第1問
xy平面に3点O(0，0)、A(14，0)、B(5，12)がある。線分OBの
垂直二等分線の方程式はy= ア x+ イ であるから、
△OABの外心Mの座標は(7， ウ )である。次に、∠AOB=2$\small\sf{\alpha}$
とおくと、tan2$\small\sf{\alpha}$ = エ であるから、∠AOBの二等分線の傾き
はtan$\small\sf{\alpha}$ = オ である。同様に、∠OAB=2$\small\sf{\beta}$ とおくと、
tan$\small\sf{\beta}$ = カ であるから、∠OABの二等分線の方程式は
y= キ x+ ク となる。したがって、△OABの内心Nの座標は
( ケ ， コ )である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{5}{12}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{169}{24}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{33}{8}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12}{5}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ ク 7 ケ 6 コ 4
【解説】
OBの中点の座標は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{2}\ ,\ 6\right)\end{align*}}$ であり、これを通り、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OB:\ y=\frac{12}{5}\ x\end{align*}}$
に垂直な直線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-6=-\frac{5}{12}\left(x-\frac{5}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{5}{12}\ x+\frac{169}{24}\ }\end{align*}}$ ････アイ
また、線分OAの垂直二等分線の方程式は、
x=7
であり、これらの交点が外接円の中心Mとなるので、
x=7をアイの式に代入して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ M\left(7\ ,\ \frac{33}{8}\right)\ }\end{align*}}$ ････ウ
を得る。
2$\scriptsize\sf{\alpha}$ =∠AOBより、tan2$\scriptsize\sf{\alpha}$ はOBの傾きと等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\alpha=\underline{\ \frac{12}{5}\ }\end{align*}}$ ････エ
tanの倍角公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{12}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 12\tan^2\alpha+10\tan\alpha-12=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\alpha=\underline{\ \frac{2}{3}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ････オ
これより、∠AOBの二等分線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2}{3}\ x\end{align*}}$ ････①
一方、∠OAB=2$\scriptsize\sf{\beta}$ より、tan($\scriptsize\sf{\pi}$ －2$\scriptsize\sf{\beta}$ )は
ABの傾きに等しい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\left(\pi-2\beta\right)=\frac{0-12}{14-5}=-\frac{4}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan 2\beta=\frac{4}{3}\end{align*}}$ ．
tanの倍角公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan 2\beta=\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\frac{4}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\tan^2\beta+6\tan\beta-4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\beta=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ (>0)\ }\end{align*}}$ ････カ
よって、∠OABの二等分線の傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan(\pi-\beta)=-\tan\beta=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
になるので、∠OABの二等分線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2}(x-14)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{2}\ x+7}\end{align*}}$ ････キク
これと①の交点が△OABの内心Nになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\ x=-\frac{1}{2}\ x+7\ \ \Leftrightarrow\ \ x=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2}{3}\cdot 6=4\end{align*}}$
より、
N(6，4)
となる。
ABの傾きが負になることに注意しましょう。
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第2問
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{\sqrt x}\ \ (x>0)\end{align*}}$ として、曲線y=f(x)上の点P(a，f(a))に
おける接線がx軸と交わる点をS、y軸と交わる点をTとおく。
(ⅰ) S、Tの座標をaで表せ。
(ⅱ) 線分STLの長さをLとおくとき、Lをaで表せ。
(ⅲ) Lの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(ⅰ)
f(x)の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)= -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\end{align*}}$
となるので、点Pにおける接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-f\ (a)= -\frac{1}{2a\sqrt a}(x-a)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{2a\sqrt a}\ x+\frac{3}{2a\sqrt a}\end{align*}}$ ．
これとx軸との交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{1}{2a\sqrt a}\ x+\frac{3}{2a\sqrt a}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=3a\end{align*}}$
より、S(3a，0)．
また、y軸との交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ T\left(0\ ,\ \frac{3}{2a\sqrt a}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\sqrt{(3a)^2+\left(\frac{3}{2a\sqrt a}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3\sqrt{a^2+\frac{1}{4a}}\ }\end{align*}}$
(3)
aの関数F(a)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (a)=a^2+\frac{1}{4a}\ \ \ (a>0)\end{align*}}$
と定めると、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(a)=2a-\frac{1}{4a^2}=\frac{8a^3-1}{4a^2}\end{align*}}$
となるので、F(a)の増減は次のようになる。
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、F(a)は最小値$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ をとる。
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=3\sqrt{F\ (a)}\end{align*}}$
なので、Lの最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{min}=3\sqrt{\frac{3}{4}}=\underline{\ \frac{3\sqrt3}{2}\ \ \ \ \left(a=\frac{1}{2}\right)}\end{align*}}$
(2)は別問題なので、次の記事です。
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第2問
