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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011同志社大 理系(全学部日程) 1



第1問
 (1) 定数A、B、Cを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-2}\end{align*}}$
    が成立するように選ぶと、
       A= ア 、B= イ 、C= ウ 
    である。したがって
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)}dx\end{align*}}$ = エ 
    である。

 (2) 3個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の最大値が5以下になる
    確率は オ 、4以下になる確率は カ である。
    これより、出る目の最大値がちょうど6になる確率は キ 、ちょうど
    5になる確率は ク である。
    したがって、3個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の最大値の
    期待値は ケ である。
   




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  1. 2018/12/12(水) 02:01:00|
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2011同志社大 理系(全学部日程) 2



第2問


  原点をOとする座標平面内で行列
      $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c & \sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
  の表す1次変換を考える。このfによって、P(1,0)、Q(0,1)が移る点を
  それぞれP’、Q’とすると、線分OP’と線分OQ’の長さが等しいとする。
  また、fによって、点(1,2)はそれ自身に移るとする。次の問に答えよ。

 (1) a、cの満たす条件を求めよ。また、この条件を満たす図形をac平面に
    図示せよ。

 (2) 1次変換fによって、点R(1,1)が移る点をR’とする。また、線分OR’の
    長さをrとする。rの最大値および最小値とそのときのa、cの値、および
    点R’の座標をそれぞれ求めよ。





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  1. 2018/12/13(木) 02:02:00|
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2011同志社大 理系(全学部日程) 3



第3問


  座標空間の原点Oを中心とする半径1の球面上に異なる3点A、B、C
  を取り、
      $\small\sf{\alpha}$ =∠AOC、$\small\sf{\beta}$ =∠BOC、$\small\sf{\theta}$ =∠AOB
  とおく。ただし、点Cの座標は(0,0,1)とし、$\small\sf{0\lt\alpha\leqq\pi\ ,\ \ 0\lt\beta\leqq\pi\ ,\ \ 0\lt\theta\leqq\pi}$
  とする。次の問に答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=(a_1,a_2,a_3)\end{align*}}$ とするとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_3\ \ ,\ \ \sqrt{a_1^{\ \ 2}+a_2^{\ \ 2}}\end{align*}}$ 
    を$\small\sf{\alpha}$ で表せ。
    また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}=(b_1,b_2,b_3)\end{align*}}$ とするとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf b_3\ \ ,\ \ \sqrt{b_1^{\ \ 2}+b_2^{\ \ 2}}\end{align*}}$ 
    を$\small\sf{\beta}$ で表せ。

 (2) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\cos(\alpha+\beta)}$ の大小を判定せよ。
    ただし、等号成立条件は述べなくてもよい。

 (3) 上の(2)の結果を用いて、$\small\sf{\theta}$ と$\small\sf{\alpha+\beta}$ の大小を判定せよ。
    ただし、等号成立条件は述べなくてもよい。




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  1. 2018/12/14(金) 02:03:00|
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2011同志社大 理系(全学部日程) 4



第4問


  数列
    $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\sqrt2\ \ ,\ \ a_2=\sqrt2^{\sqrt2}\ \ ,\ \ a_3=\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2}}\ \ ,\ \ a_4=\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2}}}\ \ ,\ \ \ldots\end{align*}}$
  は漸化式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\left(\sqrt2\right)^{a_n}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  を満たしている。
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\left(\sqrt2\right)^{x}\end{align*}}$
  として、次の問に答えよ。

 (1) 0≦x≦2におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。

 (2) 0≦x≦2におけるf’(x)の最大値と最小値を求めよ。

 (3) 0<an<2 (n=1,2,3,・・・)が成立することを数学的帰納法を
    用いて示せ。

 (4) 0<2-an+1<(log2)(2-an) (n=1,2,3,・・・)が成立する
    ことを示せ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow \infty}a_n\end{align*}}$ を求めよ。


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  1. 2018/12/15(土) 02:04:00|
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