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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011京都工芸繊維大 後期 数学1



第1問

  p、qはp>0、q>0を満たす実数とする。xy平面上の2点
        A(p-q,(p-q)2)、B(p+q,(p+q)2)
  を考える。線分ABの中点をMとし、線分ABの垂直二等分線と
  x軸、y軸との交点をそれぞれC(c,0)、D(0,d)とする。

 (1) c、dをp、qを用いて表せ。

 (2) AB=CMが成り立つためのp、qについての必要十分条件を
    求めよ。また、その条件を満たす点(p,q)全体の集合をpq
    平面上に図示せよ。

 (3) AB=CMが成り立つとき、dのとりうる値の範囲を求めよ.




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  1. 2013/03/05(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2011
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2011京都工芸繊維大 後期 数学2



第2問

  2以上の自然数nに対して、関数$\small\sf{\sf f_n(x)=(\sin x)^n}$ を考える。

 (1) 曲線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=f_n(x)\ \ \left(0\lt x\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ には変曲点がただ一つ存在することを
    示せ。また,その変曲点のy座標ynを求めよ.

 (2) (1)で求めたynについて極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ y_n\end{align*}}$ を求めよ。ただし、
           $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow\ 0}\ \left(1+h\right)^{\frac{1}{h}}=e\end{align*}}$
    であることを用いてよい.



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  1. 2013/03/06(水) 23:57:00|
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2011京都工芸繊維大 後期 数学3



第3問

  Aは0<A<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす定数とする。

 (1) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_A^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos x\right)\log \left(\sin x\right)\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^A\left(\cos x\right)\log \left(\cos x\right)\ dx\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2013/03/07(木) 23:57:00|
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2011京都工芸繊維大 後期 数学4



第4問

  xy平面上の点(x,y)でxとyがともに整数であるものを格子点とよぶ。
  0以上の整数kに対して、|x|+|y|=kを満たす格子点(x,y)の個数を
  akとする.

 (1) ak(k=0,1,2,・・・)を求めよ。

 (2) nを0以上の整数とする。|x|+|y|≦nを満たす格子点(x,y)の全体を
       (x1,y1)、(x2,y2),・・・・,(xL,yL)
    とするとき、L個の数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^{|x_1|+|y_1|},\ \left(\frac{1}{3}\right)^{|x_2|+|y_2|},\ \ldots\ ,\ \left(\frac{1}{3}\right)^{|x_L|+|y_L|}\end{align*}}$
    の総和Snを求めよ。




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  1. 2013/03/08(金) 23:57:00|
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