第１問
f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋dとおく。関数y＝f(x)のグラフがy軸と
平行なある直線に関して対称であるとする。このとき、
(１) a、b、c、dが満たす関係式を求めよ。
(２) 関数f(x)は2つの2次関数の合成関数になっていることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
y＝f(x)の対称軸をx＝tとし、y＝f(x)のグラフをx軸方向に
－tだけ平行移動したものをy＝g(x)とすると、
g(x)＝f(x＋t)
＝(x＋t)4＋a(x＋t)3＋b(x＋t)2＋c(x＋t)＋d
＝x4＋(4t＋a)x3＋(6t2＋3at＋b)x2
＋(4t3＋3at2＋2bt＋c)x＋t4＋at3＋bt2＋ct＋d
となり、g(x)はy軸について対称なので、g(x)は偶関数である。
よって、
4t＋a＝0 かつ 4t3＋3at2＋2bt＋c＝0．
これらよりtを消去して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a^3-4ab+8c=0\ }\end{align*}}$
となり、これが求める条件である。
(２)
(１)のとき、
g(x)＝x4＋(6t2＋3at＋b)x2＋t4＋at3＋bt2＋ct＋d
となり、
A＝6t2＋3at＋b
B=t4＋at3＋bt2＋ct＋d
とおくと、
g(x)＝x4＋Ax2＋t4＋B
と表すことができる。
y＝f(x)のグラフは、y＝g(x)のグラフをx軸方向に＋tだけ平行移動
したものなので、
f(x)＝g(x－t)
＝(x－t)4＋A(x－t)2＋B
となる。
ここで、2つの2次関数p(x)、q(x)を
p(x)＝(x－t)2
q(x)＝x2＋Ax＋B
とおくと、f(x)は、
f(x)＝{p(x)}2＋Ap(x)＋B
＝q(p(x))
のように、2つの2次関数の合成関数として表される。
よって、題意は示された。
対称軸がy軸になるように平行移動すると考えやすいと思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/04(木) 04:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2006
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
xyz座標空間において、原点をOとし、3点A(6，0，0)、B(0，6，0)、
C(0，0，6)をとる。OA、OB、OCを辺にもつ立方体をKとし、3点C、
D(0，6，2)、E(3，6，0)を通る平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。このとき、立方体K
の内部にある平面$\small\sf{\alpha}$ の部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
F(6，6，0)、G(0，6，6)、H(6，0，6)とおく。
CD延長とy軸との交点をPとすると、
△DCG∽△DPB（相似比2：1）より
BP＝3．
直線PEとAFおよびx軸との交点をそれぞれ
Q、Rとすると、
△PBE∽△EQF∽△QAR であり、
BP＝BE＝EF＝3なので、
FQ＝QA＝AR＝3．
さらに、CRとAHの交点をIとおくと、
△RAI∽△CHI（相似比1：2）より
AI＝2、HI＝4．
平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ のうちでKの内部にあるのは、
右図より五角形CIQEDであり、この面積Sは、
△CRP－△IRQ－△DPE
として求めることができる。
△CRPは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CR=CP=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf PR=\sqrt{9^2+9^2}=9\sqrt2\end{align*}}$
の二等辺三角形であり、PRの中点をMとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CM=\sqrt{\left(3\sqrt{13}\right)^2-\left(\frac{9}{2}\sqrt2\right)^2}=\frac{3}{2}\sqrt{34}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle CRP=\frac{1}{2}\cdot 9\sqrt2\cdot\frac{3}{2}\sqrt{34}=\frac{17}{2}\sqrt{17}\end{align*}}$ ．
また、
△CRP∽△IRQ∽△DEP（相似比3：1：1）なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \triangle IRQ=\triangle DEP=\frac{1}{9}\triangle CRP\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\left(1-\frac{1}{9}-\frac{1}{9}\right)\triangle CRP\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{7}{9}\cdot\frac{17}{2}\sqrt{17}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{21}{2}\sqrt{17}\ }\end{align*}}$ ．
立方体Kを平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ で切った切断面をうまく描けるかの勝負です。
といっても、医学部志望の高校生であれば、この手の問題は
一度ぐらい解いたことがあると思いますが。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/04(木) 04:02:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2006
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
aは定数とし、f(x)＝x3＋2x2＋3x＋4とおく。
関数g(t)（t＞0）は
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{f\ (a+t)-f\ (a)}{t}=f '(a+g(t)\ t)\ \ ,\ \ 0\lt g\ (t)\lt 1\end{align*}}$
を満たしているとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\ g\ (t)\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{f\ (a+t)-f\ (a)}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{\left\{(a+t)^3+2(a+t)^2+3(a+t)+4\right\}-(a^3+2a^2+3a+4)}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{t^3+(3a+2)t^2+(3a^2+4a+3)t}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =t^2+(3a+2)t+(3a^2+4a+3)\end{align*}}$ ．
