FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012京都工芸繊維大 後期 数学1



第1問

  aを実数とする。すべての実数xで定義された関数
         f(x)=|x|(e2x+a)
  はx=0で微分可能であるとする。

 (1) aおよびf’(0)の値を求めよ。

 (2) 導関数f’(x)はx=0で連続であることを示せ。

 (3) 右側極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{f\ '(x)}{x}\end{align*}}$を求めよ。さらに、f’(x)はx=0で
    微分可能でないことを示せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/03/01(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:1

2012京都工芸繊維大 後期 数学2



第2問

  Oを原点とするxyz空間において3つのベクトル
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(1\ ,\ 2\ ,\ 3)\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=(2\ ,\ 1\ ,\ 0)\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=(0\ ,\ 2\ ,\ 0)\end{align*}}$
  を考える。
  2つの連続関数f(s)、g(s)(0≦s≦1)はf(s)>0、g(s)>0
  (0≦s≦1)を満たすとする。各実数s(0≦s≦1)に対して、
  3点Ps、Qs、Rs
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_s}=s\ \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf P_sQ_s}=f\ (s)\ \overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf P_sR_s}=g\ (s)\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
  で定める。sが0≦s≦1の範囲を動くとき,三角形PsQsRs
  周および内部が通過してできる立体をVで表す。

 (1) tを実数とする。平面z=tと立体Vが共有点をもつような
    tの範囲を求めよ。その範囲にあるtに対して、平面z=tで
    立体Vを切ったときの断面積A(t)をtの式で表せ。

 (2) 関数f(s)、g(s)が次の式で与えられるとき,Vの体積を
    求めよ。
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (s)=1+s\ \ ,\ \ g\ (s)=\frac{1}{1+s^2}\ \ \ (0\leqq s\leqq 1)\end{align*}}$



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/03/02(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012京都工芸繊維大 後期 数学3



第3問

  0<a<1とする。表の出る確率がaであり、裏の出る確率が1-a
  であるようなコインがある。xy平面において点A0(1,0)を考える。
  2以上の自然数nに対し、n個の点Ak(k=1,2,・・・,n)を次の
  規則(*)で順に定める.

  規則(*)
    点Ak-1が定まったとき、このコインを投げて、
   (i)表が出れば、Ak-1を原点を中心として反時計まわりに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$
     だけ回転した点をAkとし、
   (ii)裏が出れば、Ak-1を通り直線y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ xに垂直な直線と、
     直線y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ xとの交点をAkとする。

  次の事象Enの起こる確率をpnで表す。
    En:n-1個の点A1、・・・、An-1は第1象限にあり、点An
       y軸上にある。(座標軸は第1象限に含まれていない。)
  このとき,次の問いに答えよ.

 (1) p2、p3、p4を求めよ。

 (2) n≧5のとき、pnを求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/03/03(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012京都工芸繊維大 後期 数学4



第4問

  2つの数列SN(N=1,2,3,・・・)、IN(n=0,1,2,・・・)を
  次の式で定める.
       $\small\sf{\begin{align*} \sf S_N=\sum_{k=1}^N\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}\end{align*}}$
       $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 0}\sf =\int_0^1\cos x\ dx\ \ ,\ \ \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^1\frac{(x-1)^{2n}}{(2n)!}\cos x\ dx\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) n=1,2,3,・・・に対し、InをIn-1を用いて表せ。

 (2) N=1,2,3,・・・に対し、関係式SN=I0+(-1)N-1⁢IN
    成り立つことを示せ.

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \rm I_{\sf N}\sf =0\end{align*}}$ が成り立つことを示し、極限$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_N\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/03/04(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 後期 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0