青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2010（全学部）

2010関西大　理系（全学部）　数学１

第1問

　　曲線
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
　　について、次の問いに答えよ。

　(1) 増減、凹凸を調べて、$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\end{align*}}$ のグラフの概形を、解答欄の
　　　座標平面上にかけ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0\end{align*}}$ である。

　(2)　Cの変曲点における接線Lとx軸との交点の座標を求めよ．

　(3) Lを(2)の接線とする。曲線C、直線Lおよびx軸によって囲まれた
　　　部分を、軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\end{align*}}$
　　　とおくと、f(x)の1次導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}-(\log x)\cdot\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{x}=\frac{2-\log x}{2x^{\frac{3}{2}}}\end{align*}}$
　　　となるので、f’(x)=0となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^2\end{align*}}$
　　　のとき。
　　　また、2次導関数は、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{3}{2}}-(2-\log x)\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{x^3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\cdot\frac{-2-3(2-\log x)}{x^{\frac{5}{2}}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{8-3\log x}{4x^{\frac{5}{2}}}\end{align*}}$
　　　となるので、f”(x)=0となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\frac{8}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\frac{8}{3}}\end{align*}}$
　　　のとき。
　　　これらより、増減・凹凸およびグラフの概形は下のようになる。

　　　

　(2)
　　　(1)よりCの変曲点は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(e^{\frac{8}{3}}\ ,\ \frac{8}{3e^{\frac{4}{3}}}\right)\end{align*}}$
　　　であり、この点における接線の傾きは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '\left(e^{\frac{8}{3}}\right)=\frac{2-\frac{8}{3}}{2\left(e^{\frac{8}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{3e^4}\end{align*}}$ ．
　　　よって、変曲点における接線Lの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{8}{3e^{\frac{4}{3}}}=-\frac{1}{3e^4}\left(x-e^{\frac{8}{3}}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{3e^4}x+\frac{3}{e^{\frac{4}{3}}}\end{align*}}$ ．
　　　これにy=0を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{3e^4}x+\frac{3}{e^{\frac{4}{3}}}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=9e^{\frac{8}{3}}\end{align*}}$
　　　となるので、Lとx軸の交点の座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(9e^{\frac{8}{3}}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。

　(3)
　　　曲線C、直線Lおよびx軸によって囲まれた部分は
　　　下図のようになるので、これをx軸の周りに回転
　　　させて得られる回転体の体積は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_1^{e^{\frac{8}{3}}}\left(\frac{\log x}{\sqrt x}\right)^2dx+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{8}{3e^{\frac{4}{3}}}\right)^2\cdot\left(9e^{\frac{8}{3}}-e^{\frac{8}{3}}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_1^{e^{\frac{8}{3}}}\frac{(\log x)^2}{ x}dx+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_1^{e^{\frac{8}{3}}}(\log x)^2(\log x)'\ dx+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{3}(\log x)^3\right]_1^{e^{\frac{8}{3}}}+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3}\left\{\left(\frac{8}{3}\right)^3-0\right\}+\frac{512}{27}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2048}{81}\pi\ }\end{align*}}$

　　数字が少しイヤな感じですが頑張りましょう！　　

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2010関西大　理系（全学部）　数学２

第2問

　　次の　　　をうめよ．

　　xの方程式
　　　　　　　　log₂x+alog_x4－2a=0　････(1)
　　が 1＜x≦8において、解をもつような定数aの範囲を求める
　　問題を考える．これは、log₂x=t とおいて(1)を変形すると、
　　tの2次方程式
　　　　　　　　t²+pt+q=0　　････(2)
　　が
　　　　　　　　　①　＜t≦　②　　････(3)
　　において解をもつような定数aの範囲を求める問題に帰着される。
　　ここでp、qはtを含まない定数であって、
　　　　　　　　p=　③　、q=　④　
　　である。
　　(2)が異なる2つの解をもつとき、そのうちの1つだけが(3)の
　　範囲に存在するときのaの範囲を求めると、　⑤　である。
　　(2)の解がすべて、(3)の範囲に存在するときのaの範囲を
　　求めると、　⑥　である。
　　よって(1)が解をもつようなaの範囲は　⑦　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① 0　　　　② 3　　　　③ －2a　　　　④ 2a　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<0\ ,\ \frac{9}{4}\lt a\end{align*}}$　　　　

