第1問
複数の参加者がグー、チョキ、パーを出して勝敗を決めるジャンケン
について、以下の問いに答えよ。ただし、各参加者は、グー、チョキ、
パーをそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率で出すものとする。
(1) 4人で一度だけジャンケンをするとき、1人だけが勝つ確率、2人が
勝つ確率、3人が勝つ確率、引き分けになる確率をそれぞれ求めよ。
(2) n人で一度だけジャンケンをするとき、r人が勝つ確率をnとrを用いて
表せ。ただし、n≧1、2≦r＜nとする。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{r=1}^{n-1}\ _nC_r=2^n-2\end{align*}}$ が成り立つことを示し、n人で一度だけジャンケンを
するとき、引き分けになる確率をnを用いて表せ。ただし、n≧2とする。
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【解答】
(1)
4人の手の出し方の総数･･･34=81通り
[ア] 1人だけが勝つ場合
誰が勝つか･･･4C1=4通り
どの手で勝つか･･･3通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\cdot3}{81}=\underline{\ \frac{4}{27}\ }\end{align*}}$
[イ] 2人が勝つ場合
誰が勝つか･･･4C2=6通り
どの手で勝つか･･･3通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6\cdot3}{81}=\underline{\ \frac{2}{9}\ }\end{align*}}$
[ウ] 3人が勝つ場合
誰が勝つか･･･4C3=4通り
どの手で勝つか･･･3通り
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4\cdot3}{81}=\underline{\ \frac{4}{27}\ }\end{align*}}$
[エ] 引き分けの場合
余事象を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{4}{27}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}\right)=\underline{\ \frac{13}{27}\ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に考えると、
n人の手の出し方の総数･･･3n通り
誰が勝つか･･･nCr通り
どの手で勝つか･･･3通り
なので、r人が勝つ確率prとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_r=\frac{_nC_r\cdot 3}{3^n}=\underline{\ \frac{_nC_r}{3^{n-1}}\ }\end{align*}}$
(3)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+1)^n=\sum_{r=0}^n\ _nC_r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{r=1}^{n-1}\ _nC_r=(1+1)^n-_nC_0-_nC_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2^n-2\end{align*}}$ ････①
となるので、題意は示された。
n人のジャンケンで引き分けにならないのは、
1人～n－1人が勝つ場合なので、引き分けになる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\sum_{r=1}^{n-1}\ p_r=1-\sum_{r=1}^{n-1}\ \frac{_nC_r}{3^{n-1}}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{2^n-2}{3^{n-1}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3^{n-1}-2^n+2}{3^{n-1}}\ }\end{align*}}$
(3)の前半で、二項定理がちゃんと思い浮かびましたか？
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第2問
四面体OABCと、Oと異なる点Gが与えられているとき、
以下の問いに答えよ。
(1) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf AG^2=OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+OA^2\end{align*}}$
を示せ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ の内積を表す。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ が
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=a\ \overrightarrow{\sf OA}+b\ \overrightarrow{\sf OB}+c\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と表されているとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf aAG^2+bBG^2+cCG^2=aOA^2+bOB^2+cOC^2\end{align*}}$
が成り立つための実数a、b、cについての条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AG^2=|\overrightarrow{\sf AG}|^2\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AG}|^2=|\overrightarrow{\sf OG}-\overrightarrow{\sf OA}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf OG}|^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+|\overrightarrow{\sf OA}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+OA^2\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf aAG^2=a\left(OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OA}+OA^2\right)\end{align*}}$
であり、同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf bBG^2=b\left(OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+OB^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf cCG^2=c\left(OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+OC^2\right)\end{align*}}$ ．
これら3式を辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf aAG^2+bBG^2+cCG^2=(a+b+c)OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\left(a\ \overrightarrow{\sf OA}+b\ \overrightarrow{\sf OB}+c\ \overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +aOA^2+bOB^2+cOC^2\end{align*}}$