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\sqrt {2+x}\ \ (x\geqq -2)\end{align*}}$ とする。
(ⅰ) 関数g(x)の逆関数g-1(x)を求め、その定義域を示せ。
(ⅱ) 2つの曲線y=g(x)、y=g-1(x)および直線y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ －x
で囲まれた図形を図示せよ。
(ⅲ) (ⅱ)で図示した図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(ⅰ)
y=g(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{2+x}\end{align*}}$
両辺を2乗して、xについて整理すると、
x=y2－2 かつ y≧0
となるので、
g-1(y)=y2－2 （y≧0）
より、
g-1(x)=x2－2 （x≧0）
(ⅱ)
y=g-1(x)とx軸との交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
また、y=g-1(x)と直線y=xの交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-2=x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
y=g-1(x)とy=g(x)のグラフは
直線y=xについて対称なので、
2曲線および直線y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ －x で
囲まれた図形は右図のようになる。
(ⅲ)
2直線y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ －x 、y=xの交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2-x=x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$ ．
求める面積をSとすると、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_{\frac{\sqrt2}{2}}^{\sqrt2}\left\{x-\left(\sqrt2 -x\right)\right\}\ dx+2\int_{\sqrt2}^2\left\{x-\left(x^2-2\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[x^2-\sqrt2 x\bigg]_{\frac{\sqrt2}{2}}^{\sqrt2}+\left[-\frac{1}{3}\ x^3+\frac{1}{2}\ x^2+2x\right]_{\sqrt2}^2\end{align*}}$ ．
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\underline{\ \frac{17-8\sqrt3}{3}\ }\end{align*}}$ ．
(ⅲ)は、図の対称性に気づかないと計算が面倒なことになります。
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第3問
次の問いに答えよ。
(1) a、bを定数として
$\small\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=e^{-x}\left(a\cos x+b\sin x\right)\end{align*}}$
とおく。導関数F’(x)を求めよ。
(2) 不定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ e^{-x}\sin x\ dx\end{align*}}$
を求めよ。
(3) n=1，2，3，･･･に対して、(n－1)$\small\sf{\pi}$ ≦x≦n$\small\sf{\pi}$ の範囲で、
x軸と曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=e^{-x}\sin x\end{align*}}$ で囲まれる図形の面積をanとおく。
anをnで表せ。
(4) (3)で求めたan（n=1，2，3，･･･）について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ a_n\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
積の微分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ '(x)=-e^{-x}\left(a\cos x+b\sin x\right)+e^{-x}\left(-a\sin x+b\cos x\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ e^{-x}\left\{-(a-b)\cos x-(a+b)\sin x\right\}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=b=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
とおくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{e^{-x}\left(-\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)\right\}'=e^{-x}\ \sin x\end{align*}}$ ．
両辺をxで積分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\ e^{-x}\sin x\ dx=\underline{\ -\frac{1}{2}e^{-x}\left(\cos x+\sin x\right)+C\ }\end{align*}}$ （C：積分定数）
を得る。
(3)
(n－1)$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦n$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲で、e-xsinx=0となるのは、
x=(n－1)$\scriptsize\sf{\pi}$ 、n$\scriptsize\sf{\pi}$
のときのみなので、求める面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\ \left|e^{-x}\ \sin x\right|\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\ e^{-x}\ \sin x\ dx\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\left[-\frac{1}{2}e^{-x}\left(\cos x+\sin x\right)\right]_{(n-1)\pi}^{n\pi}\right|\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left|e^{-n\pi}\cos n\pi-e^{(n-1)\pi}\cos(n-1)\pi\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ e^{-n\pi\ }\big|(-1)^n-e^{\pi}(-1)^{n-1}\big|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\ e^{-n\pi}\left(1+e^{\pi}\right)\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より{an}等比数列となり、公比e-$\scriptsize\sf{\pi}$ は、
0＜e-$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜1
を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ a_n=\frac{1}{2}\left(1+e^{\pi}\right)\cdot\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}\ }\end{align*}}$ ．
有名な問題ですね。(3)は、
x=t+(n－1)$\scriptsize\sf{\pi}$
と置換すると簡単に計算できます。
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第4問
xy平面上の原点Oを中心とする半径1の円をCとする。第1象限に
ある曲線C上の点Pにおける接線をLとする。次にL上の点Qから、
C上の点RでCに接するLとは異なる接線ｍを、
∠PQR=$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(0<\alpha <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
であるように引く。ただし、Qのy座標はPのy座標より大きいもの
とする。接線L、mとx軸との交点をそれぞれ、S、Tとし、
∠SOP=$\small\sf{\theta}$ とおく。次の問いに答えよ。
(1) 接点Pの座標を$\small\sf{\theta}$ で表せ。また、直線Lの方程式を求め、点Sの
座標を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(2) 点Rおよび点Tの座標をそれぞれ$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(3) 点Rが第2象限にあるための$\small\sf{\theta}$ の範囲を$\small\sf{\alpha}$ で表せ。
(4) 線分OQの長さが$\small\sf{\theta}$ によらないことを示し、その長さを$\small\sf{\alpha}$ で表せ。
(5) △SQTの面積Aを$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(6) $\small\sf{\alpha}$ を0＜$\small\sf{\alpha}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ で固定する。$\small\sf{\theta}$ が(3)で求めた範囲を動くとき、