　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq a\leqq \frac{9}{4}\end{align*}}$　　　　⑦ a＜0、2≦a　　　

【解説】

　　　log₂xは1＜x≦8において単調に増加するので、　
　　　　　　　　　log₂1＜log₂x≦log₂8
　　　　　　　⇔　0＜t≦3　････①②
　　　また、(1)より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log _2 x+\frac{a\log_2 4}{\log_2 x}-2a=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\log_2 x\right)^2-2a\log_2 x+a\log_2 4=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-2at+2a=0\end{align*}}$
　　　となり、これと(2)の係数を比較すると、
　　　　　　　　　　p=－2a、　q=2a　　････③④
　　　
　　　ここで、tの関数f(t)を
　　　　　　　　f(t)=t²－2at+2a=(t－a)²－a²+2a
　　　とおく。

　　　（ア）(2)がt=3を解にもつとき
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=9-4a=0\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{9}{4}\end{align*}}$
　　　　　　このとき(2)は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-\frac{9}{2}t+\frac{9}{2}=\left(t-3\right)\left(t-\frac{3}{2}\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　となり、他の解は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　　　なので、(3)の範囲に2つの解をもつことになる。

　　　(イ) (2)の2解のうち1つだけが0＜t＜3にあるとき
　　　　　　f(0)とf(3)が異符号であればよいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)\cdot f\ (3)=2a\left(9-4a\right)<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a<0\ ,\ \frac{9}{4}\lt a\ }\end{align*}}$　････⑤　

　　　(ウ) (2)の解がすべて0＜t＜3にあるとき
　　　　　　　　判別式 D/4=a²－2a≧0　⇔　a≦0、2≦a
　　　　　　　　軸　0＜a≦3
　　　　　　　　f(0)=2a＞0　⇔　a＞0
　　　　　　　　f(3)=9－4a＞0　⇔　a＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{4}\end{align*}}$
　　　　　　これらを同時に満たすtの範囲は、　　　　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq a<\frac{9}{4}\end{align*}}$　
　　
　　　よって、(2)の解がすべて(3)の範囲に存在するのは、
　　　(ア)または(ウ)のときなので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\leqq a\leqq \frac{9}{4}\ } \end{align*}}$　････⑥
　　　また、
　　　(1)が解をもつのは(ア)または(イ)または(ウ)のときなので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a<0\ ,\ 2\leqq a\ } \end{align*}}$　････⑦
　　　　　　　　　　

　　グラフを描くと分かりやすいと思います。　　

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2010関西大　理系（全学部）　数学３

第3問

　　Aは2次の正方行列で、A²+E=Oを満たすとする。ただし、
　　Eは単位行列、Oは零行列を表す。a、bを実数として、次の
　　問いに答えよ．

　(1) pA+qE=O（p、qは実数）ならば、p=q=0となることを示せ。

　(2) (aA+bE)³を$\small\sf{\alpha}$ A+$\small\sf{\beta}$ E（$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は実数）の形に表せ。

　(3) (aA+bE)³=Eとなるa、bの組をすべて求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　まず条件式より
　　　　　　　　A²=－E　････(ア)
　　　であり、
　　　　　　　　pA+qE=O　⇔　pA=－qE
　　　の両辺を2乗すると、
　　　　　　　　p²A²=q²E²．
　　　これに(ア)を代入すると、
　　　　　　　　－p²E=q²E²
　　　　　　⇔　(p²+q²)E=O ．
　　　ここで、E≠Oなので、p²+q²=0であり、
　　　p、qは実数であるから、p=q=0となる。

　(2)
　　　AとEは可換なので、
　　　　　　　　(aA+bE)³
　　　　　　　=a³A³+3a²bA²+3ab²A+b³E
　　　　　　　=－a³A－3a²bE+3ab²A+b³E　　←(ア)より
　　　　　　　=(－a³+3ab²)A+(－3a²b+b³)E ．
　　　これと、$\scriptsize\sf{\alpha}$ A+$\scriptsize\sf{\beta}$ Eの係数を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ =－a³+3ab²
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\beta}$ =－3a²b+b³

