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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2007大阪市立大 理系数学1



第1問

  実数a、b、c、dはad=bc、abcd≠0をみたすものとし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf d &\sf -b\\ \sf -c &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおく。また,実数を成分とする次の正方行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix}\sf x &\sf y\\ \sf z &\sf w\end{pmatrix}\end{align*}}$ 
  は零行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf O=\begin{pmatrix}\sf 0 &0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ではなく、AX=XA=Oをみたすもの
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) XはBの実数倍であることを示せ。

 (2) 実数を成分とする2次の正方行列YがXY=YX=Oを
    みたせば、YはAの実数倍であることを示せ。




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  1. 2013/02/09(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2007
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2007大阪市立大 理系数学2



第2問

  a、bは定数とする。関数f(x)=x4+ax3+bx2について、
  次の問いに答えよ.

 (1) f(x)がx=0で極値をとるための必要十分条件は、
    b≠0またはa=b=0であることを示せ。

 (2) f(x)がx=0で極値をとり、さらに0以外のxで極値をとる
    ための必要十分条件をa、bを用いて表せ。





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  1. 2013/02/10(日) 23:57:00|
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2007大阪市立大 理系数学3



第3問

  次の問いに答えよ.

 (1) 次の不定積分を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int x\sin 2x \ dx\end{align*}}$

 (2) 次の不定積分を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int x^2\cos^2x \ dx\end{align*}}$

 (3) 媒介変数$\small\sf{\theta}$ により
         x=$\small\sf{\theta}$ sin$\small\sf{\theta}$ 、 y=$\small\sf{\theta}$ cos$\small\sf{\theta}$   (0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )
    と表された下図のような曲線とx軸で囲まれた図形の面積を
    求めよ。

        図07
解答はこちら↓

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  1. 2013/02/11(月) 23:57:00|
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2007大阪市立大 理系数学4



第4問

  a>0とする。xy平面において、点A(a,a2)における放物線y=x2
  接線をLとする。第1象限に中心を持ち、点Aで直線Lと接する円のうち、
  x軸とも接する円をC1、y軸とも接する円をC2とする。円C1の中心を
  P1、円C1とx軸との接点Qとし、円C2の中心をP2、円C2とy軸との
  接点をQ2とする。直線Lとx軸との交点をR1、直線Lとy軸との交点を
  R2とし、∠P1R1Q1=$\small\sf{\theta}$ とおく。次の問いに答えよ。

 (1) Q2R2=2Q1R1を示せ。

 (2) P1Q1=P2Q2となるときのtan$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
 
 (3) P1Q1=P2Q2となるようなaの値を求めよ。




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  1. 2013/02/12(火) 23:57:00|
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