シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{\pi}-e^{-\pi}\end{align*}}$ ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a+\sin a\end{align*}}$ セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{\pi}-e^{-\pi}\end{align*}}$ ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{t}{2}\end{align*}}$
タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -e^{-\pi}\end{align*}}$ チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{\pi}\end{align*}}$
【解説】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-\pi}^{\pi}\ e^x\ dx=\bigg[\ e^x\ \bigg]_{-\pi}^{\pi}=e^{\pi}-e^{-\pi}\end{align*}}$ ････シ
次に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_{-\pi}^{\pi}\ e^x\cos(x+a)\ dx\end{align*}}$
とおくと、部分積分法により、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\bigg[\ e^x\cos(x+a)\ \bigg]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\ e^x\sin(x+a)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\ e^x\cos(x+a)\ \bigg]_{-\pi}^{\pi}+\bigg[\ e^x\sin(x+a)\ \bigg]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\ e^x\cos(x+a)\ dx\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\frac{1}{2}\bigg[\ e^x\left\{\cos (x+a)+\sin (x+a)\right\}\bigg]_{-\pi}^{\pi}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\pm \pi+a\right)=-\cos a\ \ ,\ \ \sin\left(\pm \pi+a\right)=-\sin a\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\frac{1}{2}e^{\pi}\left(-\cos a-\sin a\right)-\frac{1}{2}e^{-\pi}\left(-\cos a-\sin a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)\left(\cos a+\sin a\right)\end{align*}}$ ････ス
(2)
積→和の公式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)\ f\ (x-t)=e^{\frac{x}{2}}\cos\frac{x}{2}\cdot e^{\frac{x-t}{2}}\cos\frac{x-t}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}e^{x-\frac{t}{2}}\left\{\cos\left(x-\frac{t}{2}\right)+\cos\frac{t}{2}\right\}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (t)=\int_{-\pi}^{\pi}\ f\ (x)\ f\ (x-t)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\cos\left(x-\frac{t}{2}\right)dx+\frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}}\cos\frac{t}{2}\int_{-\pi}^{\pi}e^x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{4}e^{-\frac{t}{2}}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)\left\{\cos\left(-\frac{t}{2}\right)+\sin\left(-\frac{t}{2}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\frac{1}{2}e^{-\frac{t}{2}}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)\cos\frac{t}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)e^{-\frac{t}{2}}\left(-\cos\frac{t}{2}+\sin\frac{t}{2}+2\cos\frac{t}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)e^{-\frac{t}{2}}\left(\cos\frac{t}{2}+\sin\frac{t}{2}\right)\end{align*}}$ ････セソ
さらに、整数kに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{2k\pi}{2}=\sin k\pi=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{2k\pi}{2}=\cos k\pi=(-1)^k\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (2k\pi)=\frac{1}{4}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)e^{-\frac{2k\pi}{2}}\left(-1\right)^k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)\left(-e^{-\pi}\right)^k\end{align*}}$ ････タ
さらに、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1<-e^{-\pi}<0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^{\infty}\ h\ (2k\pi)=\frac{1}{4}\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)\cdot\frac{1}{1-(-e^{-\pi})}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\cdot\frac{e^{2\pi}-1}{e^{\pi}+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left( e^{\pi}-1\right)\end{align*}}$ ････チ
立命の問題は、すっと流れるような誘導が気持ちいいですね。