　(3)
　　　(2)より
　　　　　　　　(aA+bE)³=E
　　　　　　⇔　(－a³+3ab²)A+(－3a²b+b³－1)E=O ．
　　　a、bは実数なので(1)より
　　　　　　　　－a³+3ab²=0　････①　かつ
　　　　　　　　－3a²b+b³－1=0　････②
　　　①より、
　　　　　　　　a(a²－3b²)=0　⇔　a=0　または　a²=3b²
　　　a=0のとき、これを②に代入すると、
　　　　　　　　b³－1=0　⇔　b=1
　　　a²=3b²のとき、これを②に代入すると、
　　　　　　　　－9b³+b³－1=0　⇔　8b³=－1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　a²=3b²に代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\pm\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ．

　　　以上より、題意を満たすa、bの組は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(a\ ,\ b\right)=(0\ ,\ 1)\ ,\ \left(\pm\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ -\frac{1}{2}\right)\ }\end{align*}}$

　　うまく誘導に乗っていきましょう！　　

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2010関西大　理系（全学部）　数学４(１)～(３)

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) a、bを実数の定数とする。関数
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf \sqrt{x^2-2}+3 & (\sf x\geqq 2) \\ \sf ax^2+bx & (\sf x<2) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
　　　が微分可能になるのはa=　①　、b=　②　のときである。

　(2) mを整数とする。x²+(m+3)x+3m+1=0の解がすべて
　　　整数となるmの値は　③　と　④　（ただし、　③　＜　④　）
　　　である。

　(3) であるから、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{k}{(k+1)!}\end{align*}}$=　⑥　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt2-3}{4}\end{align*}}$　　　　② 3　　　　③ 1　　　　④ 5　　　　⑤ －1　　　　

　　⑥ 1　　　

【解説】

　(1)
　　　与えられた関数をf(x)とすると、x≠2のときは微分可能なので、
　　　f(x)が微分可能になるためには、x=2において微分可能であればよい。
　　　まず、x=2で連続である必要があるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=\lim_{x\rightarrow 2-0}\ f\ (x)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt2+3=4a+2b\end{align*}}$　････(ア)
　　　また、微分係数に関して
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{f\ (2+h)-f\ (2)}{h}=\lim_{h\rightarrow -0}\ \frac{f\ (2+h)-f\ (2)}{h}\end{align*}}$
　　　となればよい。
　　　左辺は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{\left\{\sqrt{(2+h)^2-2}+3\right\}-\left(\sqrt2+3\right)}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{\sqrt{(2+h)^2-2}-\sqrt2}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{\left\{(2+h)^2-2\right\}-2}{h\left\{\sqrt{(2+h)^2-2}+\sqrt2\right\}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow +0}\ \frac{h+4}{\sqrt{(2+h)^2-2}+\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{\sqrt{2^2-2}+\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt2\end{align*}}$
　　　右辺は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{h\rightarrow -0}\ \frac{f\ (2+h)-f\ (2)}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow -0}\frac{\left\{a(2+h)^2+b(2+h)\right\}-(4a+2b)}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow -0}\frac{a(h^2+4h)+bh}{h}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{h\rightarrow -0}\left\{a(h+4)+b\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4a+b\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4a+b=\sqrt2\end{align*}}$　････(イ)
　　　(ア)、(イ)を連立させて解くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{\sqrt2-3}{4}\ \ ,\ \ b=3\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(2)
　　　整数解をp、q（p≦q）とおくと、解と係数の関係より
　　　　　　　　　　p+q=－m－3、　pq=3m+1　････(ウ)
　　　これらよりmを消去すると、
　　　　　　　　　　pq=3(－3－p－q)+1
　　　　　　　　⇔　pq+3p+3q=－8
　　　　　　　　⇔　(p+3)(q+3)=1
　　　となり、p+3とq+3はともに整数なので、
　　　　　　　　　(p+3，q+3)=(1，1)、(－1，－1)
　　　　　　　⇔　(p，q)=(－2，－2)、(－4，－4)
　　　これらを(ウ)に代入すると、
　　　　　　　　　m=1，5
　　　となる。

