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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013関西学院大 理系(全学部日程) 数学1



第1問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ
  記号のついた    の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない。

 (1) xが方程式 cos2x-3sinx+1=0 (0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )の解であるとき、
    t=sinxとおくと、tは2次方程式 ア  =0の解である。したがって、
    x= イ  である。また、x= イ  のとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$ = ウ 
    である。

 (2) z=1+2i、w=1-2iのとき、
         z2+w2= エ  、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{w}{z^2}+\frac{z}{w^2}\end{align*}}$ = オ 
    である。ただし、i2=-1である。

 (3) 関数f(x)についてf(a)=p、f’(a)=qが成り立つとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\ (a+2h)-f\ (a)}{h} \end{align*}}$ = カ 
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left\{f\ (a+h)\right\}^2-\left\{f\ (a)\right\}^2}{h} \end{align*}}$ = キ 
    である。

 (4) 3個のサイコロを同時に投げるとき、少なくとも1個のサイコロに
    偶数の目が出る確率は ク  であり、3個のサイコロの目の和が
    6となる確率は ケ  である。また、3個のサイコロの出た目の和
    が7以上となる確率は コ である。




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  1. 2018/12/06(木) 02:05:20|
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2013関西学院大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

  pを正の実数とし、
      x2-(2p+4)x+y2+2p2y+p4-p3+7p2-5p=0
  で表される円をCとするとき、次の問いに答えよ。

 (1) pがすべての正の実数値をとって変化するとき、円Cの中心の
    軌跡を求めよ。

 (2) 円Cの半径の最小値とそのときのpの値を求めよ。

 (3) (2)で求めたpの値に対して、原点O(0,0)、点A(4,3)と円C
    上を動く点Bの3点でできる△OABの面積をSとするとき、Sの
    とりうる値の範囲を求めよ。




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2013関西学院大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

  △ABCの内部にある点Oが $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$ を満たし、正の実数
  s、t、uが
         $\small\sf{\begin{align*} \sf s\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}+u\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
  を満たすとする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=-\frac{s}{t+u}\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ とするとき、点Dは辺BC上にあることを示せ。
    また、BD:DCを求めよ。

 (2) 2点E、Fが $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=-\frac{t}{s+u}\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}=-\frac{u}{s+t}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ をそれぞれ満たすと
    する。このとき、 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OD}|=|\overrightarrow{\sf OE}|=|\overrightarrow{\sf OF}|\end{align*}}$ ならばs=t=uであることを示せ。

 (3) s=t=uであるとし、 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|=r\end{align*}}$ とおく。このとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=0\end{align*}}$ であることを示し、また△ABCの面積をrを用いて表せ。



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2013関西学院大 理系(全学部日程) 数学4



第4問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf f (x) = \sqrt{x}\ (x-6)\end{align*}}$ (x≧0)に対して、曲線y=f(x)をCとする。このとき、
  次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の増減を調べ、極値とそのときのxの値を求めよ。また曲線Cの
    x>0の部分の凹凸を調べよ。

 (2) p>0とする。曲線C上の点(p,f(p))における接線とy軸との交点の
    y座標を求めよ。

 (3) 曲線Cに点A(0,-10)から引いた接線Lの方程式を求めよ。

 (4) 曲線Cと接線Lおよびy軸とで囲まれる部分の面積Sを求めよ。




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  1. 2018/12/06(木) 02:08:27|
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