第1問
aは実数で0＜a＜1とする。座標平面上の第1象限にある曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y =\frac{1}{x}\end{align*}}$
と2直線y=x、y=axで囲まれる部分P(a)の面積をS(a)とする。
次の問に答えよ。
(1) S(a)をaを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf 2S\left(\frac{1}{e}\right)\leqq S(a) \leqq 2S\left(\frac{1}{e}\right)+1\end{align*}}$ となるaの範囲を求めよ。
(3) P(a)をx軸の周りに回転して得られる回転体の体積V(a)と$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 0} V(a)\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
曲線$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y= \frac{1}{x}\end{align*}}$ をCとする。
Cと直線y=xとの交点をAとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}= x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\ (>0)\end{align*}}$
より、A(1，1)
Cと直線y=axとの交点をBとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x}=ax\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{\sqrt a}\ ( >0)\end{align*}}$
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(\frac{1}{\sqrt a}\ ,\ \sqrt a \right)\end{align*}}$
P(a)の面積S(a)は、右図において
(赤色の三角形)+(青色の部分)－(緑色の三角形)
のようにして求められるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(a)=1\times1\times\frac{1}{2}+\int_1^{ \frac{1}{\sqrt a}}\frac{dx}{x}-\frac{1}{\sqrt a}\times\sqrt a\times\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\log x\right]_1^{\frac{1}{\sqrt a }}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \log\frac{1}{\sqrt a}-\log 1 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{-\frac{1}{2} \log a\ \ }\end{align*}}$
面積は、上記の方法が一番楽でしょうけど、気づかなければP(a)を直線x=1で
2つに分けて求めても、それほど面倒ではないと思います。
(2)
(1)の結果より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2S\left(\frac{1}{e}\right)= 2\times\left( -\frac{1}{2}\log\frac{1}{e}\right) =1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2S \left(\frac{1}{e}\right)\leqq S(a)\leqq 2S\left(\frac{1}{e}\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 1 \leqq -\frac{1}{2}\log a\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ -4 \leqq \log a\leqq -2" title="-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \underline{e^{-4}\leqq a \leqq e^{-2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
右上図の、赤色の三角形および緑色の三角形は、
x軸の周りに回転させると円錐形になる。
よって、P(a)の回転体の体積は、
(赤色の円錐)+(青色部分の回転体)－(緑色の円錐)
と考えることによって求められる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(a)=1^2\pi\times1\times\frac{1}{3}+\pi\int_1^{\frac{1}{\sqrt a}}\frac{dx}{x^2}-(\sqrt a)^2 \pi\times\frac{1}{\sqrt a}\times\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \frac{\pi}{3}+\pi\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\frac{1}{\sqrt a}}-\frac{\sqrt a}{3} \pi\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(a)=\underline{\frac{4}{3}\pi\left( 1-\sqrt a\right)}\end{align*}}$
a→0とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 0}V(a)=\underline{\frac{4}{3} \pi\ \ }\end{align*}}$
よく分からないうちに解けてしまいましたね。(2)は何か意味があったのでしょうか？？？テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/09/13(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
実数を成分とする2次正方行列$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &1\\ -1 &3\end{pmatrix}\ ,\ B=\begin{pmatrix}\sf b &1\\ 0 &\sf b\end{pmatrix}\ ,\ P=\begin{pmatrix}\sf 1\ &1\\ \sf p &\sf q\end{pmatrix}\end{align*}}$
について、次の問に答えよ。
(1) ｎを正の整数とするとき、Bnを求めよ。
(2) AP=PBが成り立つように、b、p、qの値を定めよ。
(3) ｎを正の整数とするとき、Anを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
B2、B3、B4、･･･と順次計算していくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=\begin{pmatrix}\sf b^2&\sf 2b\\ \sf 0&\sf b^2\end{pmatrix}\ ,\ B^3=\begin{pmatrix}\sf b^3&\sf 3b^2\\ 0 &\sf b^3\end{pmatrix}\ ,\ B^4=\begin{pmatrix}\sf b^4 &\sf 4b^3\\ \sf 0 &\sf b^4\end{pmatrix}\ ,\ \ldots\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^n=\begin{pmatrix}\sf b^n&\sf nb^{n-1}\\ 0&\sf b^n\end{pmatrix}\end{align*}}$
