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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012大阪府立大 前期文系 数学1




第1問

  サイコロをn回ふって、数列a1、a2、・・・・、anを次のように定める。
  ただし、n≧3とする。
   (ⅰ) 1回目に1の目が出たときはa1=0、それ以外の目が出たときは、
      a1=1とする。
    k≧2のとき、
   (ⅱ) k回目に1の目が出たときは、ak=0とする。
   (ⅲ) k回目に6の目が出たときは、ak=ak-1+kとする。
   (ⅳ) k回目に1と6以外の目が出たときは、ak=ak-1+1とする。
    自然数k(1≦k≦n)に対して、ak=kとなる確率をpkとするとき、
    次の問いに答えよ。

 (1) p1、p2、p3を求めよ。

 (2) pk (2≦k≦n)をpk-1を用いて表せ。

 (3) pk (1≦k≦n)をkの式で表せ。



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  1. 2013/01/17(木) 14:00:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 前期 2012(文系)
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2012大阪府立大 前期文系 数学2



第2問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (2x)=\frac{2\ f\ (x)}{1+f\ (x)^2}\end{align*}}$ を示せ。

 (3) すべての自然数nに対して
         $\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=f\left(\frac{1}{2^n}\right)\end{align*}}$
    は無理数であることを、数学的帰納法を用いて示せ。ただし、
    有理数r、sを用いて表される実数 r+s$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ はs≠0ならば
    無理数であることを、証明無く用いてもよい。




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  1. 2013/01/17(木) 14:03:00|
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2012大阪府立大 前期文系 数学3



第3問

  四面体OABCに平面$\small\sf{\alpha}$ が辺OA、AB、BC、COとそれぞれ
  P、Q、R、Sで
        OP:PA=AQ:QB=BR:RC=1:2
  を満たすように交わっている。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ とし、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=s\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。 

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\ ,\ \overrightarrow{\sf PR}\ ,\ \overrightarrow{\sf PS}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf s\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) sの値を求めよ。



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  1. 2013/01/17(木) 14:06:00|
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2012大阪府立大 前期文系 数学4



第4問

  実数t(0≦t≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\end{align*}}$ )に対し、座標平面上の点P(2t-5,0)と
  Q(t,t2)を考える。

 (1) 放物線y=x2の0≦x≦tの部分と線分OPおよび線分PQで
    囲まれた部分の面積を求めよ。ただし、Oは原点を表す。

 (2) tが0≦t≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、(1)で求めた面積の最大値を求めよ。



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  1. 2013/01/17(木) 14:09:00|
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