　(3)
　　　pを実数として、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{(k+1)!}=\frac{1}{k!}+\frac{p}{(k+1)!}\end{align*}}$
　　　とおく。両辺に(k+1)!をかけると、
　　　　　　　　k=(k+1)+p　⇔　p=－1　････⑤
　　　これより、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k-1}^n \frac{k}{(k+1)!}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k-1}^n \left\{\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\ldots +\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\frac{1}{1!}-\frac{1}{(n+1)!}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$

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2010関西大　理系（全学部）　数学４(４)～(６)

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(4) 点(1，2)を通る直線Lは、放物線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{5}\ x^2\end{align*}}$ と原点O以外の
　　　 2点P、Qで交わり、∠POQは90度である。このときLの
　　　方程式は y=　⑦　である。

　(5) x¹⁰⁰をx²+x+1で割ったときの余りは　⑧　である。

　(6) 0＜x＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin x}{\sqrt{\sin^2x+\cos^2x+\sin 2x}}+\frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2x+\cos^2x-\sin2x}}\end{align*}}$
　　　をtan2xの式で表すと　⑨　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　⑦ －3x+5　　　　⑧ x　　　　⑨ tan2x+1　　　

【解説】

　(4)
　　　(1，2)を通る直線を
　　　　　　　　　　y=m(x－1)+2　････(ア)
　　　とおく。この直線と放物線の2式を連立させると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\ x^2=m(x-1)+2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-5mx+5m-10=0\end{align*}}$
　　　この方程式の2解をp、qとおくと、2交点P、Qはそれぞれ
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(p\ ,\frac{1}{5}p^2\right)\ \ ,\ \ Q\left(q\ ,\frac{1}{5}q^2\right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　また、解と係数の関係より
　　　　　　　　　　pq=5m－10．　････(イ)
　　　一方、直線OP、OQの傾きはそれぞれ
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}p\ \ ,\ \ \frac{1}{5}q\end{align*}}$
　　　となり、この2直線が直交するので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}p\cdot \frac{1}{5}q=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ pq=-25\end{align*}}$ ．
　　　これと(イ)より、　　　　　　
　　　　　　　　　　5m－10=－25　⇔　m=－3 ．
　　　よって、これを(ア)に代入すると、
　　　　　　　　　　y=－3x+5
　　　を得る。

　(2)
　　　2次式で割った余りは高々1次式なので、
　　　　　　　　x¹⁰⁰=(x²+x+1)P(x)+ax+b　････(ウ)
　　　と表すことができる。（P(x)は整式、a、bは実定数）
　　　ここで、x²+x+1=0の解の1つをωとすると、
　　　　　　　　　　ω²+ω+1=0　････(エ)
　　　であり、
　　　　　　　ω³－1=(ω－1)(ω²+ω+1)=0
　　　　　⇔　ω³=1　････(オ)
　　　一方、x=ωを(ウ)に代入すると、
　　　　　　　　ω¹⁰⁰=(ω²+ω+1)P(ω)+aω+b
　　　　　　⇔　ω･(ω³)³³=aω+b　←(エ)より
　　　　　　⇔　ω=aω+b　←(オ)より
　　　このωは虚数であり、a、bはともに実数なので、
　　　係数を比較すると、
　　　　　　　　　　a=1、b=0．
　　　よって、求める余りは x となる。

　(2)
　　　与式をAとおくと、sinの倍角公式を用いて、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{\sin x}{\sqrt{\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x}}+\frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin x}{\sqrt{\left(\sin x+\cos x\right)^2}}+\frac{\cos x}{\sqrt{\left(\sin x-\cos x\right)^2}}\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　ここで、0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲においてはつねに、
　　　　　　　　　　cosx＞sinx
　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}+\frac{\cos x}{\cos x-\sin x}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin x(\cos x-\sin x)+\cos x(\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x)(\cos x-\sin x)}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\sin x\cos x+(\cos^2 x-\sin^2 x)}{\cos^2 x-\sin^2 x}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin 2x}{\cos 2x}+1\end{align*}}$　　←倍角公式
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \tan 2x+1\ }\end{align*}}$

　　(5)は、1の虚立方根ωに気づきますか？　　

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Author:シケタキオア
　
橿原市の個別指導塾
青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
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