と類推できる。これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)ｎ=1のときは自明
(ⅱ)ｎ=ｋで成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{k+1}=\begin{pmatrix}\sf b^k &\sf kb^{k-1}\\ \sf 0 &\sf b^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf b &\sf 1\\ \sf 0 &\sf b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf b^{k+1} &\sf (k+1)b^k\\ \sf 0 &\sf b^{k+1}\end{pmatrix}\end{align*}}$
となり、ｎ=ｋ+1のときも成立する。
よって、すべての自然数ｎに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^n=\underline{\begin{pmatrix}\sf b^n &\sf nb^{n-1}\\ \sf 0 &\sf b^n\end{pmatrix}}\end{align*}}$
行列の累乗を求める問題で、何の誘導もなけ場合は簡単な式になることが多いので、
解答のように一般項を類推して帰納法で証明といった手順を踏むのが普通です。
(2)
AP=PBより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &1\\ -1 &3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &1\\ \sf p\ &\sf q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &1\\ \sf p &\sf q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf b &1\\ sf 0 &\sf b\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow \ \begin{pmatrix}\sf 1+p &\sf 1+q\\ \sf -1+3p&\sf-1+3q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf b &\sf 1+b\\ \sf bp &\sf p+bq\end{pmatrix}\end{align*}}$
成分を比較すると、
1+p=b
1+q=1+b
－1+3p=bp
－1+3q=p+bq
これらを連立させて解くと、
b=2、p=1、q=2
これはそのまま計算するだけです。
(3)
(2)の結果より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf 2 &1\\ 0 &2\end{pmatrix}\ ,\ P=\begin{pmatrix}\sf 1 &1\\ 1 &2\end{pmatrix}\end{align*}}$
となる。
このとき、Pのデターミナントは
detP=1･2－1･1=1≠0
なので、逆行列P-1が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^{-1}=\begin{pmatrix}\s 2&-1\\ -1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
AP=PBの両辺に右からP-1をかけると、
A=PBP-1
両辺をｎ乗すると、
An=(PBP-1)(PBP-1)･･･(PBP-1)
=PB(P-1P)B(P-1P)B･･･B(P-1P)BP-1
=PBnP-1 （∵ P-1P=E）
これに(1)の結果を代入する。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf 1 &1\\ 1 &2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 2^n &\sf 2^{n-1}n\\ 0 &\sf 2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 2 &-1\\ -1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\underline{2^{n-1}\begin{pmatrix}\sf 2-n &\sf n\\ \sf -n &\sf2+n\end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
前後をPとP-1で挟んでからｎ乗すると、P-1P=Eなので、式が簡単になります。
やったことあるでしょ？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/09/14(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
p、qは正の実数でp＞qとする。x＞0において、2つの関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{px}+e^{-px}\ \ ,\ \ g\ (x)=e^{qx}+e^{-qx}\end{align*}}$
を考える。次の問に答えよ。
(1) f(x)＞2を示せ。
(2) f(x)＞f(x)を示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{f\ '(x)-g\ '(x)}{f(x)-g(x)}" title="2\end{align*}}$ とするとき、h(x)はx＞0において単調減少
であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
epx＞0、e－px＞0なので、相加･相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{px}+e^{-px}\geqq 2\sqrt{e^{px}\cdot e^{-px}}=2" title="2"\end{align*}}$
等号成立は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{px}= e^{-px}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\end{align*}}$
のときである。
よって、x＞0の範囲では、f(x)＞2が成り立つ。
相加相乗平均に気づかなくても、微分して増減を調べればOKでしょう。
(2)
xをx＞0の定数として、yについての関数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (y)=e^{xy}+e^{-xy}\end{align*}}$
を考える。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(y)=xe^{xy}-xe^{-xy}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =xe^{-xy}\left(xe^{2xy}-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =xe^{-xy}\left(xe^{xy}-1\right)\left(xe^{xy}+1\right)\end{align*}}$
x＞0なので、y＞0の範囲では常にF’(y)＞0となる。
F(y)はy＞0の範囲では単調増加なので、p＞q＞0である
p、qに対して
