第1問
実数a、b、c、dはad=bc、abcd≠0をみたすものとし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf d &\sf -b\\ \sf -c &\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおく。また，実数を成分とする次の正方行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix}\sf x &\sf y\\ \sf z &\sf w\end{pmatrix}\end{align*}}$
は零行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf O=\begin{pmatrix}\sf 0 &0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ではなく、AX=XA=Oをみたすもの
とする。次の問いに答えよ。
(1) XはBの実数倍であることを示せ。
(2) 実数を成分とする2次の正方行列YがXY=YX=Oを
みたせば、YはAの実数倍であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf x &\sf y\\ \sf z &\sf w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf ax+bz &\sf ay+bw\\ \sf cx+dz &\sf cy+dw\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0&0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf XA=\begin{pmatrix}\sf x &\sf y\\ \sf z &\sf w\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf ax+cy &\sf bx+dy\\ \sf az+cw &\sf bz+dw\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････②
abcd≠0よりd≠0なので、
①において、両辺の(2，1)成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf cx+dz=0\ \ \Leftrightarrow\ \ z=-\frac{c}{d}\ x\end{align*}}$
②において、両辺の(1，2)成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf bx+dy=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{b}{d}\ x\end{align*}}$
また、①の(1，1)成分と②の(2，2)成分より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax+bz=bz+dw=0\ \ \Leftrightarrow\ \ w=\frac{a}{d}\ x\end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf x&\sf -\frac{b}{d}\ x \\ \sf -\frac{c}{d}\ x & \sf \frac{a}{d}\ x \end{pmatrix}=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a\end{pmatrix}=\frac{x}{d}\ B\end{align*}}$
となるので、XはBの実数倍である。
逆にこのとき、ad=bcより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a\end{pmatrix}=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf ad-bc&\sf -ab+ab \\ \sf cd-cd & \sf -bc+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AX=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf ad-bc&\sf bd-bd \\ \sf -ac+ac & \sf -bc+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\begin{pmatrix}\sf p &\sf q\\ \sf r &\sf s\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf XY=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s\end{pmatrix}=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf dp-br&\sf dq-bs \\ \sf -cp+ar & \sf -cq+as\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf YX=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf p&\sf q \\ \sf r & \sf s\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a\end{pmatrix}=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf dp-br&\sf dq-bs \\ \sf -cp+ar & \sf -cq+as\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････④
abcd≠0よりa≠0なので、
③において、両辺の(2，1)成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -cp+ar=0\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{c}{a}\ p\end{align*}}$
④において、両辺の(1，2)成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -bp+aq=0\ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{b}{a}\ p\end{align*}}$
また、③の(2，2)成分と④の(1，1)成分より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -cq+as=dp-cq=0\ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{d}{a}\ p\end{align*}}$
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\begin{pmatrix} \sf p&\sf \frac{b}{a}\ p \\ \sf \frac{c}{a}\ p & \sf \frac{d}{a}\ p \end{pmatrix}=\frac{p}{a}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d\end{pmatrix}=\frac{p}{a}\ A\end{align*}}$
となるので、YはAの実数倍である。
逆にこのとき、ad=bcより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf XY=\frac{px}{ad}\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d\end{pmatrix}=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf ad-bc&\sf bd-bd \\ \sf -ac+ac & \sf -bc+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf YX=\frac{px}{ad}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a\end{pmatrix}=\frac{x}{d}\begin{pmatrix} \sf ad-bc&\sf -ab+ab \\ \sf cd-cd & \sf -bc+ad\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)は(1)と同じなので、もう少し誤魔化す手もあるんでしょうけどね・・・
PCだとコピーするのが簡単なんですよ（笑）
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- 2013/02/09(土) 23:57:00|
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第3問
次の問いに答えよ．
(1) 次の不定積分を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int x\sin 2x \ dx\end{align*}}$
(2) 次の不定積分を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int x^2\cos^2x \ dx\end{align*}}$
(3) 媒介変数$\small\sf{\theta}$ により
