第1問
Oを原点とする座標平面上に点A(3，3)、B(1，2)、C(p，q)がある。
2次正方行列Lの表す1次変換fは、AをAに移し、BをCに移す。
(1) Lをp、qを用いて表せ。
(2) CがBと異なり、fがCをBに移すとき、線分BCの中点Mが直線
OA上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1次変換fによって、AがAに、BがCに移るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L\binom{\sf 3}{3}=\binom{\sf 3}{3}\ \ ,\ \ L\binom{\sf 1}{2}=\binom{\sf p}{q}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ L\begin{pmatrix}\sf 3&\sf 1\\ \sf 3 &\sf 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 3 &\sf p\\ \sf 3 &\sf q\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････①
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\begin{pmatrix}\sf 3 &\sf 1\\ \sf 3 &\sf 2\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおくと、デターミナントは
detS=6－3=3≠0
となるので、逆行列S-1が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -1 \\ \sf -3 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
①の両辺に右からS-1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf p \\ \sf 3 & \sf q \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -1 \\ \sf -3 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\begin{pmatrix} \sf -3p+6&\sf 3p-3 \\ \sf -3q+6 & \sf 3q-3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix}\sf -p+2 &\sf p-1\\ \sf -q+2 &\sf q-1\end{pmatrix}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
fによってCがBに移るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf -p+2 &\sf p-1\\ \sf -q+2 &\sf q-1\end{pmatrix}\binom{\sf p}{q}=\binom{\sf 1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{\sf -p^2+2p+pq-q}{-pq+2p+q^2-q}=\binom{\sf 1}{2}\end{align*}}$ ．
両辺の成分を比較すると、
－p2+2p+pq－q=1 ⇔ (p－1)2－(p－1)q=0
⇔ (p－1)(p－q－1)=0 ･･・･②
－pq+2p+q2－q=2 ⇔ (q－2)(q+1)－(q－2)p=0
⇔ (q－2)(p－q－1)=0 ･･・･③
(ⅰ) p=q+1のとき
線分BCの中点Mは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\left(\frac{p+1}{2}\ ,\ \frac{q+2}{2}\right)=\left(\frac{q+2}{2}\ ,\ \frac{q+2}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、直線OA：y=x上にある。
(ⅱ) p≠q+1のとき
②、③より、p=1 かつ q=2 となり、
このとき、2点B、Cは一致するので不適。
以上より題意は示された。
②、③の変形がすこし難しいかもしれません。
2式
－p2+2p+pq－q=1 と －pq+2p+q2－q=2
の差をとって、
p2－2pq+q2=1 ⇔ (p－q)2=1
⇔ p=q±1
とする手もあります。
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- 2013/03/09(土) 23:57:00|
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第2問
P(x)は実数を係数とするxの4次式で、x4の係数は1であり、
次の条件(i)および(ii)を満たしている。
(ⅰ) P(x)とその導関数P’(x)は、実数を係数とする
共通の2次式で割り切れる。
(ⅱ) すべての実数xに対してP(x)≧2が成り立ち、
x=0のとき等号が成り立つ。
P(x)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d
とおくと、
P’(x)=4x3+3ax2+2bx+c．
条件(ⅱ)より、P(x)はx=0で極小値2をとるので、
P(0)=d=2 かつ P’(0)=c=0
である必要がある。
P(x)、P’(x)がともに二次式x2+px+qで割り切れるとし、
そのときの商をそれぞれ、x2+rx+s、4x+tとおくと、
P(x)=x4+ax3+bx2+2=(x2+px+q)(x2+rx+s)
P’(x)=4x3+3ax2+2bx+c=(x2+px+q)(4x+t)
となる。
それぞれの右辺を展開して、係数を比較すると、
p+r=a ････①
q+pr+s=b ････②
ps+qr=0 ････③
qs=2 ････④
4p+t=3a ････⑤
4q+pt=2b ････⑥
qt=0 ････⑦
まず、④よりq≠0なので、⑦より t=0 ････⑧
①、⑤、⑧より、aを消去すると、
p=3r ････⑨
②、⑥、⑧、⑨より、b、pを消去すると、
q=3r2+s ････⑩
③、⑨、⑩よりp、qを消去すると、
r(3r2+4s)=0 ････⑪
を得る。
3r2+4s=0のとき、⑩より
q=－4s+s=－3s
となり、これと④より
qs=－3s2=2．
これを満たす実数sは存在しないので、3r2+4s≠0である。
よって、⑪よりr=0であり、このとき、⑨、⑩より
p=0 かつ q=s ．
④より
qs=q2=2
なので、
q=s=－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ または q=s=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ．
(ア) q=s=－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ のとき
P(x)=(x2－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )2
P’(x)=4x(x2－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )
となるので、P(x)の増減は次のようになる。
これは条件(ⅱ)に反するので不適である。
(イ) q=s=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ のとき
P(x)=(x2+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )2
P’(x)=4x(x2+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )
となるので、P(x)の増減は次のようになる。
これは条件(ⅱ)を満たす。
以上より、求めるP(x)は
P(x)=(x2+$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )2
である。
細かい計算が面倒ですが、うまく文字を消していきましょう。
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- 2013/03/10(日) 23:57:00|
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第3問
