第1問
サイコロをｎ回ふって、数列a1、a2、････、anを次のように定める。
ただし、ｎ≧3とする。
(ⅰ) 1回目に1の目が出たときはa1=0、それ以外の目が出たときは、
a1=1とする。
ｋ≧2のとき、
(ⅱ) ｋ回目に1の目が出たときは、ak=0とする。
(ⅲ) ｋ回目に6の目が出たときは、ak=ak-1+ｋとする。
(ⅳ) ｋ回目に1と6以外の目が出たときは、ak=ak-1+1とする。
自然数ｋ(1≦ｋ≦ｎ)に対して、ak=ｋとなる確率をpkとするとき、
次の問いに答えよ。
(1) p1、p2、p3を求めよ。
(2) pk （2≦ｋ≦ｎ）をpk-1を用いて表せ。
(3) pk （1≦ｋ≦ｎ）をｋの式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ak=0となるのは、ｋ回目に1の目が出るときなので、
その確率はｋの値によらず $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ である。
a1=1となるのは、2回目に1以外の目が出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{5}{6}\ \ }\end{align*}}$
a2=2となるのは、
・a1=0で、2回目に6の目が出る
・a1=1で、2回目に1と6以外の目が出る
の2パターンあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\ p_1=\underline{\ \frac{7}{12}\ \ }\end{align*}}$
a3=3となるのは、
・a2=0で、3回目に6の目が出る
・a2=2で、3回目に1と6以外の目が出る
の2パターンあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\ p_2=\underline{\ \frac{5}{12}\ \ }\end{align*}}$
(2)
ｋ≧2のとき、aｋ=ｋとなるのは、
・ak-1=0で、ｋ回目に6の目が出る
・ak-1=ｋ－1で、ｋ回目に1と6以外の目が出る
の2パターンあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{4}{6}\ p_{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_k=\frac{2}{3}\ p_{k-1}+\frac{1}{36}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)の漸化式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k-\frac{1}{12}=\frac{2}{3}\left(p_{k-1}-\frac{1}{12}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_k-\frac{1}{12}\right\}\end{align*}}$ は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の等比数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k-\frac{1}{12}=\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\left(\ p_1-\frac{1}{12}\right)\end{align*}}$
これに(1)で求めたp1の値を代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_k=\frac{3}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}+\frac{1}{12}\ \ }\end{align*}}$
ルールさえ把握できれば問題ないと思います。
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第2問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (2x)=\frac{2\ f\ (x)}{1+f\ (x)^2}\end{align*}}$ を示せ。
(3) すべての自然数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_n=f\left(\frac{1}{2^n}\right)\end{align*}}$
は無理数であることを、数学的帰納法を用いて示せ。ただし、
有理数r、sを用いて表される実数 r+s$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ はs≠0ならば
無理数であることを、証明無く用いてもよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{\frac{1}{2}}=\sqrt2\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=\frac{(\sqrt2-1)^2}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\underline{\ 3-2\sqrt2\ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{1+f\ (x)^2\right\}\cdot f\ (2x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{(2^x-1)^2}{(2^x+1)^2}\right\}\cdot\frac{2^{2x}-1}{2^{2x}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(2^{2x}+2\cdot 2^x+1)+(2^{2x}-2\cdot 2^x+1)}{(2^x+1)^2}\cdot\frac{2^{2x}-1}{2^{2x}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2(2^{2x}+1)}{(2^x+1)^2}\cdot\frac{(2^{x}-1)(2^x+1)}{2^{2x}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2(2^{x}-1)}{2^{x}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2f\ (x)\end{align*}}$
両辺を{1+f(x)2} （≠0）で割ると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2x)=\frac{2\ f\ (x)}{1+f\ (x)^2}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(3)
(ⅰ)n=1のとき
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=f\ \left(\frac{1}{2}\right)3-2\sqrt2\end{align*}}$
となるので、b1は無理数である。
(ⅱ)
(2)において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2^{k+1}}\end{align*}}$ とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{2^{k}}\right)=\frac{2\ f\ \left(\frac{1}{2^{k+1}}\right)}{1+f\ \left(\frac{1}{2^{k+1}}\right)^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_k=\frac{2b_{k+1}}{1+(b_{k+1})^2}\end{align*}}$ ････①
ここで、bk+1が有理数であると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{k+1}=\frac{m}{n}\end{align*}}$ （m、nは互いに素な整数）
と表せる。これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_k=\frac{2\cdot\frac{m}{n}}{1+\left(\frac{m}{n}\right)^2}=\frac{2mn}{m^2+n^2}\end{align*}}$
となるので、bkも有理数となる。
このことの対偶をとると、
「bkが無理数ならばbk+1も無理数である」
となる。
以上より、任意の自然数nに対してbnは無理数となる。
(3)で対偶をとるのがミソです。
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第3問
四面体OABCに平面$\small\sf{\alpha}$ が辺OA、AB、BC、COとそれぞれ
P、Q、R、Sで
$\small\sf{OP:PA=AQ:QB=BR:RC=1:2}$
を満たすように交わっている。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OS}=s\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とおく。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\ ,\ \overrightarrow{\sf PR}\ ,\ \overrightarrow{\sf PS}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf s\ ,\ \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) sの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
P、Q、RはそれぞれOA、AB、BCを1：2に内分する
点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OR}=\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf b}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PR}=\overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ -\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PS}=\overrightarrow{\sf OS}-\overrightarrow{\sf OP}=\underline{\ -\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf a}+s\ \overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$
(2)
4点P、Q、R、Sは同一平面上にあるので、
実数u，vを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PS}=u\ \overrightarrow{\sf PQ}+v\ \overrightarrow{\sf PR}\end{align*}}$
と表すことができる。
これに(1)の結果を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf a}+s\ \overrightarrow{\sf c}=u\left(\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf b}\right)+v\left(-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\overrightarrow{\sf a}+3s\ \overrightarrow{\sf c}=(u-v)\ \overrightarrow{\sf a}+(u+2v)\ \overrightarrow{\sf b}+(u+v)\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ････①
3つのベクトル$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は互いに一次独立なので、
①の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u-v=1\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u+2v=0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf u+v=3s \end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=-\frac{2}{3}\ \ ,\ \ v=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ \underline{\ s=\frac{1}{9}\ }\end{align*}}$
を得る。
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第4問
実数t（0≦t≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\end{align*}}$ ）に対し、座標平面上の点P(2t－5，0)と
Q(t，t2)を考える。
(1) 放物線y=x2の0≦x≦tの部分と線分OPおよび線分PQで
囲まれた部分の面積を求めよ。ただし、Oは原点を表す。
(2) tが0≦t≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くとき、(1)で求めた面積の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点R(t，0)とする。
与えられたtの範囲より、2t－5≦0となるので、
y=x2およびOP、PQで囲まれる部分は右図の
ようになる。
この面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle PQR-\int_0^t\ x^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{t-(2t-5)\right\}\cdot t^2-\left[\frac{1}{3}\ x^3\right]_0^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{5}{6}t^3+\frac{5}{2}t^2\ }\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたSをtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S'=-\frac{5}{2}t^2+5t=-\frac{5}{2}t(t-2)\end{align*}}$
となるので、Sの増減は次のようになる。
よって、t=2のときSは最大値$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{3}\end{align*}}$ をとる。
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