F(p)＞F(q)
が成り立つ。
よって、x＞0、p＞q＞0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{px}+e^{-px}>e^{qx}+e^{-qx}\ \ \Leftrightarrow\ \ f\ (x)>g\ (x)\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)-g\ (x)=e^{px}+e^{-px}-\left(e^{qx}+e^{-qx}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)-g\ '(x)=p\left(e^{px}-e^{-px}\right)-q\left(e^{qx}-e^{-qx}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)-g\ ''(x)=p^2\left(e^{px}+e^{-px}\right)-q^2\left(e^{qx}+e^{-qx}\right)\end{align*}}$
一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{f\ '(x)-g\ '(x)}{f(x)-g(x)}" title="2\end{align*}}$ に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h'(x)=\frac{\{f''(x)-g''(x)\}\{f(x)-g(x)\}-\{f'(x)-g'(x)\}^2}{\{f(x)-g(x)\}^2}" title="2\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=e^{px}\ \ ,\ \ B=e^{qx}\end{align*}}$
とおくと、h’(x)の分子は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p^2\left(A+A^{-1}\right)-q^2\left(B+B^{-1}\right)\right\}\left(A+A^{-1}-B-B^{-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left\{p\left(A-A^{-1}\right)-q\left(B-B^{-1}\right)\right\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p^2\left\{\left(A+A^{-1}\right)^2-\left(A-A^{-1}\right)^2\right\}+q^2\left\{\left(B+B^{-1}\right)^2-\left(B-B^{-1}\right)^2\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(p^2+q^2\right)\left(A+A^{-1}\right)\left(B+B^{-1}\right)+2pq\left(A-A^{-1}\right)\left(B-B^{-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4p^2+4q^2-\left(p^2-2pq+q^2\right)\left(AB+A^{-1}B^{-1}\right)-\left(p^2+2pq+q^2\right)\left(A^{-1}B+AB^{-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\left(p^2+q^2\right)-\left(p-q\right)^2\left(AB+\frac{1}{AB}\right)-\left(p+q\right)^2\left(\frac{B}{A}+\frac{A}{B}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq 4\left(p^2+q^2\right)-\left(p-q\right)^2\cdot 2\sqrt{AB\cdot\frac{1}{AB}}-\left(p+q\right)^2\cdot 2\sqrt{\frac{B}{A}\cdot\frac{A}{B}}\end{align*}}$ ←相加･相乗
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\left(p^2+q^2\right)-2\left(p^2-2pq+q^2\right)-2\left(p^2+2pq+q^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
h’(x)の分母は正なので、x＞0においてh’(x)＜0
よって、h(x)はx＞0で単調減少
途中の計算がグチャっとなってますけど、まぁそのまま計算するだけです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/09/15(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
Ｎ、a、bは正の整数とする。箱の中に赤玉がa個、白玉がb個入っている。箱から
無作為に1個の玉を取り出し、色を記録して箱に戻す。この操作を繰り返し、同じ色
の玉が2回続けて出るか、または取り出す回数が2Ｎ+2になったら終了する。
ｎ回取り出して終わる確率をP(ｎ)とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{a}{a+b}\ ,\ q=\frac{b}{a+b}\ ,\ r=pq" title="2\end{align*}}$
とおく。次の問に答えよ。
(1) P(2ｊ)、P(2ｊ+1) （ｊ=1，2，･･･，Ｎ）およびP(2Ｎ+2)をrを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf (1-r)\sum_{j=1}^{N}\ j\ r^{\ j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^{\ N}" title="2\end{align*}}$ を示せ。
(3) 取り出す回数の期待値 $\small\sf{\begin{align*} \sf m=\sum_{n=2}^{2N+2}nP(n)" title="2\end{align*}}$ について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf m<\frac{2+r}{1-r}" title="2\end{align*}}$
となることを示せ。
(4) 上の期待値ｍについて、ｍ＜3を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)
まず、p+q=1、pq=r ･･･(※)
① P(2ｊ)
1回目から2ｊ－1 回目までは赤と白が交互に出て、2ｊ 回目に同じ色が出ればよい。
すなわち、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ |
| 赤 | 白 | 赤 | 白 | ･･･ | 白 | 赤 | 赤 |
| p | q | p | q | ･･・ | q | p | p |
または、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ |
| 白 | 赤 | 白 | 赤 | ･･･ | 赤 | 白 | 白 |
| q | p | q | p | ･･・ | p | q | q |
なので、
P(2ｊ)=pj-1qj-1・p2+pj-1qj-1・q2
=pj-1qj-1(p2+q2)
=pj-1qj-1{(p+q)2)－2pq}
=rj-1(1－2r) (∵(※)より)
② P(2ｊ+1)
①と同様に考えると、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ | 2j+1 |
