第2問
1から順に正の整数を並べて
$\small\sf{\begin{align*} \sf 1,2\bigg|3,4,5,6\bigg|7,8,9,10,11,12\bigg|13,14,\ldots\end{align*}}$
のように第n群が2n個の数を含むように分ける。このとき、
次の問いに答えよ。
(1) 第10群の最後の数を求めよ。また、一般に第n群の最後の数
を求めよ。
(2) 2010が第p群のq番目の数となるようなp、qを求めよ。
(3) 第n群の最初の数を求めよ。また、第n群に含まれるすべての
数の和Snを求めよ。
(4) 第n群に含まれるすべての奇数の和Tnを求めよ。また
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_n}{T_n}\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
第n群には2n個の数が含まれるので、最後の数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+4+6+\ldots+2n=\frac{1}{2}n\left(2+2n\right)=\underline{\ n(n+1)\ }\end{align*}}$
であり、n=10のときは、
10×(10+1)=110
(2)
2010が第p群に属するためには
第p-1群の最後の数＜2010≦第p群の最後の数
となればよいので、(1)より
(p－1)p＜2010≦p(p+1)
となる。
1980=44×45＜2010＜45×46=2070
なので、
p=45 ．
このとき、第p-1群の最後の数は1980なので、
2010は第45群の 2010－1980=30番目となり、
q=30
である。
(3)
(1)より第n-1群の最後の数は (n－1)nなので、
第n群の最初の数は、
n2－n+1
となる。
よって、第n群に属する2n個の数の和Snは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\cdot 2n\left\{\left(n^2-n+1\right)+n(n+1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n\left(2n^2+1\right)\ }\end{align*}}$
となる。
(4)
連続2整数の積は偶数なので、(1)より
各群の最後の数は偶数であり、最初の数は奇数となる。
よって、第n群には偶数・奇数が同数ずつ（n個ずつ）含ま
れることになり、
最小の奇数は、(3)より n2－n+1
最大の奇数は、n2+n－1
なので、第n群の奇数の総和Tnは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\frac{1}{2}\ n \left\{\left(n^2-n+1\right)+\left(n^2+n-1\right)\right\}=\underline{\ n^3\ }\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{S_n}{T_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{n\left(2n^2+1\right)}{n^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(2+\frac{1}{n^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\ }\end{align*}}$ ．
まぁよくありそうな問題ですね。
確実にどうぞ。
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第3問
実数tに対して、中心が(t，t2)であり、直線y=－1に接する円を
Ctと表す。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 円Ctの方程式を求めよ。
(2) aは0でない定数とする。点$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(a\ ,\ -\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ が円Ct上にあるとき、
tの値をaで表せ。
(3) 点(5，8)がCt上にあるとき、tの値を求めよ。
(4) tがすべての実数値をとって変化するとき、円Ctが通る座標
平面上の領域を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
t2＞0より、円Ctは直線y=－1より上側にあるので、
中心(t，t2)から直線y=－1までの距離は、
|t2－(－1)|=t2+1 （＞0）
となる。
これが円Ctの半径となるので、
円Ctの方程式は
(x－t)2+(y－t2)2=(t2+1)2 ．
(2)
点$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a\ ,\ -\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ が円Ct上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a-t\right)^2+\left(-\frac{1}{2}-t^2\right)^2=\left(t^2+1\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-2at+\frac{3}{4}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{a}{2}-\frac{3}{8a}\ }\end{align*}}$ ．
(3)
円Ctが点(5，8)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (5-t)^2+(8-t^2)^2=(t^2+1)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 17t^2+10t-88=0\end{align*}}$ ．
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ 2\ ,\ -\frac{44}{17}\ }\end{align*}}$ ．
(4)
Ct上の点を(a，b)とすると、
(a－t)2+(b－t2)2=(t2+1)2
となり、この式をtについて整理すると、
(2b+1)t2+2at－(a2+b2－1)=0 ････①
を得る。
①を満たすような実数tが存在するようなa，bについての
条件を求めればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ b=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{a}{2}-\frac{3}{8a}\end{align*}}$
となるので、これを満たすための条件は
a≠0 ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ b\ne -\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
①はtについての2次方程式とみなせるので、
判別式Dを考えると、
D/4=a2+(2b+1)(a2+b2－1)
=(2b+2)a2+(2b+1)(b2－1)
=2(b+1)a2+(2b+1)(b+1)(b－1)
=(b+1){2a2+(2b+1)(b－1)}
=(b+1){2a2+2b2－b+1}≧0
ここで、円Ctは直線y=－1の上側にあるので、
b+1≧0
であり、
2a2+2b2－b+1≧0 ．
この式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2+\left(b-\frac{1}{4}\right)^2\geqq \left(\frac{3}{4}\right)^2\end{align*}}$
と変形できるので、(ⅱ)のとき、点(a，b)は円
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-\frac{1}{4}\right)^2= \left(\frac{3}{4}\right)^2\end{align*}}$
の周上および外部を動くことになる。
以上より、円Ct上の点(a，b)が存在しうる範囲を図示すると
下図のようになる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0\ ,\ -\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ を除いて、境界線上の点は含む。
(4)は、tについての式とみなすのがポイントです。。
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第4問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\sqrt{1-x^2}\ \ \ \left(0\leqq x\leqq 1\right) \end{align*}}$
のグラフを曲線Cとして、0＜a＜1を満たす定数aに対して直線
L：y=axを考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数f(x)の極大値を求めよ。
(2) 曲線Cと直線Lの共有点のx座標を求めよ。
(3) 曲線Cと直線Lで囲まれる部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\sqrt{1-x^2}+x\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1-x^2)-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\end{align*}}$
となるので、
0≦x≦1の範囲でf(x)の増減を調べると下のようになる。
よって、f(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ のとき、極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
をとる。
(2)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax=x\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\end{align*}}$ または $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1-x^2}=a\end{align*}}$
ここで、0＜a＜1 かつ 0≦x≦1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ 0\ \ ,\ \ \sqrt{1-a^2}\ }\end{align*}}$ ．
(3)
CとLの位置関係は右図のようになるので、
求める面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\sqrt{1-a^2}}\left(x\sqrt{1-x^2}-ax\right)\ dx\end{align*}}$ ．
t=1－x2とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-2x\end{align*}}$
であり、対応するtの値は、
t：1→a2
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_1^{a^2}\left(x\ \sqrt t-ax\right)\cdot\frac{dt}{-2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_{a^2}^1\left(t^{\frac{1}{2}}-a\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}-at\right]_{a^2}^1\end{align*}}$ ．
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S=\frac{a^3-3a+2}{6}\ }\end{align*}}$
慎重に計算しましょう！
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