xy平面上に曲線C：y=xex がある。aを正の実数とし、数列xn
（n=1、2、3，･･･）は次の条件(i)および(ii)を満たしている。
(ⅰ) x1=aである。
(ⅱ) C上の点(xn，xnexn)における接線とx軸の交点の
x座標はxn+1である。
(1) xn＞0（n=1、2、3，･･･）であることを示し、xn+1をxnの式
として求めよ。
(2) xn+1＜xn（n=1、2、3，･･･）であることを示せ。
(3) xn+1≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{a+1}\end{align*}}$ xn（n=1、2、3，･･･）であることを示せ。
(4) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{x_{n+2}-x_{n+1}}{(x_n)^2}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=xex の導関数は、
y’=ex +xex =(x+1)ex
となるので、点(xn，xnexn)における接線の方程式は、
y－xnexn=(xn+1)exn(x－xn) ．
これがx軸と点(xn+1，0)で交わるので、
0－xnexn=(xn+1)exn(xn+1－xn)
⇔ (xn+1)xn+1=xn2 ････①
xn＞0（n=1、2、3，･･･）であることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
x1=a＞0 よりOK
(ⅱ) n=kのとき
xk＞0が成り立つとすると、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{k+1}=\frac{x_k^2}{x_k+1}>0\end{align*}}$
となるので、n=k+1のときも成り立つ。
よって、任意の自然数nに対して、xn＞0となる。
これより①の両辺をxn+1（≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+1}=\frac{x_n^2}{x_n+1}\end{align*}}$
を得る。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+1}=\frac{x_n}{x_n+1}\ x_n=\left(1-\frac{1}{x_n+1}\right)\ x_n\end{align*}}$
となり、xn＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{x_n+1}<1\end{align*}}$ ．
両辺にxn（＞0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-\frac{1}{x_n+1}\right)\ x_n\lt x_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_{n+1}\lt x_n\end{align*}}$ ．
(3)
xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{x+1}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}>0\end{align*}}$
となるので、f(x)は単調に増加する。
(2)より、
xn＜xn-1＜････＜x2＜x1=a
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x_n)\leqq f\ (a)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x_n}{x_n+1}\leqq \frac{a}{a+1}\end{align*}}$ ．
両辺にxn（＞0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x_n^2}{x_n+1}\leqq \frac{a}{a+1}\ x_n\ \ \Leftrightarrow\ \ x_{n+1}\leqq \frac{a}{a+1}\ x_n\end{align*}}$ ．
(4)
(3)の不等式は任意の自然数nに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x_{n}\leqq \frac{a}{a+1}\ x_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x_{n-1}\leqq \frac{a}{a+1}\ x_{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x_{3}\leqq \frac{a}{a+1}\ x_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x_{2}\leqq \frac{a}{a+1}\ x_1\end{align*}}$
となり、これらの両辺を辺々かけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x_n\leqq \left(\frac{a}{a+1}\right)^{n-1}x_1\end{align*}}$ ････②
ここで、a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{a}{a+1}<1\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a}{a+1}\right)^{n-1}x_1=0 \end{align*}}$ ．
②において、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n=\underline{\ 0\ }\end{align*}}$ ････③
また、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{n+2}-x_{n+1}=\frac{x_{n+1}^2}{x_{n+1}+1}-x_{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x_{n+1}^2-x_{n+1}(x_{n+1}+1)}{x_{n+1}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-x_{n+1}}{x_{n+1}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-\frac{x_n^2}{x_n+1}}{\frac{x_n^2}{x_n+1}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-x_n^2}{x_n^2+x_n+1}\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{x_{n+2}-x_{n+1}}{(x_n)^2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{-1}{x_n^2+x_n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-1}{0+0+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -1\ }\end{align*}}$ ．
最後の極限が少しヤヤコシイですね。
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- 2013/03/11(月) 23:57:00|
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第4問
(1) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(\sin x\right)^3 dx\end{align*}}$ の値を求めよ。
(2) 自然数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{m\pi}\left|\sin x\right|^3 dx\end{align*}}$ をmを用いて表せ。
(3) 自然数nに対して、整数mがm$\small\sf{\pi}$ ≦n＜(m+1)$\small\sf{\pi}$ を満たすとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{m\pi}^{n}\left|\sin x\right|^3 dx\leqq \int_0^{\pi}\left(\sin x\right)^3 dx\end{align*}}$
