第1問
次の問いに答えよ。
(1) x≧0のとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{2}x^2\leqq \log (1+x)\leqq x\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) 次の極限値
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right) \end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x≧0において、xの関数f(x)、g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\log (1+x)-\left(x-\frac{1}{2}x^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=x-\log (1+x)\end{align*}}$
とおくと、それぞれの導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x}{1+x}\geqq 0\end{align*}}$
となるので、f(x)、g(x)ともに、x≧0において
単調に増加する。
これと、f(0)=g(0)=0より、
x≧0において常にf(x)≧0、g(x)≧0が成り立つ。
よって、x≧0のとき、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{1}{2}x^2\leqq \log (1+x)\leqq x\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)
(1)より、任意の自然数kに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4}\leqq \log \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\leqq \frac{k}{n^2}\end{align*}}$
が成り立つので、k=1、2、･･･、nの場合の不等式を
辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{2n^4}\right)\leqq \sum_{k=1}^n\log \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\leqq \sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2}-\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2n^4}\leqq \sum_{k=1}^n\log \left(1+\frac{k}{n^2}\right)\leqq \sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{1}{n^2}\cdot\frac{1}{2}n(n+1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2n^4}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\frac{1}{2n^4}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ．
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)=\underline{\ \frac{1}{2}\ } \end{align*}}$ ．
(1)で示した不等式を使って、「はさみうち」です。
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- 2013/02/17(日) 23:57:00|
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) x=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\ ,\ \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ のときsin2x=sin3xが成り立つことを示せ。
(2) 等式sin3x=(4cos2x-1)sinxを示せ。
(3) cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\end{align*}}$ 、cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ の値を求めよ。
(4) 区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\end{align*}}$ ≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ において、2曲線y=sin2x、y=sin3xで
囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sin3x-\sin2x\end{align*}}$
とおくと、和→積の公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=2\cos\frac{5x}{2}\ \sin\frac{x}{2}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{\pi}{5}\right)=\cos\frac{\pi}{2}\ \sin\frac{\pi}{10}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{3\pi}{5}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}\ \sin\frac{3\pi}{10}=0\end{align*}}$ ．
よって、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\ ,\ \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ のときsin2x=sin3xが成り立つ。
(2)
3倍角の公式より、
sin3x=3sinx－4sin3x
=3sinx－4sinx(1－cos2x)
=(4cos2x－1)sinx
となるので、題意は示された。
(3)
x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{5}\ ,\ \frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ のとき、(1)、(2)より
sin2x=sin3x=(4cos2x－1)sinx．
倍角公式より
2sinxcosx=(4cos2x－1)sinx．
両辺をsinx（≠0）で割って整理すると、
4cos2x－2cosx－1=0
⇔ cosx=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1\pm\sqrt5}{4}\end{align*}}$ .
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt5}{4}\ \ \ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\cos\frac{3\pi}{5}=\frac{1-\sqrt5}{4}\ \ \ (<0)\ }\end{align*}}$
(4)
2曲線y=sin2x、y=sin3xの位置関係は
右図のようになるので、囲まれた図形の
面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\pi/5}^{3\pi/5}\left(\sin 2x-\sin 3x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{3}\cos 3x\right]_{\pi/5}^{3\pi/5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\cos\frac{6\pi}{5}+\frac{1}{3}\cos\frac{9\pi}{5}+\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{5}-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{5}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{6\pi}{5}=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\frac{\pi}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{9\pi}{5}=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{5}\right)=\cos\frac{\pi}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{2\pi}{5}=\cos\left(\pi-\frac{3\pi}{5}\right)=-\cos\frac{3\pi}{5}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{5}+\frac{1}{3}\cos\frac{\pi}{5}-\frac{1}{2}\cos\frac{3\pi}{5}-\frac{1}{3}\cos\frac{3\pi}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{6}\left(\cos\frac{\pi}{5}-\cos\frac{3\pi}{5}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{6}\left(\frac{1+\sqrt5}{4}-\frac{1-\sqrt5}{4}\right)\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5\sqrt5}{12}\ }\end{align*}}$ ．
うまく誘導に乗っていきましょう！
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- 2013/02/18(月) 23:57:00|
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第3問
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1\\ \sf -a^2& \sf 2a\end{pmatrix}\ ,\ P=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf p& \sf q \end{pmatrix}\end{align*}}$ とするとき，次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf b&\sf 0\\ \sf 0& \sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$ について、AP=PBが成り立っているものとする。
このとき、Pは逆行列をもたないことを示せ。
(2) nを自然数とするとき、次の等式が成り立つことを示せ。
ただしEは2次の単位行列とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf A^{n+1}=(n+1)a^nA-na^{n+1}E\end{align*}}$
(3) Pは逆行列をもち、自然数kに関して
$\small\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}A^kP=\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
