ア k2 イ j2－2j+2 ウ j エ k－1 オ k
カ 1－j キ 1－j ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}j^3-j^2+\frac{1}{3}j\end{align*}}$
【解説】
自然数の列を、第j群が2j－1個の数を含むように分ける。
1｜2、3、4｜5、6、7、8、9｜10、･･･、16｜17、･･･
また、上からj番目、左からk番目にある数を $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{j,k}\end{align*}}$ と表すことにする。
ただし、1≦j≦n、1≦k≦nである。
(1)
1番上の行には、各群の末項が並ぶので、
第k群の末項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{1,k}=\sum_{i=1}^k\ (2i-1)=\underline{\ k^2\ }\end{align*}}$ ････ア
である。
(2)
上からj番目の行の左端の数は、第j群の初項になる。
(1)より、第j－1の末項は、(j－1)2なので、
第j群の初項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{j,1}=(j-1)^2+1=\underline{\ j^2-2j+2\ }\end{align*}}$ ････イ
となる。
(3)
第j群の数のうち、
1～j番目の数は、上からj行目に横に並び、
j+1～2j－1番目の数は、左からj番目の列に縦に並ぶ。
よって、1≦k≦jのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{j,k}=a_{j,1}+(k-1)\end{align*}}$ ････エ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =j^2-2j+1+k\end{align*}}$
また、j＜k≦nのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{j,k}\end{align*}}$ は第k群の後ろからj番目の数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{j,k}=a_{1,k}-(j-1)=\underline{\ k^2+1-j\ }\end{align*}}$ ････オカ
(4)
最上行の数の和は、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ a_{1,k}=\sum_{k=1}^n\ k^2\end{align*}}$
であり、上からj番目の行にある数の和は、(4)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ a_{j,k}=\sum_{k=1}^j\ \left\{a_{j,1}+(k-1)\right\}+\sum_{k=j+1}^n\ (k^2+1-j)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^j\ \left(j^2-2j+1+k\right)+\sum_{k=1}^n\ (k^2+1-j)-\sum_{k=1}^j\ (k^2+1-j)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^j\ \left(j^2-j+k-k^2\right)+\sum_{k=1}^n\ (k^2+1-j)\end{align*}}$ ．
これらの差は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^j\ \left(j^2-j+k-k^2\right)+\sum_{k=1}^n\ (k^2+1-j)-\sum_{k=1}^n\ k^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^j\ \left(j^2-j+k-k^2\right)+\sum_{k=1}^n\ (1-j)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(j^2-j)j+\frac{1}{2}j(j+1)-\frac{1}{6}j(j+1)(2j+1)+(1-j)n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (1-j)n+\frac{2}{3}j^3-j^2+\frac{1}{3}j\ }\end{align*}}$
これは苦手な人が多そうですね。
