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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪府立大 経済学部 数学1



第1問

  複数の参加者がグー、チョキ、パーを出して勝敗を決めるジャンケン
  について、以下の問いに答えよ。ただし、各参加者は、グー、チョキ、
  パーをそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率で出すものとする。

 (1) 4人で一度だけジャンケンをするとき、1人だけが勝つ確率、2人が
    勝つ確率、3人が勝つ確率、引き分けになる確率をそれぞれ求めよ。

 (2) n人で一度だけジャンケンをするとき、r人が勝つ確率をnとrを用いて
    表せ。ただし、n≧1、2≦r<nとする。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{r=1}^{n-1}\ _nC_r=2^n-2\end{align*}}$ が成り立つことを示し、n人で一度だけジャンケンを
    するとき、引き分けになる確率をnを用いて表せ。ただし、n≧2とする。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/01/17(木) 17:00:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2011(経済)
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2011大阪府立大 経済学部 数学2



第2問

  四面体OABCと、Oと異なる点Gが与えられているとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) 等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf AG^2=OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+OA^2\end{align*}}$
    を示せ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の内積を表す。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ が
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=a\ \overrightarrow{\sf OA}+b\ \overrightarrow{\sf OB}+c\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
    と表されているとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf aAG^2+bBG^2+cCG^2=aOA^2+bOB^2+cOC^2\end{align*}}$
    が成り立つための実数a、b、cについての条件を求めよ。



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  1. 2013/01/17(木) 17:03:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2011(経済)
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2011大阪府立大 経済学部 数学3



第3問

 (1) 自然数nに対して、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf s_n=\sum_{k=1}^n\ \frac{k}{2^k}\end{align*}}$
    とする。このとき数学的帰納法により、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf s_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n}\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (2) a1=0、a2=1とし、自然数nに対して
         an+2-3an+1+2an=n+1
    を満たす数列{an}について以下の問いに答えよ。
  (ⅰ) bn=an+1-anとするとき、数列{bn}が満たす漸化式を求めよ。

  (ⅱ) bnを(1)で与えたsnを用いて表せ。

  (ⅲ) 数列{an}の一般項anを求めよ。



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  1. 2013/01/17(木) 17:06:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2011(経済)
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2011大阪府立大 経済学部 数学4



第4問

  点Q、Rをxy平面上の放物線C:y=x2上の相異なる点とする。

 (1) q<p2を満たす実数p、qに対して、点P(p,q)を考える。
    Q、RにおけるCの2本の接線がともにPを通るとき、Cと
    これらの接線で囲まれた部分の面積を、p、qを用いて表せ。

 (2) (1)で求めた面積をS1とする。直線QRとCで囲まれた部分の
    面積をS2とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2013/01/17(木) 17:09:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2011(経済)
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