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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009大阪市立大 理系数学1



第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) 0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin x\geqq \frac{2}{\pi}\ x\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (2) 次の等式が成り立つことを示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \int_0^{\pi /2}\ e^{-n\sin x}\ dx=0\end{align*}}$



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  1. 2013/01/13(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2009
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2009大阪市立大 理系数学2



第2問

  四面体OABCにおいて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
  とする。0≦t≦1なる実数tに対して、点Pを$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=t\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ により定める。
  三角形ABPの面積をS(t)とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) S(0)を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) S(1)を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (3) O=(0,0,0)、A=(1,0,0)、B=(0,1,0)、C=(1,1,1)と
    するとき、0≦t≦1においてS(t)が最小となるtを求めよ。




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  1. 2013/01/14(月) 23:57:00|
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2009大阪市立大 理系数学3



第3問

  xy平面の原点をOとする。xy平面上のOと異なる点Pに対し、
  直線OP上の点Qを、次の条件(a)、(b)を満たすようにとる。
    (a) OP・OQ=4
    (b) Qは、Oに関してPと同じ側にある。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 点Pが直線x=1の上を動くとき、Qの軌跡を求めて、図示せよ。

 (2) a>r>0とする。点Pが円(x-a)2+y2=r2の上を動くとき、
    点Qの軌跡が円であることを示し、その中心の座標と半径を求めよ。



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  1. 2013/01/15(火) 23:57:00|
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2009大阪市立大 理系数学4



第4問

  一般に2次の正方行列
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
  に対して、Δ(A)=ad-bcと表すことにする。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 2次の正方行列A、Bに対して、 
         Δ(AB)=Δ(A)Δ(B)
    が成り立つことを示せ。

 (2) 自然数nに対して、 
         Δ(An)=Δ(A)n
    が成り立つことを示せ。

 (3) nは正の偶数とする。実数を成分とする2次の正方行列Aで
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
    を満たすものは存在しないことを示せ。

 (4) nは正の奇数とする。実数を成分とする2次の正方行列Aで
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 1 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
    を満たすものを1つ求めよ。



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  1. 2013/01/16(水) 23:57:00|
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