第1問
次の問いに答えよ。
(1) 0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sin x\geqq \frac{2}{\pi}\ x\end{align*}}$
であることを示せ。
(2) 次の等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \int_0^{\pi /2}\ e^{-n\sin x}\ dx=0\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
区間0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ････① において、xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sin x-\frac{2}{\pi}\ x\end{align*}}$
とおくと、その導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos x-\frac{2}{\pi}\end{align*}}$
となる。ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2<\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\frac{2}{\pi}<1\end{align*}}$
なので、f($\scriptsize\sf{\alpha}$ )=0となるような$\scriptsize\sf{\alpha}$ が区間①内に存在する。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\end{align*}}$
なので、①におけるf(x)の増減は次のようになる。
よって、①において常にf(x)≧0となるので、
題意を満たすことになる。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\pi}\ x\leqq \sin x\leqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -n\leqq -n\sin x\leqq -\frac{2n}{\pi}\ x\end{align*}}$ ←自然数n＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{-n}\leqq e^{-n\sin x}\leqq e^{-\frac{2n}{\pi}\ x}\end{align*}}$ ←底e＞1より
となり、これは区間①で常に成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\ e^{-n}\ dx\leqq \int_0^{\pi /2}\ e^{-n\sin x}\ dx\leqq \int_0^{\pi /2}\ e^{-\frac{2n}{\pi}\ x}\ dx\end{align*}}$ ････②
②の左辺について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \int_0^{\pi /2}\ e^{-n}\ dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \bigg[e^{-n}\ x\bigg]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\pi}{2e^{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ．
②の右辺について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \int_0^{\pi /2}\ e^{-\frac{2n}{\pi}\ x}\ dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \bigg[-\frac{\pi}{2n}e^{-\frac{2n}{\pi}x}\bigg]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(-\frac{\pi}{2n}e^{-n}+\frac{\pi}{2n}e^0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(-\frac{\pi}{2n\ e^n}+\frac{\pi}{2n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ．
はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \int_0^{\pi /2}\ e^{-n\sin x}\ dx=0\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
不等式の証明→はさみうち という流れはよくあるパターンですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/01/13(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2009
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
四面体OABCにおいて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
とする。0≦t≦1なる実数tに対して、点Pを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=t\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ により定める。
三角形ABPの面積をS(t)とするとき、次の問いに答えよ。
(1) S(0)を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) S(1)を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) O=(0，0，0)、A=(1，0，0)、B=(0，1，0)、C=(1，1，1)と
するとき、0≦t≦1においてS(t)が最小となるtを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
t=0のとき、点Pは点Oと一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(0)=\triangle OAB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\ \left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2\ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\right)^2}\end{align*}}$ ．
(2)
t=1のとき、点Pは点Cと一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(1)=\triangle ABC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2\ \left|\overrightarrow{\sf AC}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right|^2\ \left|\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}\right|^2-\left\{\left(\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf c}-\overrightarrow{\sf a}\right)\right\}^2}\ }\end{align*}}$ ．
(3)
点Pの座標は、P(t，t，t)であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(-1\ ,\ 1\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AP}=(t-1\ ,\ t\ ,\ t)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2=(-1)^2+1^2+0^2=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2=(t-1)^2+t^2+t^2=3t^2-2t+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AP}=-(t-1)+t+0=1\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2\ \left|\overrightarrow{\sf AP}\right|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AP}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{2(3t^2-2t+1)-1^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{6t^2-4t+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{6\left(t-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{1}{3}}\end{align*}}$
となるので、
0≦t≦1の範囲でS(t)が最小になるときのtの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