および
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\pi}-\frac{1}{n}\leqq \frac{m}{n}\leqq\frac{1}{\pi}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(4)極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \int_0^{1}\left|\sin nx\right|^3 dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
t=cosxとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-\sin x\end{align*}}$
であり、x：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、t：1→－1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(\sin x\right)^3 dx=\int_1^{-1}\left(\sin x\right)^3\cdot\frac{dt}{-\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^1\left(\sin x\right)^2\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^1\left(1-t^2\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[t-\frac{1}{3}t^3\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}}\end{align*}}$ ．
(2)
関数y=|sinx|は周期$\scriptsize\sf{\pi}$ の周期関数なので、
関数y=|sinx|3も周期$\scriptsize\sf{\pi}$ の周期関数となる。････①
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{m\pi}\left|\sin x\right|^3dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =m\int_0^{\pi}\left|\sin x\right|^3dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =m\int_0^{\pi}\left(\sin x\right)^3dx\end{align*}}$ ←0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ で常にsinx≧0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4m}{3}\ }\end{align*}}$ ． ←(1)より
(3)
m$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦(m+1)$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で常に|sinx|3≧0なので、
m$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦n≦(m+1)$\scriptsize\sf{\pi}$ のnに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{m\pi}^n\left|\sin x\right|^3dx\leqq \int_{m\pi}^{(m+1)\pi}\left|\sin x\right|^3dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left|\sin x\right|^3dx\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(\sin x\right)^3dx\end{align*}}$ ←0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ で常にsinx≧0
また、
m$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦n≦(m+1)$\scriptsize\sf{\pi}$
の両辺をn$\scriptsize\sf{\pi}$ （＞0)で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m}{n}\leqq \frac{1}{\pi}<\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\pi}-\frac{1}{n}<\frac{m}{n}\leqq \frac{1}{\pi}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(4)
定積分Sを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{1}\left|\sin nx\right|^3 dx\end{align*}}$
とおく。 t=nxと置換すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=n\end{align*}}$
であり、x:0→1のとき、t：0→nとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{n}\left|\sin t\right|^3 \frac{dt}{n}\ \ \Leftrightarrow\ \ \int_0^{n}\left|\sin t\right|^3 dt=nS\end{align*}}$ ････②
(3)の前半より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \int_{m\pi}^{n}\left|\sin x\right|^3 dx\leqq \int_0^{\pi}\left(\sin x\right)^3 dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \int_{0}^{n}\left|\sin x\right|^3 dx-\int_0^{m\pi}\left|\sin x\right|^3 dx\leqq \frac{4}{3}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq nS-\frac{4m}{3}\leqq \frac{4}{3}\end{align*}}$ ←(2)と②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4}{3}\cdot\frac{m}{n}\leqq S\leqq \frac{4}{3}\left(\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4}{3}\left(\frac{1}{\pi}-\frac{1}{n}\right)< S\leqq \frac{4}{3}\left(\frac{1}{\pi}+\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$ ←(3)の後半より
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ S=\frac{4}{3\pi}\ }\end{align*}}$ ．
(4)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\int_{m\pi}^{n}\left|\sin x\right|^3 dx=\int_{0}^{n}\left|\sin x\right|^3 dx-\int_0^{m\pi}\left|\sin x\right|^3 dx\ }\end{align*}}$
にさえ気づけば、(1)～(3)の結論をそのまま使うだけです。
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- 2013/03/12(火) 23:57:00|
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