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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009同志社大 理系(理工) 数学1



第1問

  xy平面に3点O(0,0)、A(14,0)、B(5,12)がある。線分OBの
  垂直二等分線の方程式はy= ア  x+ イ  であるから、
  △OABの外心Mの座標は(7, ウ  )である。次に、∠AOB=2$\small\sf{\alpha}$
  とおくと、tan2$\small\sf{\alpha}$ = エ  であるから、∠AOBの二等分線の傾き
  はtan$\small\sf{\alpha}$ = オ  である。同様に、∠OAB=2$\small\sf{\beta}$ とおくと、
  tan$\small\sf{\beta}$ = カ  であるから、∠OABの二等分線の方程式は
  y= キ  x+ ク  となる。したがって、△OABの内心Nの座標は
  ( ケ  コ  )である。




2009同志社大 理系(理工) 数学2(1)



第2問

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{\sqrt x}\ \ (x>0)\end{align*}}$ として、曲線y=f(x)上の点P(a,f(a))に
    おける接線がx軸と交わる点をS、y軸と交わる点をTとおく。

  (ⅰ) S、Tの座標をaで表せ。

  (ⅱ) 線分STLの長さをLとおくとき、Lをaで表せ。

  (ⅲ) Lの最小値を求めよ。



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  1. 2013/01/29(火) 00:06:00|
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2009同志社大 理系(理工) 数学2(2)



第2問

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\sqrt {2+x}\ \ (x\geqq -2)\end{align*}}$ とする。

  (ⅰ) 関数g(x)の逆関数g-1(x)を求め、その定義域を示せ。

  (ⅱ) 2つの曲線y=g(x)、y=g-1(x)および直線y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ -x
     で囲まれた図形を図示せよ。

  (ⅲ) (ⅱ)で図示した図形の面積を求めよ。




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2009同志社大 理系(理工) 数学3



第3問

  次の問いに答えよ。

 (1) a、bを定数として
         $\small\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=e^{-x}\left(a\cos x+b\sin x\right)\end{align*}}$
    とおく。導関数F’(x)を求めよ。

 (2) 不定積分
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ e^{-x}\sin x\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (3) n=1,2,3,・・・に対して、(n-1)$\small\sf{\pi}$ ≦x≦n$\small\sf{\pi}$ の範囲で、
    x軸と曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=e^{-x}\sin x\end{align*}}$ で囲まれる図形の面積をanとおく。
    anをnで表せ。

 (4) (3)で求めたan(n=1,2,3,・・・)について、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ a_n\end{align*}}$
    を求めよ。




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2009同志社大 理系(理工) 数学4



第4問

  xy平面上の原点Oを中心とする半径1の円をCとする。第1象限に
  ある曲線C上の点Pにおける接線をLとする。次にL上の点Qから、
  C上の点RでCに接するLとは異なる接線mを、
         ∠PQR=$\small\sf{\alpha}$  $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(0<\alpha <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  であるように引く。ただし、Qのy座標はPのy座標より大きいもの
  とする。接線L、mとx軸との交点をそれぞれ、S、Tとし、
  ∠SOP=$\small\sf{\theta}$ とおく。次の問いに答えよ。

 (1) 接点Pの座標を$\small\sf{\theta}$ で表せ。また、直線Lの方程式を求め、点Sの
    座標を$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (2) 点Rおよび点Tの座標をそれぞれ$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (3) 点Rが第2象限にあるための$\small\sf{\theta}$ の範囲を$\small\sf{\alpha}$ で表せ。

 (4) 線分OQの長さが$\small\sf{\theta}$ によらないことを示し、その長さを$\small\sf{\alpha}$ で表せ。

 (5) △SQTの面積Aを$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (6) $\small\sf{\alpha}$ を0<$\small\sf{\alpha}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で固定する。$\small\sf{\theta}$ が(3)で求めた範囲を動くとき、
    △SQTの面積Aの最小値を求めよ。またそのときの$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ で
    表せ。



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