \sin 60^{\circ}=\underline{\ \frac{3\sqrt3}{4}\ r^2\ \ }\end{align*}}$
もちろん(3)はベクトルの内積を計算していっても構いません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/06(木) 02:07:51|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2013(全学)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x) = \sqrt{x}\ (x-6)\end{align*}}$ （x≧0）に対して、曲線y=f(x)をCとする。このとき、
次の問いに答えよ。
(1) f(x)の増減を調べ、極値とそのときのxの値を求めよ。また曲線Cの
x＞0の部分の凹凸を調べよ。
(2) p＞0とする。曲線C上の点(p，f(p))における接線とy軸との交点の
y座標を求めよ。
(3) 曲線Cに点A(0，－10)から引いた接線Lの方程式を求めよ。
(4) 曲線Cと接線Lおよびy軸とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt x\left(x-6\right)=x^{\frac{3}{2}}-6x^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
より、第1次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}}=\frac{3(x-2)}{2\sqrt x}\end{align*}}$ ．
となり、
0＜x＜2で、f’(x)＜0
x=2で、f’(x)=0
2＜xで、f’(x)＞0
なので、x=2 で極小値をとり、
その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=\sqrt 2\left(2-6\right)=\underline{\ -4\sqrt 2\ }\end{align*}}$ ．
また、第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}}=\frac{3(x+2)}{4x\sqrt x}\end{align*}}$
となるので、x＞0の範囲で常にf”(x)＞0となる。
よって、x＞0の範囲でCは常に下に凸である。
(2)
(1)より、点(p，f(p)))における接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sqrt p(p-6)=\frac{3(p-2)}{2\sqrt p}(x-p)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{3(p-2)}{2\sqrt p}\ x-\frac{1}{2}\sqrt p(p+6)\end{align*}}$
となるので、接線のy切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{2}\sqrt p(p+6)\ }\end{align*}}$
である。
(3)
(2)で求めたy切片が－10なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\sqrt p(p+6)=-10\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt p\right)^3-6\sqrt p-20=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sqrt p-2\right)\left\{\left(\sqrt p\right)^2+2\sqrt p+10\right\}=0\end{align*}}$ ．
ここで、pは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt p=2\ \ \Leftrightarrow\ \ p=4\end{align*}}$ ．
このとき接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{3}{2}\ x-10\ }\end{align*}}$
(4)
(1)よりCは下に凸な曲線なので、CはLより常に上側にある。
よって、C、L、y軸で囲まれた面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^4\left\{\sqrt x(x-6)-\left(\frac{3}{2}\ x-10\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-4x^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{4}x^2+10x\right]_0^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{5}\cdot 2^5-4\cdot 2^3-\frac{3}{4}\cdot 4^2+40\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{44}{5}\ }\end{align*}}$
計算が面倒ですな・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/06(木) 02:08:27|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2013(全学)
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