△SQTの面積Aの最小値を求めよ。またそのときの$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\alpha}$ で
表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
∠SOP=$\scriptsize\sf{\theta}$ より、点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\sf \underline{P(\cos\theta\ ,\ \sin\theta)}}$
よって、線分OPの傾きは$\scriptsize\sf{\tan\theta}$ になるので、
点Pを通りOPと垂直な接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ \underline{\ y=-\frac{1}{\tan\theta}\left(x-\cos\theta\right)+\sin\theta\ }\end{align*}}$ ．
また、∠OPS=90°より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{OP}{OS}\ \ \Leftrightarrow\ \ OS=\frac{OP}{\cos\theta}=\frac{1}{\cos\theta}\end{align*}}$
となるので、点Sの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S\left(\frac{1}{\cos\theta}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
である。
(2)
∠OPQ=∠ORQ=90より、∠POR=$\scriptsize\sf{\pi-\alpha}$
となるので、∠SOQ=$\scriptsize\sf{\pi-\alpha+\theta}$ ．
よって、点Rの座標は、
$\scriptsize\sf{\sf R\left(\cos(\pi-\alpha+\theta)\ ,\ \sin(\pi-\alpha+\theta)\right)}$
$\scriptsize\sf{=\underline{\left(-\cos(\theta-\alpha)\ ,\ -\sin(\theta-\alpha)\right)}}$
となる。
よって、(1)と同様に考えると、点Tの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T\left(\frac{1}{\cos(\pi+\theta-\alpha)}\ ,\ 0\right)=\underline{\ \left(-\frac{1}{\cos(\theta-\alpha)}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
となる。
(3)
点Rが第2象限にあるための条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt\pi-\alpha+\theta\lt\pi\end{align*}}$
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha-\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\alpha\end{align*}}$
(4)
OQは∠PORの二等分線になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle POQ=\frac{1}{2}\angle POR=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\end{align*}}$ ．
△OPQにおいて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle POQ=\frac{OP}{OQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ OQ=\frac{OP}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\underline{\ \frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}\ }\end{align*}}$
となるので、OQの長さは$\scriptsize\sf{\theta}$ の値によらない。
(5)
Qからx軸に下ろした垂線の足をHとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle QOH=\pi-\angle SOP-\angle POQ=\frac{\pi}{2}-\theta+\frac{\alpha}{2}\end{align*}}$
となるので、△OQHにおいて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=OQ\ \sin\angle QOH\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta+\frac{\alpha}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot \cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\end{align*}}$ ．
一方、STの長さは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos\theta}-\left\{-\frac{1}{\cos\left(\theta-\alpha\right)}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\cos\theta+\cos\left(\theta-\alpha\right)}{\cos\theta\ \cos\left(\theta-\alpha\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\ \cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\theta\ \cos\left(\theta-\alpha\right)}\end{align*}}$ ←和・積
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\ \cos\frac{\alpha}{2}}{\cos(2\theta-\alpha)+\cos \alpha}\end{align*}}$ ←積・和
よって、△SQTの面積Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\cdot ST\cdot AQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{4\cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\ \cos\frac{\alpha}{2}}{\cos(2\theta-\alpha)+\cos \alpha}\cdot\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot \cos\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{2\cos^2\left(\theta-\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos(2\theta-\alpha)+\cos \alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\cos \left(2\theta-\alpha\right)+1}{\cos(2\theta-\alpha)+\cos \alpha}\ }\end{align*}}$ ←倍角公式
(6)
(5)のAは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}}\left\{1+\frac{1-\cos \alpha}{\cos(2\theta-\alpha)+\cos \alpha}\right\}\end{align*}}$
と変形でき、これが最小になるのは
cos(2$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ )が最大のとき、すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \left(2\theta-\alpha\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\frac{\alpha}{2}+2k\pi\end{align*}}$ （k：整数）
のときである。(3)の範囲で考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \theta=\frac{\alpha}{2}\ }\end{align*}}$
のときAは最小となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{min}=\frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{2}{1+\cos \alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{1}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}\end{align*}}$ ←cosの半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}\ \cos\frac{\alpha}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{\sin \alpha}\ }\end{align*}}$ ←sinの倍角公式
(5)、(6)の答えは、いろいろな形が考えられると思います。
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