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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2007大阪府立大 工学部 数学1



第1問

  点Oを原点とする座標空間内に一辺の長さがrの正四面体OABC
  がある。2点O、Aを通る直線L1はベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$=(1,-1,0)と平行
  で、2点B、Cを通る直線L2は点P(1,3,2)を通るとする。
  次の問いに答えよ。

 (1) ベクトルの内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ をrを用いて表せ。

 (2) 点Pから直線L1に垂線をおろし、L1との交点をHとする。
    点Hの座標を求めよ。

 (3) rの値を求めよ。

 (4) 線分BCの中点をMとする。線分OMの長さを求めよ。

 (5) 線分BCの中点Mの座標を求めよ。



 ((1)、(2)、(3)、(4)については計算の過程を記入しなくてよい。)




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  1. 2013/02/25(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2007(工)
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2007大阪府立大 工学部 数学2



第2問

  xy平面上の3点A($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ,0)、B(0,1)、P(X,Y)を原点のまわりに
  $\small\sf{\theta}$ 回転させた点をそれぞれA’、B’、P’とおく。ただし
         $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{4}\ \ ,\ \ X>0\ \ ,\ \ Y>0\end{align*}}$
  とする。次の各問いに答えよ。

 (1) 2点A’、B’を通る方程式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{align*}}$  ・・・・(*)
    で表される楕円が存在するとき、a2、b2を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) (1)において$\small\sf{\theta}$ のとりうる値の範囲を求めよ。

 (3) 3点A’、B’、P’を通る方程式(*)で表される楕円が存在する
    とき、点P(X,Y)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。



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  1. 2013/02/26(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2007(工)
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2007大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  nは2以上の自然数とする。n桁の自然数mを
      m=10n-1an+10n-2an-1+・・・+10a2+a1
  と表す。ただし、ak(k=1,・・・,n-1)は0以上9以下の
  整数であり、anは1以上9以下の自然数とする。
  次の各問いに答えよ.

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{11}\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}a_k\end{align*}}$ が整数であることはmが11で割り切れるための
    必要十分条件であることを証明せよ。

 (2) 自然数L=9876543210123456789は11で割り切れるどうか
    (1)を利用して判定せよ。

 (3) n=19とする。自然数mは
         a19=a1=9、
         a18=a2=8、
         a17=a3=7、
         a10=0
    かつ
         a20-k=ak(k=4,5,6,7,8,9)
    で表されているとする。ただし、a4、a5、a6、a7、a8、a9は相異なる
    1以上6以下の自然数である。このとき,自然数mのうちで11で割り
    切れるものはいくつあるか答えよ。




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  1. 2013/02/27(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2007(工)
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2007大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  nを自然数としてfn(x)=sinx sin2nxとおく。
  次の各問いに答えよ。

 (1) kはk=0,1,・・・,n-1である整数とする。sinx=fn(x)を
    満たす区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{k}{n}\pi\ ,\ \frac{k+1}{n}\pi\right)\end{align*}}$ におけるxを求めよ。

 (2) (1)で求めた解をxkとおく。点(xk,fn(xk))において2曲線
    y=sinxとy=fn(x)は共通の接線をもつことを示せ。

 (3) 積分
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_0^{\pi}\ f_n\ (x)\ dx\end{align*}}$
    を求めよ.

 (4) 3点 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{k}{n}\pi\ ,\ 0\right)\ ,\ \left(x_k\ ,\ f_k\ (x_k)\right)\ ,\ \left(\frac{k+1}{n}\pi\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ を頂点とする三角形の
    面積をTkとする。このとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{S_n}\sum_{k=0}^{n-1}\ T_k\end{align*}}$
    を求めよ.


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  1. 2013/02/28(木) 23:57:00|
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