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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010関西大 理系(全学部) 数学1



第1問

  曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) 増減、凹凸を調べて、$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\end{align*}}$ のグラフの概形を、解答欄の
    座標平面上にかけ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0\end{align*}}$ である。

 (2) Cの変曲点における接線Lとx軸との交点の座標を求めよ.

 (3) Lを(2)の接線とする。曲線C、直線Lおよびx軸によって囲まれた
    部分を、軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/28(水) 01:01:00|
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2010関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

  次の    をうめよ.

  xの方程式
        log2x+alogx4-2a=0 ・・・・(1)
  が 1<x≦8において、解をもつような定数aの範囲を求める
  問題を考える.これは、log2x=t とおいて(1)を変形すると、
  tの2次方程式
        t2+pt+q=0  ・・・・(2)
  が
         ①  <t≦ ②  ・・・・(3)
  において解をもつような定数aの範囲を求める問題に帰着される。
  ここでp、qはtを含まない定数であって、
        p= ③  、q= ④ 
  である。
  (2)が異なる2つの解をもつとき、そのうちの1つだけが(3)の
  範囲に存在するときのaの範囲を求めると、 ⑤  である。
  (2)の解がすべて、(3)の範囲に存在するときのaの範囲を
  求めると、 ⑥  である。
  よって(1)が解をもつようなaの範囲は ⑦  である。



2010関西大 理系(全学部) 数学3



第3問

  Aは2次の正方行列で、A2+E=Oを満たすとする。ただし、
  Eは単位行列、Oは零行列を表す。a、bを実数として、次の
  問いに答えよ.

 (1) pA+qE=O(p、qは実数)ならば、p=q=0となることを示せ。

 (2) (aA+bE)3を$\small\sf{\alpha}$ A+$\small\sf{\beta}$ E($\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は実数)の形に表せ。

 (3) (aA+bE)3=Eとなるa、bの組をすべて求めよ。




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  1. 2018/11/28(水) 01:03:00|
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2010関西大 理系(全学部) 数学4(1)~(3)



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) a、bを実数の定数とする。関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf \sqrt{x^2-2}+3 & (\sf x\geqq 2) \\ \sf ax^2+bx & (\sf x<2) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
    が微分可能になるのはa= ①  、b= ②  のときである。

 (2) mを整数とする。x2+(m+3)x+3m+1=0の解がすべて
    整数となるmの値は ③  ④  (ただし、 ③  ④ 
    である。

 (3) 図10 であるから、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{k}{(k+1)!}\end{align*}}$= ⑥  である。



2010関西大 理系(全学部) 数学4(4)~(6)



第4問

  次の    をうめよ。

 (4) 点(1,2)を通る直線Lは、放物線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{5}\ x^2\end{align*}}$ と原点O以外の
    2点P、Qで交わり、∠POQは90度である。このときLの
    方程式は y= ⑦  である。

 (5) x100をx2+x+1で割ったときの余りは ⑧  である。

 (6) 0<x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin x}{\sqrt{\sin^2x+\cos^2x+\sin 2x}}+\frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2x+\cos^2x-\sin2x}}\end{align*}}$
    をtan2xの式で表すと ⑨  である。