第1問
複数の参加者がグー、チョキ、パーを出して勝敗を決めるジャンケン
について、以下の問いに答えよ。ただし、各参加者は、グー、チョキ、
パーをそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率で出すものとする。
(1) 4人で一度だけジャンケンをするとき、1人だけが勝つ確率、2人が
勝つ確率、3人が勝つ確率、引き分けになる確率をそれぞれ求めよ。
(2) n人で一度だけジャンケンをするとき、r人が勝つ確率をnとrを用いて
表せ。ただし、n≧1、2≦r＜nとする。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{r=1}^{n-1}\ _nC_r=2^n-2\end{align*}}$ が成り立つことを示し、n人で一度だけジャンケンを
するとき、引き分けになる確率をnを用いて表せ。ただし、n≧2とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
4人の手の出し方の総数･･･34=81通り
[ア] 1人だけが勝つ場合
誰が勝つか･･･4C1=4通り
どの手で勝つか･･･3通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\cdot3}{81}=\underline{\ \frac{4}{27}\ }\end{align*}}$
[イ] 2人が勝つ場合
誰が勝つか･･･4C2=6通り
どの手で勝つか･･･3通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6\cdot3}{81}=\underline{\ \frac{2}{9}\ }\end{align*}}$
[ウ] 3人が勝つ場合
誰が勝つか･･･4C3=4通り
どの手で勝つか･･･3通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\cdot3}{81}=\underline{\ \frac{4}{27}\ }\end{align*}}$
[エ] 引き分けの場合
余事象を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{4}{27}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}\right)=\underline{\ \frac{13}{27}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に考えると、
n人の手の出し方の総数･･･3n通り
誰が勝つか･･･nCr通り
どの手で勝つか･･･3通り
なので、r人が勝つ確率prとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_r=\frac{_nC_r\cdot 3}{3^n}=\underline{\ \frac{_nC_r}{3^{n-1}}\ }\end{align*}}$
(3)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+1)^n=\sum_{r=0}^n\ _nC_r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{r=1}^{n-1}\ _nC_r=(1+1)^n-_nC_0-_nC_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2^n-2\end{align*}}$ ････①
となるので、題意は示された。
n人のジャンケンで引き分けにならないのは、
1人～n－1人が勝つ場合なので、引き分けになる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\sum_{r=1}^{n-1}\ p_r=1-\sum_{r=1}^{n-1}\ \frac{_nC_r}{3^{n-1}}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}\ }\end{align*}}$
(3)の前半で、二項定理がちゃんと思い浮かびましたか？
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第2問
四面体OABCと、Oと異なる点Gが与えられているとき、
以下の問いに答えよ。
(1) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf AG^2=OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+OA^2\end{align*}}$
を示せ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の内積を表す。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ が
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=a\ \overrightarrow{\sf OA}+b\ \overrightarrow{\sf OB}+c\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と表されているとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf aAG^2+bBG^2+cCG^2=aOA^2+bOB^2+cOC^2\end{align*}}$
が成り立つための実数a、b、cについての条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AG^2=|\overrightarrow{\sf AG}|^2\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AG}|^2=|\overrightarrow{\sf OG}-\overrightarrow{\sf OA}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf OG}|^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+|\overrightarrow{\sf OA}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+OA^2\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf aAG^2=a\left(OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+OA^2\right)\end{align*}}$
であり、同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf bBG^2=b\left(OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+OB^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf cCG^2=c\left(OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+OC^2\right)\end{align*}}$ ．
これら3式を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf aAG^2+bBG^2+cCG^2=(a+b+c)OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\left(a\ \overrightarrow{\sf OA}+b\ \overrightarrow{\sf OB}+c\ \overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +aOA^2+bOB^2+cOC^2\end{align*}}$
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=a\ \overrightarrow{\sf OA}+b\ \overrightarrow{\sf OB}+c\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf aAG^2+bBG^2+cCG^2=aOA^2+bOB^2+cOC^2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=(a+b+c)OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (a+b+c-2)\ OG^2=0\end{align*}}$ ．
ここで、OとGは異なるので、OG≠0．
よって、題意を満たすための条件は、
a+b+c－2=0
である。
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第3問
(1) 自然数nに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf s_n=\sum_{k=1}^n\ \frac{k}{2^k}\end{align*}}$
とする。このとき数学的帰納法により、
$\small\sf{\begin{align*} \sf s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}\end{align*}}$
であることを示せ。
(2) a1=0、a2=1とし、自然数nに対して
an+2－3an+1+2an=n+1
を満たす数列{an}について以下の問いに答えよ。
(ⅰ) bn=an+1－anとするとき、数列{bn}が満たす漸化式を求めよ。
(ⅱ) bnを(1)で与えたsnを用いて表せ。
(ⅲ) 数列{an}の一般項anを求めよ。
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【解答】
(1)
任意の自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ \frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}\end{align*}}$ ････(※)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のとき
左辺=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
右辺=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^2-1-2}{2^1}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるのでOK
(ⅱ)n=mのとき(※)が成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^m\ \frac{k}{2^k}=\frac{2^{m+1}-m-2}{2^m}\end{align*}}$ ････①