である。
面積の公式は覚えていますか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/01/14(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2009
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
xy平面の原点をOとする。xy平面上のOと異なる点Pに対し、
直線OP上の点Qを、次の条件(a)、(b)を満たすようにとる。
(a) OP･OQ=4
(b) Qは、Oに関してPと同じ側にある。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Pが直線x=1の上を動くとき、Qの軌跡を求めて、図示せよ。
(2) a＞r＞0とする。点Pが円(x－a)2+y2=r2の上を動くとき、
点Qの軌跡が円であることを示し、その中心の座標と半径を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
点P(s，t)、Q(X，Y)とおくと、条件(b)より
正の実数ｋを用いて、
(s，t)=k(X，Y) ･･････①
ここで、条件(a)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP\cdot OQ=\sqrt{s^2+t^2}\cdot \sqrt{X^2+Y^2}=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{(kX)^2+(kY)^2}\cdot \sqrt{X^2+Y^2}=4\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k(X^2+Y^2)=4\end{align*}}$ ←k＞0より
ここで、X=Y=0のときは、OQ=0となり、
条件(a)に反するので、X2+Y2≠0．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{4}{X^2+Y^2}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{4X}{X^2+Y^2}\ \ ,\ \ t=\frac{4Y}{X^2+Y^2}\ \ \ (X^2+Y^2\ne 0)\end{align*}}$ ･････②
(1)
点Pは、直線x=1上を動くので、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{4X}{X^2+Y^2}=1\end{align*}}$ ．
分母を払って整理すると、
X2+Y2－4X=0
⇔ (X－2)2+Y2=22
これは点Q(X，Y)が、
点(2，0)を中心とする半径2の円
(x－2)2+y2=22
上にあることを表している。
（ただし、原点Ｏを除く）
これを図示したものが、右の図である。
(2)
点Pは円(x－a)2+y2=r2の上を動くので、
②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4X}{X^2+Y^2}-a\right)^2+\left(\frac{4Y}{X^2+Y^2}\right)^2=r^2\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{16(X^2+Y^2)}{(X^2+Y^2)^2}-\frac{8aX}{X^2+Y^2}+a^2-r^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 16-8aX+(a^2-r^2)(X^2+Y^2)=0\end{align*}}$
a2－r2≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2+Y^2-\frac{8aX}{a^2-r^2}+\frac{16}{a^2-r^2}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X-\frac{4a}{a^2-r^2}\right)^2+Y^2=\left(\frac{4a}{a^2-r^2}\right)^2-\frac{16}{a^2-r^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{16a^2-16(a^2-r^2)}{(a^2-r^2)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{4r}{a^2-r^2}\right)^2\end{align*}}$ ．
この式は、
点Q(X，Y)が、点$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4a}{a^2-r^2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ を中心とする半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4r}{a^2-r^2}\ \ (>0)\end{align*}}$ の
円周上にあることを表している。
厳密には、Qが円全体を動くことを検証する必要があると思いますが、
市大だとこれぐらいの感じでもOKじゃないですかね？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/01/15(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2009
-
| トラックバック:0
-
| コメント:1
第4問
一般に2次の正方行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
に対して、Δ(A)=ad－bcと表すことにする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) 2次の正方行列A、Bに対して、
Δ(AB)=Δ(A)Δ(B)
が成り立つことを示せ。
(2) 自然数nに対して、
Δ(An)=Δ(A)n
が成り立つことを示せ。
(3) nは正の偶数とする。実数を成分とする2次の正方行列Aで
$\small\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
を満たすものは存在しないことを示せ。
(4) nは正の奇数とする。実数を成分とする2次の正方行列Aで
$\small\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
を満たすものを1つ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2次の正方行列A、Bを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf p &\sf q\\ \sf r &\sf s\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf p &\sf q\\ \sf r &\sf s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf ap+br&\sf aq+bs\\ \sf cp+dr&\sf cq+ds\end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、定義より
Δ(AB)=(ap+br)(cq+ds)－(aq+bs)(cp+dr)
=acpq+adps+bcqr+bdrs
－acpq－adqr－bcps－bdrs
=adps+bcqr－adqr－bcps
=ad(ps－qr)－bc(ps－qr)
=(ad－bc)(ps－qr)
=Δ(A)Δ(B)
となり、題意は示された。
(2)
任意の自然数nに対して、
Δ(An)=Δ(A)n ････①
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のときは自明
(ⅱ) n=kのとき、①が成り立つと仮定すると、
Δ(Ak)=Δ(A)k ････②
n=k+1のとき、
Δ(Ak+1)=Δ(AkA)
=Δ(Ak)Δ(A) ←(1)より
=Δ(A)kΔ(A) ←②より
=Δ(A)k+1
となるので、①は成り立つ。
以上より、任意の自然数nに対して①は成り立つ。
(3)
題意より
Δ(An)=0･0－1･1=－1
これと(2)より、
Δ(A)n=－1 ････③
ここで、Aの成分は実数なので、nが偶数のときは、
③を満たすような実数Δ(A)は存在しない。
よって、題意を満たすような行列Aは存在しない。
(4)
任意の奇数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1&0\end{pmatrix}\end{align*}}$
が成り立つためには、少なくとものn=1のときに
成り立つ必要があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
となる。
逆に、このAに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}=E\end{align*}}$ （Eは単位行列）
となるので、n=2k－1（kは正の整数）とおくと、
An=A2k-1
=(A2)k-1A
=Ek-1A
=A ．
よって、任意の奇数nに対して題意を満たすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
である。
(1)、(2)あたりは有名な問題ですね。
(3)はうまく(2)の結果を使いましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2013/01/16(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2009
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
