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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2006京都府立医大 数学1



第1問

  f(x)=x4+ax3+bx2+cx+dとおく。関数y=f(x)のグラフがy軸と
  平行なある直線に関して対称であるとする。このとき、

 (1) a、b、c、dが満たす関係式を求めよ。

 (2) 関数f(x)は2つの2次関数の合成関数になっていることを示せ。




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2006京都府立医大 数学2



第2問

  xyz座標空間において、原点をOとし、3点A(6,0,0)、B(0,6,0)、
  C(0,0,6)をとる。OA、OB、OCを辺にもつ立方体をKとし、3点C、
  D(0,6,2)、E(3,6,0)を通る平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。このとき、立方体K
  の内部にある平面$\small\sf{\alpha}$ の部分の面積を求めよ。




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2006京都府立医大 数学3



第3問

  aは定数とし、f(x)=x3+2x2+3x+4とおく。
  関数g(t)(t>0)は
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{f\ (a+t)-f\ (a)}{t}=f '(a+g(t)\ t)\ \ ,\ \ 0\lt g\ (t)\lt 1\end{align*}}$
  を満たしているとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow +0}\ g\ (t)\end{align*}}$ を求めよ。




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2006京都府立医大 数学4



第4問

 (1) 関数f(x)はすべての実数で定義されていて、連続な第2次導関数
    f"(x)をもつとする。このとき、
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^x\left\{f (t)+f ''(t)\right\}\sin t\ dt=f (0)-f (x)\cos x+f '(x)\sin x\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*}\sf \int\ xe^x\sin x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。




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