また、f(x)の導関数は、
f’(x)＝3x2＋4x＋3
となるので、右辺は
f’(a＋g(t)t)
＝3{a＋g(t)t}2＋4{a＋g(t)t}＋3
＝3{g(t)}2t2＋2t(3a+2)g(t)＋3a2＋4a＋3 ．
左辺＝右辺であり、t≠0なので、
t2＋(3a＋2)t＝3{g(t)}2t2＋2t(3a＋2)g(t)
⇔ 2(3a＋2)g(t)＝t＋3a＋2－3{g(t)}2t ････①
(ⅰ) 3a＋2≠0のとき
①は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g\ (t)=\frac{t+3a+2-3\left\{g(t)\right\}^2t}{2(3a+2)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}+\frac{\left(1-3\left\{g(t)\right\}^2\right)t}{2(3a+2)}\end{align*}}$ ････②
となる。
ここで、t＞0なので、
0＜g(t)＜1 ⇔ －2t＜(1－3{g(t)}2)t＜t
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\ (-2t)=\lim_{t\rightarrow +0}\ t=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\ \left(1-3\left\{g(t)\right\}^2\right)t=0\end{align*}}$ ．
これと②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\ g\ (t)=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ ．
(ⅱ) 3a＋2＝0のとき
①は、
0＝t＋0－3{g(t)}2t
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{g\ (t)\right\}^2=\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ g\ (t)=\frac{1}{\sqrt3}\ \ \ (\gt 0)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\ g\ (t)=\underline{\ \frac{1}{\sqrt3}\ }\end{align*}}$ ．
分母＝0になるところで場合分けです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/04(木) 04:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2006
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第４問
(１) 関数f(x)はすべての実数で定義されていて、連続な第2次導関数
f"(x)をもつとする。このとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^x\left\{f (t)+f ''(t)\right\}\sin t\ dt=f (0)-f (x)\cos x+f '(x)\sin x\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(２) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int\ xe^x\sin x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
部分積分を用いて、不定積分を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\left\{f (t)+f ''(t)\right\}\sin t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int f (t)\ \sin t\ dt+\int f ''(t)\ \sin t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int f (t)\ (-\cos t)'\ dt+\int \left\{f '(t)\right\}'\ \sin t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-f (t)\cos t+\int f '(t)\ \cos t\ dt+f '(t)\sin t-\int f '(t)\ \cos t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-f (t)\cos t+f '(t)\sin t+C\end{align*}}$ ････①
（Cは積分定数）となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int_0^x\left\{f\ (t)+f ''(t)\right\}\sin t\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\bigg[-f (t)\cos t+f '(t)\sin t\bigg]_0^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left\{-f (x)\cos x+f '(x)\sin x\right\}-\left\{-f (0)\cos 0+f '(0)\sin 0\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =f (0)-f (x)\cos x+f '(x)\sin x\end{align*}}$ ．
よって、題意は示された。
(２)
a、bを定数としてxの関数f(x)を
f(x)＝(ax＋b)ex
とおくと、第1次および第2次導関数は
f’(x)＝aex＋(ax＋b)ex
＝(ax＋a＋b)ex
f”(x)＝aex＋(ax＋a＋b)ex
＝(ax＋2a＋b)ex
となる。このf(x)が
f(x)＋f”(x)＝xex
⇔ (2ax＋2a＋2b)ex＝xex
を満たすとき、係数を比較すると、
2a＝1 かつ 2a＋2b＝0
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f (x)=\frac{1}{2}(x-1)e^x\ \ ,\ \ f '(x)=\frac{1}{2}xe^x\end{align*}}$ ．
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \int\ xe^x\sin x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-f (x)\cos x+f '(x)\sin x+C\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ -\frac{1}{2}(x-1)e^x\cos x+\frac{1}{2}xe^x\sin x+C\ }\end{align*}}$ ．
この問題は取っつきやすいんじゃないでしょうか。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/04(木) 04:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2006
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
