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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪市立大 理系数学1



第1問



  aは実数で0<a<1とする。座標平面上の第1象限にある曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y =\frac{1}{x}\end{align*}}$
  と2直線y=x、y=axで囲まれる部分P(a)の面積をS(a)とする。
  次の問に答えよ。

 (1) S(a)をaを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf 2S\left(\frac{1}{e}\right)\leqq S(a) \leqq 2S\left(\frac{1}{e}\right)+1\end{align*}}$ となるaの範囲を求めよ。

 (3) P(a)をx軸の周りに回転して得られる回転体の体積V(a)と$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow 0} V(a)\end{align*}}$
    を求めよ。



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  1. 2011/09/13(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2011
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2011大阪市立大 理系数学2




第2問



  実数を成分とする2次正方行列$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &1\\ -1 &3\end{pmatrix}\ ,\ B=\begin{pmatrix}\sf b &1\\ 0 &\sf b\end{pmatrix}\ ,\ P=\begin{pmatrix}\sf 1\ &1\\ \sf p &\sf q\end{pmatrix}\end{align*}}$
  について、次の問に答えよ。

 (1) nを正の整数とするとき、Bnを求めよ。

 (2) AP=PBが成り立つように、b、p、qの値を定めよ。

 (3) nを正の整数とするとき、Anを求めよ。




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  1. 2011/09/14(水) 23:57:00|
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2011大阪市立大 理系数学3




第3問

  p、qは正の実数でp>qとする。x>0において、2つの関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{px}+e^{-px}\ \ ,\ \ g\ (x)=e^{qx}+e^{-qx}\end{align*}}$
  を考える。次の問に答えよ。

 (1) f(x)>2を示せ。

 (2) f(x)>f(x)を示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf h(x)=\frac{f\ '(x)-g\ '(x)}{f(x)-g(x)}" title="2\end{align*}}$ とするとき、h(x)はx>0において単調減少
    であることを示せ。



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  1. 2011/09/15(木) 23:57:00|
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2011大阪市立大 理系数学4(1)(2)




第4問



  N、a、bは正の整数とする。箱の中に赤玉がa個、白玉がb個入っている。箱から
  無作為に1個の玉を取り出し、色を記録して箱に戻す。この操作を繰り返し、同じ色
  の玉が2回続けて出るか、または取り出す回数が2N+2になったら終了する。
  n回取り出して終わる確率をP(n)とし、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{a}{a+b}\ ,\ q=\frac{b}{a+b}\ ,\ r=pq" title="2\end{align*}}$
  とおく。次の問に答えよ。

 (1) P(2j)、P(2j+1) (j=1,2,・・・,N)およびP(2N+2)をrを用いて表せ。


 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf (1-r)\sum_{j=1}^{N}\ j\ r^{\ j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^{\ N}" title="2\end{align*}}$ を示せ。

 (3) 取り出す回数の期待値 $\small\sf{\begin{align*} \sf m=\sum_{n=2}^{2N+2}nP(n)" title="2\end{align*}}$ について、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf m<\frac{2+r}{1-r}" title="2\end{align*}}$
    となることを示せ。

 (4) 上の期待値mについて、m<3を示せ。



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  1. 2011/09/16(金) 23:54:00|
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2011大阪市立大 理系数学4(3)(4)




第4問



  N、a、bは正の整数とする。箱の中に赤玉がa個、白玉がb個入っている。箱から
  無作為に1個の玉を取り出し、色を記録して箱に戻す。この操作を繰り返し、同じ色
  の玉が2回続けて出るか、または取り出す回数が2N+2になったら終了する。
  n回取り出して終わる確率をP(n)とし、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{a}{a+b}\ ,\ q=\frac{b}{a+b}\ ,\ r=pq" title="2\end{align*}}$
  とおく。次の問いに答えよ。

 (1) P(2j)、P(2j+1) (j=1,2,・・・,N)およびP(2N+2)をrを用いて表せ。


 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf (1-r)\sum_{j=1}^{N}\ j\ r^{\ j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^{\ N}" title="2\end{align*}}$ を示せ。

 (3) 取り出す回数の期待値$\small\sf{\begin{align*} \sf m=\sum_{n=2}^{2N+2}nP(n)" title="2\end{align*}}$ について、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf m<\frac{2+r}{1-r}" title="2\end{align*}}$
    となることを示せ。

 (4) 上の期待値mについて、m<3を示せ。



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  1. 2011/09/16(金) 23:57:00|
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