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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2006大阪市立大 理系数学1



第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) x≧0のとき、不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{2}x^2\leqq \log (1+x)\leqq x\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 次の極限値
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right) \end{align*}}$
    を求めよ。




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  1. 2013/02/17(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2006
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2006大阪市立大 理系数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\ ,\ \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ のときsin2x=sin3xが成り立つことを示せ。

 (2) 等式sin3x=(4cos2x-1)sinxを示せ。

 (3) cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\end{align*}}$ 、cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (4) 区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ において、2曲線y=sin2x、y=sin3xで
    囲まれた図形の面積を求めよ。




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  1. 2013/02/18(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2006
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2006大阪市立大 理系数学3



第3問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1\\ \sf -a^2& \sf 2a\end{pmatrix}\ ,\ P=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf p& \sf q \end{pmatrix}\end{align*}}$ とするとき,次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf b&\sf 0\\ \sf 0& \sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$ について、AP=PBが成り立っているものとする。
    このとき、Pは逆行列をもたないことを示せ。

 (2) nを自然数とするとき、次の等式が成り立つことを示せ。
    ただしEは2次の単位行列とする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A^{n+1}=(n+1)a^nA-na^{n+1}E\end{align*}}$

 (3) Pは逆行列をもち、自然数kに関して
          $\small\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}A^kP=\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
    が成り立つものとする。このとき、kは2以上で、
    a=x=y=0であることを示せ。




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  1. 2013/02/19(火) 23:57:00|
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2006大阪市立大 理系数学4



第4問

  a、b、c3人がプレイヤーとなり、下の図のような三角形の上で
  次の規則に従って、ゲームを行う。
           図04
   ・まず最初はaは頂点Aを出発点とし、bは頂点Bを、cは頂点Cを
    出発点とする.
   ・各プレイヤーはそれぞれ硬貨を持ち、みな同時に各自の硬貨を
    投げて、表が出たときは、図の矢印の向きに隣の頂点に移動し、
    裏が出たときは、そのまま頂点にとどまることにする。
   ・この移動によって、ある頂点において2人がいっしょになったときは、
    前からとどまっていた方がこのゲームから抜けることにする。
    その後は、残った2人で同様のゲームを続けるものとする。
   ・このような硬貨投げを繰り返し行い、最後の1人になるまで残った
    者をこのゲームの優勝者とする。
  n回までの硬貨投げの結果では優勝者が決まらずに、三角形上に
  3人とも残っている確率をpn、三角形上に2人が残っている確率を
  qnとする。次の問いに答えよ。

 (1) qn+1をpnとqnを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ pn+1+qn+1をpnとqnを用いて表せ。

 (3) pnとqnを求めよ。

 (4) n回までの硬貨投げの結果では優勝者が決まらずに、
    (n+1)回目の硬貨投げの結果で優勝者が決まる確率を求めよ。




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  1. 2013/02/20(水) 23:57:00|
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