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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009関西学院大 理系(A日程) 数学1



第1問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ
  記号のついた    の中に記入せよ.途中の計算を書く必要はない。

 (1) s=sin⁡x、t=cos⁡xとおく。cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\end{align*}}$ とcos⁡3⁢xはsとtの多項式
    を用いて
          cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\end{align*}}$ = ア  、cos3x= イ 
    と表せる。
    ただし ア  イ  はともに、tで割り切れる多項式で、
    tで割るとsだけの多項式になる。
    $\small\sf{\alpha}$ = ウ  とおくと
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}-2\alpha=3\alpha\end{align*}}$
    であり、sin$\small\sf{\alpha}$ = エ  が成り立つ。

 (2) さいころを繰り返し投げる試行を行い、その結果によって次のように
    ポイントを決めていく。最初のポイントを0として、1回投げるごとに
    1または2の目が出たら-1を、3以上の目が出たら1をポイントに
    加算していくものとする。このとき、5回投げた後のポイントが3で
    ある事象は、5回のうち1または2の目が オ  回出る事象と同じで、
    その確率は カ  である。
     次に、ポイントを決めるルールを以下のように変更する。
    最初のポイントを0として,1回投げるごとに1または2の目が出たら
    -1を、3または4の目が出たら1をポイントに加算し、5または6の目が
    出たらポイントを変更しないものとする。このとき、5回投げた後のポイ
    ントが2である事象の確率は、3または4の目が2回、5または6の目が
    3回出る事象の確率 キ  と、1または2の目が ク  回、3または
    4の目が ケ  回出る事象の確率 コ  の和である。また、5回
    投げた後のポイントが0である確率は サ  である。



2009関西学院大 理系(A日程) 数学2



第2問

  a>0とし、xy平面上の2つの曲線C1:y=alogx、C2:y=x2について
  考える。点P(s,alogs)におけるC1の接線をLとするとき、次の問いに
  答えよ。

 (1) Lの方程式を求めよ。

 (2) Lが点PでC2にも接するとき、sとaの値を求めよ。

 (3) sとaは上の(2)で求めた値をとるとする。このとき、C1、C2および
    x軸で囲まれる部分をy軸の周りに1回転して出来る立体の体積Vを
    求めよ。




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2009関西学院大 理系(A日程) 数学3



第3問

  mは2以上の整数でnは4以上の整数とする。x+y=mをみたす1以上の
  整数x、yの組(x,y)の個数をamとし、また、x+y+2z=nをみたす1以
  上の整数x,y,zの組(x,y,z)の個数をbnとする。次の問いに答えよ。

 (1) x+y=4をみたす1以上の整数x、yの組(x,y)をすべて書け。

 (2) amを求めよ。

 (3) x+y+2z=6をみたす1以上の整数x、y、zの組(x,y,z)をすべて
    書け。

 (4) b4、b5、b6、b7を求めよ。

 (5) n≧4のときbnを求めよ.また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{b_n}{n^2}\end{align*}}$ を求めよ。




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2009関西学院大 理系(A日程) 数学4



第4問

  rは正の実数とする。2つの実数x、yに対してp=x+y、q=xyとおく。
  次の問いに答えよ。

 (1) x2+y2=r2のとき、qをpの式で表せ。また、pのとりうる値の範囲を
    求めよ。

 (2) 点(x,y)が円x2+y2=r2の上を動くときの点(p,q)の軌跡をCrとする。
    Crの概形を描け。

 (3) rが1≦r≦2の範囲で変化するとき、Crが通る座標平面上の範囲を
    図示せよ。




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