x=$\small\sf{\theta}$ sin$\small\sf{\theta}$ 、 y=$\small\sf{\theta}$ cos$\small\sf{\theta}$ (0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）
と表された下図のような曲線とx軸で囲まれた図形の面積を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x\sin 2x \ dx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}\int \cos 2x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x+C}\end{align*}}$ （Cは積分定数）
(2)
半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x^2\cos^2x \ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int x^2\ dx+\frac{1}{2}\int x^2\cos 2x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}\left\{x^2\cdot\frac{1}{2}\sin 2x-\int2x\cdot\frac{1}{2}\sin 2x\ dx\right\}\end{align*}}$ ←部分積分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{4}x^2\sin 2x-\frac{1}{2}\int x\sin 2x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{4}x^2\sin 2x-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}x\cos 2x+\frac{1}{4}\sin 2x\right)+C\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}x^3+\frac{1}{4}x^2\sin 2x+\frac{1}{4}x\cos 2x-\frac{1}{8}\sin 2x+C\ }\end{align*}}$ （Cは積分定数）
(3)
x=$\scriptsize\sf{\theta}$ sin$\scriptsize\sf{\theta}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\sin \theta+\theta\cos\theta\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x: 0\rightarrow\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ に対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta: 0\rightarrow\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ y\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta\cos\theta\cdot\left(\sin \theta+\theta\cos\theta\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta\sin\theta\cos\theta\ d\theta+ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta^2\cos\theta\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta\sin 2\theta\ d\theta+ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta^2\cos\theta\ dt\end{align*}}$
これに(1)、(2)の結果を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\bigg[\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\theta\cos 2\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta\right)+\frac{1}{6}\theta^3+\frac{1}{4}\theta^2\sin 2\theta+\frac{1}{4}\theta\cos 2\theta-\frac{1}{8}\sin 2\theta\bigg]_0^{\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{6}\theta^3+\frac{1}{4}\theta^2\sin 2\theta\bigg]_0^{\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi^3}{48}\ }\end{align*}}$ ．
面倒ですが頑張って計算しましょう！
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第4問
a＞0とする。xy平面において、点A(a，a2)における放物線y=x2の
接線をLとする。第1象限に中心を持ち、点Aで直線Lと接する円のうち、
x軸とも接する円をC1、y軸とも接する円をC2とする。円C1の中心を
P1、円C1とx軸との接点Qとし、円C2の中心をP2、円C2とy軸との
接点をQ2とする。直線Lとx軸との交点をR1、直線Lとy軸との交点を
R2とし、∠P1R1Q1=$\small\sf{\theta}$ とおく。次の問いに答えよ。
(1) Q2R2=2Q1R1を示せ。
(2) P1Q1=P2Q2となるときのtan$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(3) P1Q1=P2Q2となるようなaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=x2の導関数は、y’=2xとなるので、
A(a，a2)における接線Lの方程式は、
y－a2=2a(x－a) ⇔ y=2ax－a2．
Lとx軸およびy軸との交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_1\left(\frac{a}{2}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ R_2\left(0\ ,\ -a^2\right)\end{align*}}$
となるので、R1はAR2の中点となる。
また、円外の点から引いた2本の接線の長さは
等しいので、
R1A=R1Q1、 R2A=R2Q2．
これらより、
Q2R2=AR2=2AR1=2Q1R1
となり、題意は示された。
(2)
△P1Q1R1、△P2Q2R2において、
P1Q1=Q1R1tan$\scriptsize\sf{\theta}$
P2Q2=Q2R2tan∠P2Q2R2．
題意より、P1Q1=P2Q2なので、
Q1R1tan$\scriptsize\sf{\theta}$ =Q2R2tan∠P2Q2R2
であり、(1)を代入すると、
Q1R1tan$\scriptsize\sf{\theta}$ =2Q1R1tan∠P2Q2R2
⇔ tan$\scriptsize\sf{\theta}$ =2tan∠P2Q2R2 ････①
ここで、
2∠P2Q2R2
=∠R1R2O
=90°－∠OR1R2 ←OR1R2の内角の和
=90°－∠AR1Q1 ←対頂角
=90°－2$\scriptsize\sf{\theta}$
⇔ ∠P2Q2R2=45°－$\scriptsize\sf{\theta}$
なので、①より、
tan$\scriptsize\sf{\theta}$ =2tan(45°－$\scriptsize\sf{\theta}$ ) ．
これに加法定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=2\cdot\frac{\tan 45^{\circ}-\tan\theta}{1+\tan 45^{\circ}\tan\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan^2\theta+3\tan\theta-2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=\underline{\ \frac{-3+\sqrt{17}}{2}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ．
(3)
∠AR1Q1=2$\scriptsize\sf{\theta}$ であり、Lの傾きは2aなので、
tan2$\scriptsize\sf{\theta}$ =2a．
倍角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\end{align*}}$
となり、(2)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}{1-\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{2}\right)^2}=\underline{\ \frac{9+\sqrt{17}}{16}\ }\end{align*}}$ ．
(2)で角度をいじるところが思いつきにくいかもしれません
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- 2013/02/12(火) 23:57:00|
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