が成り立つものとする。このとき、kは2以上で、
a=x=y=0であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
AP=PBより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1\\ \sf -a^2& \sf 2a\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf p& \sf q \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf p& \sf q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf b&\sf 0\\ \sf 0& \sf c\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix} \sf p&\sf q\\ \sf -a^2+2ap& \sf -a^2+2aq\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf b&\sf c\\ \sf bp& \sf cp\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
両辺の(1，1)成分および(2，1)成分を比較すると、
p=b かつ －a2+2ap=bp
であり、これらからbを消去すると、
a2－2ap+p2=(a－p)2=0
⇔ p=a ．
同様に、両辺の(1，2)成分、(2，2)成分を比較すると、
q=c かつ －a2+2aq=cq
⇔ q=a
となるので、
p=q=a ････①
これより、Pのデターミナントを計算すると、
detP=q－p=0
となるので、Pの逆行列は存在しない。
(2)
任意の自然数nに対して
An+1=(n+1)anA－nan+1E ････(※)
となることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－2aA+a2E=O
⇔ A2=2aA－a2E ････②
となるのでOK
(ⅱ) n=kのとき(※)を満たすと仮定すると、
Ak+1=(k+1)akA－kak+1E ････③
n=k+1のとき
Ak+2
=AAk+1
=(k+1)akA2－kak+1A ←③より
=(k+1)ak(2aA－a2E)－kak+1A ←②より
=(2k+2)ak+1A－(k+1)ak+2E－kak+1A
=(k+2)ak+1A－(k+1)ak+2E
となるので、n=k+1のときも(※)は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して(※)となるので、
題意は示された。
(3)
k=1のとき与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ AP=P\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できるが、x=b、y=cとみなすと、
(1)で示した「Pの逆行列が存在しない」ことに矛盾する。
よって、kは2以上である。
このとき、与式に(2)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}\left\{ka^{k-1}A-(k-1)a^kE\right\}P=\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････④
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ka^{k-1}AP=(k-1)a^kP+P\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =P\begin{pmatrix} \sf (k-1)a^k&\sf 0\\ \sf 0& \sf (k-1)a^k\end{pmatrix}+P\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =P\begin{pmatrix} \sf (k-1)a^k+x&\sf 0\\ \sf 0& \sf (k-1)a^k+y\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
ここで、a≠0と仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=P\cdot\frac{1}{ka^{k-1}}\begin{pmatrix} \sf (k-1)a^k+x&\sf 0\\ \sf 0& \sf (k-1)a^k+y\end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できるが
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{(k-1)a^k+x}{{ka^{k-1}}}\ \ ,\ \ c=\frac{(k-1)a^k+y}{{ka^{k-1}}}\end{align*}}$
とみなすと、
(1)で示した「Pの逆行列が存在しない」ことに矛盾する。
よって、a=0である。
これを④に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}OP=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0\\ \sf 0& \sf 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf x&\sf 0\\ \sf 0& \sf y\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=y=0\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(3)は、証明の方向性が見えにくいかもしれませんね・・・
上では背理法2連発で証明しています。
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- 2013/02/19(火) 23:57:00|
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第4問
a、b、c3人がプレイヤーとなり、下の図のような三角形の上で
次の規則に従って、ゲームを行う。
・まず最初はaは頂点Aを出発点とし、bは頂点Bを、cは頂点Cを
出発点とする．
・各プレイヤーはそれぞれ硬貨を持ち、みな同時に各自の硬貨を
投げて、表が出たときは、図の矢印の向きに隣の頂点に移動し、
裏が出たときは、そのまま頂点にとどまることにする。
・この移動によって、ある頂点において2人がいっしょになったときは、
前からとどまっていた方がこのゲームから抜けることにする。
その後は、残った2人で同様のゲームを続けるものとする。
・このような硬貨投げを繰り返し行い、最後の1人になるまで残った
者をこのゲームの優勝者とする。
n回までの硬貨投げの結果では優勝者が決まらずに、三角形上に
3人とも残っている確率をpn、三角形上に2人が残っている確率を
qnとする。次の問いに答えよ。
(1) qn+1をpnとqnを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ pn+1+qn+1をpnとqnを用いて表せ。
(3) pnとqnを求めよ。
(4) n回までの硬貨投げの結果では優勝者が決まらずに、
(n+1)回目の硬貨投げの結果で優勝者が決まる確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
n回コインを投げた段階で、三角形上に残っているプレーヤーの
人数を M(n)人とする。
(1)
・M(n)=3の状態で、n+1回目にコインを投げたとき
「3枚とも表」または「3枚とも裏」であれば、
M(n+1)=3となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}\right)p_n=\frac{1}{4}\ p_n\end{align*}}$ ････①
それ以外の場合はすべてM(n+1)=2となる。
・M(n)=2の状態で、n+1回目にコインを投げたとき
後ろにいるプレーヤーが表を出し、
前にいるプレーヤーが裏を出せば、
M(n+1)=1となって優勝者が決まる。 ････(ア)
それ以外の場合はすべてM(n+1)=2となる。
以上より、M(n+1)=2となる確率qn+1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n+1}=\left(1-\frac{1}{4}\right)p_n+\left(1-\frac{1}{2^2}\right)q_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ q_{n+1}=\frac{3}{4}\left(p_n+q_n\right)\ }\end{align*}}$ ．････②
(2)
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\ p_{n+1}+q_{n+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{4}\ p_n+\frac{3}{4}\left(p_n+q_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{4}\left(\frac{3}{2}\ p_n+q_n\right)\ }\end{align*}}$ ．
(3)
まず題意より、
p0=1、q0=0 ････③
である。
①より、数列{pn}は、公比$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=1\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^n=\underline{\ \left(\frac{1}{4}\right)^n\ }\end{align*}}$
また、②より、
数列$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{3}{2}\ p_n+q_n\right\}\end{align*}}$ は公比$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ の等比数列となり、
③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\ p_0+q_0=\frac{3}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\ p_n+q_n=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q_n=\frac{3}{2}\left\{\left(\frac{3}{4}\right)^n-p_n\right\}=\underline{\ \frac{3}{2}\left\{\left(\frac{3}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\ }\end{align*}}$ ．
(4)
題意を満たすのは、(ア)の場合なので、
求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ q_n=\underline{\ \frac{1}{6}\left\{\left(\frac{3}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{4}\right)^n\right\}\ }\end{align*}}$ ．
である。
p0、q0が分かりにくければ、p1、q1を求めてもOKです。
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- 2013/02/20(水) 23:57:00|
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