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=a\ \overrightarrow{\sf OA}+b\ \overrightarrow{\sf OB}+c\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf aAG^2+bBG^2+cCG^2=aOA^2+bOB^2+cOC^2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=(a+b+c)OG^2-2\overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (a+b+c-2)\ OG^2=0\end{align*}}$ ．
ここで、OとGは異なるので、OG≠0．
よって、題意を満たすための条件は、
a+b+c－2=0
である。
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第3問
3次の正方行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b & \sf c\\ 0& \sf d & \sf e \\ 0&0&\sf f\end{pmatrix}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。ただし、Aと同じ型の単位行列
をE、零行列をOとする。
(1) A3を求めよ。
(2) A3=Oであるための必要十分条件は、a=d=f=0である
ことを示せ。
(3) （A+E)3=Eならば、A=Oであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^3=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b & \sf c\\ 0& \sf d & \sf e \\ 0&0&\sf f\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b & \sf c\\ 0& \sf d & \sf e \\ 0&0&\sf f\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b & \sf c\\ 0& \sf d & \sf e \\ 0&0&\sf f\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf a^2&\sf b(a+d) & \sf be+c(a+f)\\ 0& \sf d^2 & \sf e(d+f) \\ 0&0&\sf f^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b & \sf c\\ 0& \sf d & \sf e \\ 0&0&\sf f\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix} \sf a^3&\sf b(a^2+ad+d^2) & \sf be(a+d+f)+c(a^2+af+f^2)\\ 0& \sf d^3 & \sf e(d^2+df+f^2) \\ 0&0&\sf f^3\end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
(2)
まず、A3=Oであるためには、(1)の対角成分を考えると、
a3=d3=f3=0
より、a=d=f=0である必要がある。
逆にこのとき、(1)より他の成分を計算すると、
b(a+d)=0
be+c(a+f)=0
e(d+f)=0
となるので、A3=Oとなる。
よって、題意は示された。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (A+E)^3=\begin{pmatrix} \sf a+1&\sf b & \sf c\\ 0& \sf d+1 & \sf e \\ 0&0&\sf f+1\end{pmatrix}^3=E\end{align*}}$
に対して、
(1)と同様に計算し、両辺の成分を比較すると、
[対角成分]
(a+1)3=(d+1)3=(f+1)3=1
⇔ a=d=f=0
[(1，2)成分]
b{(a+1)2+(a+1)(d+1)+(d+1)2}=3b=0
⇔ b=0
[(2，3)成分]
e{(d+1)2+(d+1)(f+1)+(f+1)2}=3e=0
⇔ e=0
[(1，3)成分]
be{(a+1)+(d+1)+(f+1)}
+c{(a+1)2+(a+1)(f+1)+(f+1)2}=0
⇔ 3be+3c=0
⇔ c=0
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 0 & \sf 0\\ 0& \sf 0 & \sf 0 \\ 0&0&\sf 0\end{pmatrix}=O\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(1)の計算がイヤですねぇ・・・・
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第4問
2つの関数f(t)=tlogtとg(t)=t3－9t2+24tが与えられている。
以下の問いに答えよ。
(1) f(t)はt≧1の範囲で単調に増加することを示せ。
(2) t≧1のとき
x=f(t) y=g(t)
と媒介変数表示される関数y=h(x)のx≧0の範囲における
増減を調べて、極大値と極小値を求めよ。
(3) xy平面上で、曲線y=h(x)、2直線x=f(2)、x=f(4)とx軸で
囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(t)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\log t+t\cdot\frac{1}{t}=\log t+1\end{align*}}$
となるので、t≧1の範囲でつねにf’(t)＞0である。
よって、f(t)はt≧1で単調に増加する。
(2)
g(t)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(t)=3t^2-18t+24=3(t-2)(t-4)\end{align*}}$
となるので、h(x)の増減は次のようになる。
よって、
t=2すなわちx=2log2のとき、極大値20
t=4すなわちx=8log2のとき、極小値16
(3)
(2)より、f(2)≦x≦f(4)の範囲において常にh(x)＞0なので、
求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{2\log 2}^{8\log 2}\ y\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、
x=tlogt y=t3－9t2+24t
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_2^4\left(t^3-9t^2+24t\right)\left(\log t+1\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\left(\frac{1}{4}t^4-3t^3+12t^2\right)\left(\log t+1\right)\right]_2^4-\int_2^4\left(\frac{1}{4}t^4-3t^3+12t^2\right)\cdot\frac{1}{t}\ dt\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left[\left(\frac{1}{4}t^4-3t^3+12t^2\right)\left(\log t+1\right)\right]_2^4=100\log 2+36\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_2^4\left(\frac{1}{4}t^4-3t^3+12t^2\right)\cdot\frac{1}{t}\ dt=\int_2^4\left(\frac{1}{4}t^3-3t^2+12t\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{16}t^4-t^3+6t^2\right]_2^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =31\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\left(100\log 2+36\right)-31=\underline{\ 100\log 2+5\ }\end{align*}}$
媒介変数表示のまま置換しましょう。
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