n=m+1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{m+1}\ \frac{k}{2^k}=\sum_{k=1}^{m}\ \frac{k}{2^k}+\frac{m+1}{2^{m+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2^{m+1}-m-2}{2^m}+\frac{m+1}{2^{m+1}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(2^{m+1}-m-2\right)+(m+1)}{2^{m+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2^{m+2}-(m+1)-2}{2^{m+1}}\end{align*}}$
となるので、n=m+1のときも(※)が成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ \frac{k}{2^k}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}\end{align*}}$
は成り立つ。
(2)(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}&\sf a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=n+1\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf a_{n+2}-a_{n+1}-2a_{n+1}+2a_n=n+1\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf a_{n+2}-a_{n+1}-2\left(a_{n+1}-a_n\right)=n+1\\ \ \ \Leftrightarrow\ \ &\sf \underline{b_{n+1}-2b_n=n+1} \end{align*}}$
(ⅱ)
(ⅰ)の両辺を2n+1で割ると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{b_n}{2^n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\ \ \ \ldots\ldots\ldots \ (**)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{b_n}{2^n}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_1=\frac{b_1}{2^1}=\frac{a_2-a_1}{2}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (**)\ \ \Leftrightarrow\ \ c_{n+1}-c_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}\end{align*}}$
{cn}は{bn}の階差数列なので、n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_n&=\sf c_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{2^{k+1}} \\ &=\sf\frac{1}{2}+\sum_{k=2}^{n}\frac{k}{2^{k}} \\ &=\sf \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^{k}}\\ &=\sf s_n \end{align*}}$
これはn=1のときも満たす。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=2^nc_n= \underline{\ 2^n\ s_n\ }\end{align*}}$
(ⅲ)
{bn}は{an}の階差数列なので、
n≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+\sum_{k=1}^{n-1}\left(2^k\ s_k\right)\end{align*}}$ ←(ⅱ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{n-1}\left(2^k\cdot \frac{2^{k+1}-k-2}{2^k}\right)\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{n-1}\left(2^{k+1}-k-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\left(2^{n-1}-1\right)}{2-1}-\frac{1}{2}(n-1)n-2(n-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2^{n+1}-\frac{1}{2}n^2-\frac{3}{2}n-2\ }\end{align*}}$ （これは、n=1のときも満たす）
(2)(ⅰ)でうまく変形できるかが勝負です。
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第4問
点Q、Rをxy平面上の放物線C：y=x2上の相異なる点とする。
(1) q＜p2を満たす実数p、qに対して、点P(p，q)を考える。
Q、RにおけるCの2本の接線がともにPを通るとき、Cと
これらの接線で囲まれた部分の面積を、p、qを用いて表せ。
(2) (1)で求めた面積をS1とする。直線QRとCで囲まれた部分の
面積をS2とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、q＜p2より、点P(p，q)は放物線Cの下側にある。
C上の点をQ(x1，x12)、R(x2，x22) （x1＜x2）とおく。
y=x2の導関数はy’=2xなので、Qにおける接線L1は、
y－x12=2x1(x－x1)
⇔ y=2x1x－x12
これが点P(p，q)を通るので、
q=2x1p－x12
同様に、Rにおける接線L2もPを通るので、
q=2x2p－x22
これらを連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x_{1\ }p-x_1^{\ 2}=2x_{2\ }p-x_2^{\ 2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\frac{x_1+x_2}{2}\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=2x_1\cdot\frac{x_1+x_2}{2}-x_1^{\ 2}=x_{1\ }x_2\end{align*}}$ ････②
よって、
CとPQ、PRで囲まれる部分の面積S1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_{x_1}^p\left\{x^2-\left(2x_1\ x-x_1^{\ 2}\right)\right\}\ dx+\int_p^{x_2}\left\{x^2-\left(2x_2\ x-x_2^{\ 2}\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{x_1}^p\left(x-x_1\right)^2\ dx+\int_p^{x_2}\left(x-x_2\right)^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\left(x-x_1\right)^3\right]_{x_1}^p+\left[\frac{1}{3}\left(x-x_2\right)^3\right]_p^{x_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(p-x_1\right)^3-\frac{1}{3}\left(p-x_2\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{x_1+x_2}{2}-x_1\right)^3-\frac{1}{3}\left(\frac{x_1+x_2}{2}-x_2\right)^3\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)^3+\frac{1}{3}\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(x_2-x_1\right)^3\end{align*}}$ ････③
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x_2-x_1\right)^2=\left(x_2+x_1\right)^2-4x_{1\ }x_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4p^2-4q\end{align*}}$ ←①、②より
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{12}\left\{\left(x_2-x_1\right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(4p^2-4q\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\cdot 4^{\frac{3}{2}}\left(p^2-q\right)^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\left(p^2-q\right)^{\frac{3}{2}}\ }\end{align*}}$
(2)
直線QRの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-x_1^{\ 2}=\frac{x_2^{\ 2}-x_1^{\ 2}}{x_2-x_1}(x-x_1)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=(x_1+x_2)x-x_1\ x_2\end{align*}}$
となるので、
CとQRで囲まれる部分の面積S2は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_{x_1}^{x_2}\left\{(x_1+x_2)x-x_1\ x_2-x^2\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_{x_1}^{x_2}\ (x-x_1)(x-x_2)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left(x_2-x_1\right)^3\end{align*}}$
これと③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{1}{6}\left(x_2-x_1\right)^3}{\frac{1}{12}\left(x_2-x_1\right)^3}=\underline{\ 2\ }\end{align*}}$
いわゆる「12分の1公式」と「6分の1公式」ですが、
導き方も知っておいた方がいいでしょう。
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