| 赤 | 白 | 赤 | 白 | ･･･ | 白 | 赤 | 白 | 白 |
| p | q | p | q | ･･・ | q | p | q | q |
または、
| 1 | 2 | 3 | 4 | ･･･ | 2ｊ－2 | 2ｊ－1 | 2ｊ | 2j+1 |
| 白 | 赤 | 白 | 赤 | ･･･ | 赤 | 白 | 赤 | 赤 |
| q | p | q | p | ･･・ | p | q | p | p |
なので、
P(2ｊ+1)=pjqj・p+pjqj・q
=pjqj(p+q)
=rj (∵(※)より)
③ P(2Ｎ+2)
次の2パターンが考えられる。
・2Ｎ+1回目と2Ｎ+2回目が同色の場合。すなわち、①でｊ=Ｎ+1の場合
rN(1－2r)
・1回目から2Ｎ+2回目まで赤と白が交互に出続ける場合
(赤白赤白･･･と白赤白赤･･･の2通り)
2×pN+1qN+1=2rN+1
よって、
P(2Ｎ+2)=rN(1－2r)+2rN+1
=rN
①、②は、きちんと状態を整理して、p+q=1にさえ気づけば
問題ないと思います。
③には2パターンあることに気づくでしょうかね？
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sum_{j=1}^{N}j\ r^{j-1}\end{align*}}$ とおくと、
S=1･r0+2･r1+3･r2+･･････+ＮrN-1
両辺にrをかける
rS=1･r1+2･r2+3･r3+･･････+ＮrN
これらの差をとる。
S=1･r0+2･r1+3･r2+･･････+ＮrN-1
－）rS= 1･r1+2･r2+･･････+(Ｎ－1)rN-1+ＮrN
与えられた式だけを見ると難しそうですが、この手法は教科書にも載っていますよね。
長くなりそうなので、(3)(4)は次の記事で
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/09/16(金) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
Ｎ、a、bは正の整数とする。箱の中に赤玉がa個、白玉がb個入っている。箱から
無作為に1個の玉を取り出し、色を記録して箱に戻す。この操作を繰り返し、同じ色
の玉が2回続けて出るか、または取り出す回数が2Ｎ+2になったら終了する。
ｎ回取り出して終わる確率をP(ｎ)とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{a}{a+b}\ ,\ q=\frac{b}{a+b}\ ,\ r=pq" title="2\end{align*}}$
とおく。次の問いに答えよ。
(1) P(2ｊ)、P(2ｊ+1) （ｊ=1，2，･･･，Ｎ）およびP(2Ｎ+2)をrを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf (1-r)\sum_{j=1}^{N}\ j\ r^{\ j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^{\ N}" title="2\end{align*}}$ を示せ。
(3) 取り出す回数の期待値$\small\sf{\begin{align*} \sf m=\sum_{n=2}^{2N+2}nP(n)" title="2\end{align*}}$ について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf m<\frac{2+r}{1-r}" title="2\end{align*}}$
となることを示せ。
(4) 上の期待値ｍについて、ｍ＜3を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
p+q=1、pq=r ･･･(※)
(1)の結論
P(2ｊ)=rj-1(1－2r)
P(2ｊ+1)=rj
P(2Ｎ+2)=rN
(2)の結論
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1-r)\sum_{j=1}^{N}\ j\ r^{\ j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^{\ N}" title="2\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\sum_{n=2}^{2N+2}nP(n)" title="2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2P(2)+3P(3)+4P(4)+5P(5)+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots+(2N)P(2N)+(2N+1)P(2N+1)+(2N+2)P(2N+2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{j=1}^{N}\{(2j)P(2j)+(2j+1)P(2j+1)\}+(2N+2)P(2N+2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{j=1}^{N}\{(2j)\ (1-2r)r^{\ j-1}+(2j+1)r^{\ j}\}+(2N+2)r^N\ \ \ (\because\ (1))\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(1-r)\sum_{j=1}^{N}\ j\ r^{\ j-1}+\sum_{j=1}^{N}\ r^{\ j}+(2N+2)r^N\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\frac{1-r^{\ N}}{1-r}-N\ r^{\ N}\right)+\frac{r\ (1-r^{\ N})}{1-r}+(2N+2)r^{\ N}\ \ \ (\because\ (2)\ )\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2+r-3\ r^{\ N+1}}{1-r}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{2+r}{1-r}\ \ \ (\because\ \ r^{\ N+1}>0\ )\end{align*}}$
計算が大変なことになっていますね。途中省略していますが、
うまく(1)(2)の結論を代入してください。
(4)
(※)より、p、qはｔについての二次方程式
ｔ2－ｔ+r=0
の2解である。
p、qは実数なので、この方程式の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=1-4r\geqq 0\Leftrightarrow\ \ 0\lt r\leqq \frac{1}{4}\ \ldots\ldots(**)\end{align*}}$
(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m<\frac{2+r}{1-r}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-1+\frac{3}{1-r}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq -1+\frac{3}{1-\frac{1}{4}}\end{align*}}$ (右図のように(**)の範囲で単調増加)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\end{align*}}$
よって、ｍ＜3
(3)まで出来れば、(4)は問題ないでしょ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2011/09/16(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
